第二讲 风险效用理论及保险定价理论的发展

1、对外经济贸易大学游桂云教授第二第二讲讲 风险效用理论及保险定价风险效用理论及保险定价 理论的发展理论的发展寿险定价特点寿险定价特点l寿险定价特点长期性、储蓄性 死亡率 收益率 费用率l寿险业务利润（亏损）来源 死差益（损） 利差益（损） 费差益（损）l分红保单&不分红保单非寿险定价特点非寿险定价特点- -传统印象传统印象l 中短期业务 l 资金时间价值不被强调国外非寿险定价理论发展国外非寿险定价理论发展l在早期的保险经营中，国外保险企业根据银行利率水平来规定预定的利率，以银行存款作为保险资金的主要运用途径l保险标的的承保风险是保险企业面临的主要风险。l精算定价理论l20世纪60年代后，

2、西方资本市场日渐发达，为保险资金的运用开辟了广阔的空间，保险企业为了提升自身的竞争能力，纷纷寻求更好的资金价值增值的途径。 l上世纪七十年代以后，国际保险经营的一个显著特点是保险企业为了减少经营风险，增加效益，日益注重投资职能的发挥，期货、期权等金融衍生工具交易成为保险投资的一项重要内容。l 承保利润与投资理论的权重变化。 l风险效用概念大约在220年以前由数学家丹尼尔贝努利提出的，成为20世纪后期发展起来的保险经济理论的基石。l冯.诺伊曼和摩根斯坦l卡尔.博尔奇将效用理论用于再保险最优化研究，从而使其迅速发展起来。非寿险定价理论非寿险定价理论 l精算定价l风险效用定价l金融工程定价精算定价精

3、算定价精算发展与基本原理精算发展与基本原理l保险精算是以数学、统计学、金融学、保险学及人口学等学科的知识和原理，去解决商业保险和社会保障业务中需要精确计算的项目，如研究保险事故的出险规律、保险事故损失额的分布规律、保险人承担风险的平均损失及其分布规律、保险费和责任准备金等保险具体问题的计算。l保险精算学起源于人寿保险中的保费计算，其发展与寿险有着深厚的渊源关系。l英国著名天文学家爱德华哈雷根据德国布勒斯市居民的死亡资料，编制了世界上第一张完整的生命表。l20世纪以来，尤其是二次大战后，数理统计在理论上不断完善、在应用中逐渐成熟，而保险业自身也面临竞争日益激烈、新险种不断涌现和费率计算渐渐合理的

4、挑战。进而出现了一个结合数学、统计学、保险学和金融学等多种学科的崭新交叉学科精算学(Actuarial Science)。l保险精算最基本的原理可简单归纳为收支相等原则和大数法则。l收支相等原则也叫做均衡原理。l所谓大数法则，是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理的统称。它主要包括切比雪夫大数法则、贝努力大数法则、普阿松大数法则。l精算学最早源于人寿保险中的费率计算，而目前国际上普遍认为，精算学已不仅限于寿险。l抽象地说，精算学是定量地研究未来的随机事件对目前财政状况的影响，进而制定科学合理的经营策略，以减少不良的影响。 非寿险精算定价过程非寿险精算定价过程

5、l非寿险的内涵 寿险与非寿险 人身保险与财产保险l非寿险的特点是： 风险种类繁多、影响风险发生的因素多和索赔方式复杂。l正是由于以上原因，非寿险精算就没有寿险那样系统和标准，往往是一类问题对应一类方法，有时甚至在同一类问题中也要随时间和环境的变化而修正计算方法，这时保险业务知识和统计分析是融合在一起的，必须以实际效果来衡量方法的优良。l但非寿险精算作为一个独立的研究领域也有一些较为成熟的问题和方法。非寿险精算定价过程非寿险精算定价过程l风险分级和风险评估l保险金额和免赔额确定l损失分布估计l保额损失率确定l风险附加和费用附加l后验费率风险分级和风险评估风险分级和风险评估l风险分级风险同质性强

6、经验 相关性分析l风险评估风险异质性突出保险金额和免赔额确定保险金额和免赔额确定 关系到保险公司责任的承担l保险金额和免赔额确定 经验方法 最优保险水平（效用理论）损失分布估计损失分布估计 l非寿险的损失分布估计问题与一般的统计估计问题有类似之处，即包括分布拟合与参数估计两大类问题l但这里的估计问题也有自身的一些特点。对于非寿险，包括索赔频数的分布和损失程度的估计l要首先明确风险单位(例如：汽车险中的“年车”、医疗险中的“人次”)，然后通过对现有索赔记录的分析处理，估计频数分布，目前常常采用Possion分布和负二项分布等。l数据类型一般为分组频数数据，即只知道区间内的数据个数而没有具体值的记

7、录；另外，由于免赔额和超额损失的存在，使得数据具有左截断和右删失的特征。 l常用的统计方法有：非参数的最优拟合方法，估计拟合精度，比较拟合效果；l已知分布的参数估计方法，常见的分布有：威布尔(Weibull)分布、伽玛(Gamma)分布、布尔(Burr)分布、对数正态(lognormal)分布、帕累托(Pareto)分布和Beta分布等。l估计方法有：最大似然法、最小距离方法、估计方法和Bayes估计方法等。 估计过程估计过程l根据样本数据作图l观察图形，找出可能符合的分布 常用的分布类型有（0-10-1）两点分布）两点分布 二项分布二项分布0 x=k=(1)nkn kknPppk 泊松分布泊

8、松分布 ,0,1,2,30!keP xkkk其中且为常数几何分布几何分布 均匀分布均匀分布 则x在区间a，b上服从均匀分布1( ),0,f xaxbba其他正态分布正态分布 eaxxp222/)(21)(指数分布指数分布,0( ),00,11( )xexf xVar x且为常数其他期望值E(x)=方差 卡方分布卡方分布 0,)2/(210, 0)(2/22/xexnxxpxnnt t分布分布 2(1)/21()2( )(1)( )2xntxnxp xnnn则 服从自由度为 的 分布F F分布分布0, 00,)()(2/ )(12122/22/1)2()2()2(211212121xxxkkxk

9、kxpkkkkkkkkk参数估计和拟合优度检验参数估计和拟合优度检验 参数估计l矩估计法l极大似然估计l最小法 拟合优度检验确定保额损失率确定保额损失率l建立损失分布就可估计出未来的损失，确定保额损失率。l根据保险精算原理，保额损失率通过不同风险个体和不同风险集合的损失分布求期望值而获得，计算公式如下： 保额损失率保额损失率l其中N表示保险金额损失率，E（S）表示期望损失，A表示保险金额总额。 ASEN/ )(附加费率附加费率l包括风险附加和费用附加风险附加风险附加l风险附加费率又称第一附加费率，它是为防止各年度实际保险金额损失率偏离保险金额损失率期望值，在净费率基础上附加的费率。费用附加费用

10、附加l费用附加是指保险公司为了进行正常的经营活动，还必须向投保人收取一定的经营管理费用、中介人佣金和税金等，它属于成本核算问题。 l在实际定价中，费用附加常以风险保费的一定比例计算。 l对附加费率的监管是保险监管的重要内容。后验费率的确定后验费率的确定 l根据保险精算定价理论，保险定价过程可分为两个方面建立充分费率和设定实际价格。l保险产品价格是建立在充分费率基础上，却不一定等于充分费率，保险公司可根据其自身的营销目标设定出比充分费率更低或更高或与充分费率相等的价格。l由纯保费与费用附加得到先验费率既充分费率，但是由于所保风险具有一定的异质性，为了体现公平性，让不同风险的缴纳不同的保费，我们需

11、要在实际的定价中对先验费率进行调整，这就是奖惩系统的设计。l基于已经发生的损失金额和损失次数，将被保险人分成不同的等级，对不同等级的被保险人收取不同的保费，对未发生损失的被保险人收取较低的保费，对与发生损失的被保险人收取惩罚性的保费。后验费率的确定，即BMS的设计。后验费率后验费率 l称为无赔款折扣系统(NCD： no-claims discount)，l又称为奖惩系统(BMS：bonus-malus system) lBMS最早产生于20世纪50年代中期的欧洲，后来逐渐为各国接受，并在各国形成了符合自身国情的奖惩系统。BMS被广泛应用于各种险种，在我国对于BMS的研究也大多集中在汽车保险的领

12、域。风险效用理论风险效用理论2022-4-29风险（期望）效用理论风险（期望）效用理论l圣彼得堡悖论圣彼得堡悖论lVon Neumann-MorgensternVon Neumann-Morgenstern期望效用理论期望效用理论l行为主体的风险偏好l风险效用理论的质疑与发展l基于风险效用理论的保险定价思想圣彼得堡悖论圣彼得堡悖论 l对风险按照数学期望值的方法度量，这种方法客观、直观和简便，然而在保险经济中却不适用。案例：案例：该企业的风险决策矩阵可表示为1=0.9992=0.0011（不发生保险事故）2（发生保险事故）a1200万元0a2199.75万元199.75万元a3199.78万元1

13、89.78万元三个方案的期望值分别为：三个方案的期望值分别为：77.199001. 078.189999. 078.19975.199001. 075.199999. 075.1998 .199001. 00999. 0200321XEXEXEl按照数学期望值决策，投保人不会采取保险公司提供的所有契约，然而在现实中，投保人往往愿意支付比损失风险数学期望值（其绝对值为0.2万元）大的保险费(比如0.25万元) 在保险公司投保.l这说明，按照数学期望值的大小进行比较，并没反应投保人心目中对随机变量的偏好。 l1728年，贝努里提出著名的“圣彼得堡赌博悖论”“彼得堡悖论”（或“圣彼得堡悖论”） l1

14、728年，Necholas Bemoulli 设计了如下实验：l假设一人重复向上抛一枚质地均匀的硬币知道它正面朝上，加入扔一次就正面朝上获得2美元报酬，如果扔第二次时正面朝上就获得 美元，扔第三次时就获得 美元，依此类推。问：人们愿意出多少钱去玩这个游戏？答案：23美元。l参加者可能赢钱的数学期望：4228233322212212212l圣彼得堡悖论说明，在人们心目中，不是用数学期望值来度量一个随机变量的。西方经济学效用理论西方经济学效用理论 效用：商品满足人的欲望的能力和消费者在消费商品时所感受到的满足程度。 基数基数( (cardinal number)cardinal number)效用

15、：边际效用分析方法效用：边际效用分析方法l总效用（TOTAL UTILITY，TU） ：消费者在一定时间内从一定数量商品的消费中所得到的效用量的总和。l边际效用（MARGINAL UTILITY，MU）：消费者在一定时间内增加一单位商品的消费所得到的效用量的增量 序数序数( (ordinal number)ordinal number)效用：无差异曲线分析方法效用：无差异曲线分析方法无差异曲线（Indifference curve）l含义：无差异曲线表示对消费者没有区别的商品组合的点的轨迹。即无差异曲线是用来表示两种商品或两组商品的不同数量的组合对消费者所提供的效用是相同的。 无差异曲线的特征

16、无差异曲线的特征l无差异曲线是是一条凸向原点，并向右下方倾斜的曲线，其斜率为负值，它表明在收入与价格既定的条件下，为了获得同样的满足程度，增加一种商品消费时就必须放弃或减少另一种商品的消费。两种商品在消费者偏好不变的条件下，不能同时减少或增多。l 在同一平面图上有无数条无差异曲线，同一条无差异曲线代表同样的满足程度，不同的无差异曲线代表不同的满足程度，离原点越远，满足程度越大，反之则越小。 偏好关系偏好关系 关于消费者偏好的基本假定关于消费者偏好的基本假定l偏好的完全性；偏好的可传递性；偏好的非饱和性 l偏好关系偏好关系l定义：消费集X上的二元关系，用“ ”表示，若 ，l我们称对于消费者“ 与

17、 只是一样地好”。若该二元关系满足如下公理：l完备性：完备性：对于任意属于X集的两个选择 与 ，要么 ，要么l传递性：传递性：对于任意属于X集的任何三元素 、 与 ， 如果 且 ，则 。那么它被称为一种偏好关系。21xx 1x2x1x2x21xx 12xx 1x2x3x21xx 32xx 31xx 贝努利的建议：贝努利的建议：l贝努利建议，可以对原有的期望值“度量” 进行修正，其方法是对结果值进行变换，即构造定义在实数集合上的函数u(x)，满足 Rxxu , 0l对于连续性随机变量X,可以用其对应的概率密度函数f(x)计算效用期望值 baxdxxfxuXuEba,)()()(l对于离散型随机变

18、量X，可以用其对应的概率分布列计算效用期望值 iiixupXuE)()(l然而，贝努利的建议有何根据？它和行为主体（如投保人）对于随机变量之间的偏好有什么关系？如何建立行为主体（如投保人）的效用函数？l这些问题直到Von Neumann-Morgenstern Von Neumann-Morgenstern 证明了如下定理后才得以从理论上解决。Von Neumann-MorgensternVon Neumann-Morgenstern期望效用理期望效用理论论l设D为一个行为主体所有可能选择组合结果的集合，当行为主体对不同的选择组合（因而对与其对应的概率分布）的偏好满足如下公理： 保序性公理：

19、jijijiDDDDDDD）（）（则-1-1,1 , 0,中值性公理：中值性公理：kijkjijiDDDDDDDDD）（使得则且-1),1 , 0(,等价关系的独立性公理：等价关系的独立性公理：kjkijijiDDDDDDDDD）（）（，那么如果-1-1,1 , 0,l则存在一个效用函数则存在一个效用函数u(x)u(x)对应该行为主体对选对应该行为主体对选择组合的偏好，并且该行为主体对选择组合的择组合的偏好，并且该行为主体对选择组合的评价是按效用期望值做出的，即对随机变量评价是按效用期望值做出的，即对随机变量X X的的评价值为评价值为 注：证明过程略。baxdxxfxuXuEba,)()()(

20、iiixupXuE)()(效用期望值（风险效用）的确定效用期望值（风险效用）的确定 l 对于连续型随机变量X，可以用其对应的概率密度函数f(x)计算效用期望值 baxdxxfxuXuEba,)()()(l对于离散型随机变量X，可以用其对应的概率分布列计算效用期望值 iiixupXuE)()(l例2-1 2-1 假设某企业拥有价值200200万元的厂房，厂房发生火灾的概率为0.0010.001，不发生火灾的概率为0.9990.999。如果保险公司甲愿意接受该企业的风险转移，即保险事故发生时，保险公司赔付200200万元，但该企业需交纳保费P1=0.25P1=0.25万元；保险公司乙提出绝对免赔额

21、1010万元，而要求的保费是P2=0.22P2=0.22万元。则该企业有三种方案：a)a)自留风险；b)b)投保保险公司甲；c)c)投保保险公司乙。 l若计算三个方案的效用期望值。xxu)(40.14131897800001. 01997800999. 0)(33.14131997500001. 01997500999. 0)(80.14120001. 02000000999. 0)(321XuEXuEXuE风险效用函数与西方经济学中的效用函风险效用函数与西方经济学中的效用函数比较数比较l微观经济学中的效用函数： 0)(, 0)(,),( xuxuRxxul经济学意义： ,0)(xu,0)(

22、xu 多多益善假设，即消费品数量越多效用越大假设 边际效用递减假设，或者叫消费有够假设风险效用函数：风险效用函数：0)(,),(xuRxxu l对风险的态度与效用函数之间的关系： 风险中性的形式为线性函数风险喜好）为凸函数（风险厌恶）为凹函数（:)(:0)(, 0)()(:0)(, 0)()(baxxuxuxuxuxuxuxu 风险确定等价值风险确定等价值l定义定义3.13.1：如果u(x)是行为主体的效用函数，那么对于一个随机变量（风险）l称 为X的确定值等价。 nnxxxX,;,;,2211XuEuSX1l含义是：在行为主体的心目中，得到确定的结果与采取行动得到的随机变量X是等价的。l 可

23、看作行为主体对X的主观评价 XSXSl显然， 与EX之间的关系是l三者之一 XSXESXESXESXXX确定等价值的确定确定等价值的确定 l在前例中：xxu)(确定等价值的确定确定等价值的确定40.14131897800001. 01997800999. 0)(33.14131997500001. 01997500999. 0)(80.14120001. 02000000999. 0)(321XuEXuEXuE确定等价值的确定确定等价值的确定8 .199600380.1412,80.1412211XXSS风险态度风险态度l定义定义3.23.2：如果u(x)是行为主体的效用函数，那么对于任意的随

24、机变量（风险）nnxxxX,;,;,2211XS1）均有 EX，则称该行为主体是风险喜好型的； l3）均有 =EX，则称该行为主体是风险中性型的； XSXS詹森定理詹森定理 l定理定理3.13.1（JensenJensen不等式）不等式）：如果函数u(x) 具有 l对 均成立，则对任意的随机变量（风险），均有 0, 0 xuxu XEuXuEx该定理说明，如果行为主体的风险效用该定理说明，如果行为主体的风险效用函数是：函数是： l1）凹函数，即 则该行为主体是风险厌恶者；l2）凸函数，即 则该行为主体是风险喜好者；l3）具有线性风险效用函，即 则该行为主体是风险中性者； 0,0 xuxu0,0

25、 xuxu 0,0 xuxul注：詹森定理的证明（见注：詹森定理的证明（见wordword）。）。 风险厌恶的度量风险厌恶的度量 lMarkowitz Markowitz 风险酬金风险酬金1（ Markowitz risk premium）lk(X)=EX- l 1 也被称为“风险升水”。XSl可看作行为主体为了避免随机变量造成的不确定性，而愿意放弃的收益的最大值。lMarkowitz 风险酬金越大，说明行为主体为避免风险愿意放弃的收益越多。l因此可以用Markowitz 风险酬金来刻画行为主体对风险的厌恶程度。 lMarkowitz risk premium 非常直观地表达了行为主体对风险的

26、厌恶程度，然而Markowitz risk premium 的大小与随机变量有关。l因此，必须寻找只反映行为主体主管的风险态度（与客观的随机变量无关）的量，来度量行为主体对风险的厌恶程度绝对风险厌恶度的提绝对风险厌恶度的提出。出。 绝对风险厌恶度的提出（Arrow, Pratt）：l根据Markowitz risk premiumMarkowitz risk premium的定义：的定义：lk(X)=EX-XS kXESX展开，得：附近进行对该等式两边在TaylorXEkXEuXuE XEuXEuXVarXk 2l为此，ArrowArrow（19701970）和和PrattPratt（1964

27、1964）分分别把反映客观风险的因素别把反映客观风险的因素去掉，仅留下反映行为主体主观上对风险的态度部分，提出绝对风险厌恶度的概念。 l定义定义3.43.4： 如果行为主体的效用函数为u(x),称 l为行为主体的（Pratt-Arrow）绝对风险厌恶度。 xuxuxr l定义定义3.5: 3.5: 设 l分别是风险厌恶型行为主体A与B的风险效用函数。如果对任意x都有：l则称行为主体A比行为主体B更厌恶风险。 xuxuBA, ,xrxrBAl定理定理3.4(3.4(Pratt) Pratt) 如果如果l则对任意随机变量X,必有 , xrxrBA XkXkBAl例例: : 两个行为主体的风险效用函

28、数分别为l试比较它们对风险厌恶的程度 。l解： ,4ln,21xxuxxu 41,2121xxrxxr相对风险厌恶度l定义定义3.63.6：如果行为主体的效用函数为u(x),称l l为行为主体的相对风险厌恶度。xxuxuxR l例：两个行为主体的效用函数分别为 l试比较他们对风险厌恶的程度。 4ln,)(21xxuxxu初始资产对风险厌恶的影响初始资产对风险厌恶的影响 l设风险厌恶型的行为主体拥有初始资产l一般来说，他会把面临的风险与初始资产“捆绑”在一起进行度量。 0W定义定义3.7 3.7 l如果行为主体的效用函数为 ,u xu x r xu xl具有性质l则称行为主体是递减绝对风险厌恶的

29、； 0,r xx l如果l则称该行为主体是常绝对风险厌恶的；l如果l则称行为主体是递增风险厌恶的。0,rx 0,rx l一般说来，如果l那么对于任意风险X， l成立，即随着初始资产的增加，对风险感受的厌恶程度会下降； 0,rx000dk WXdWl如果l那么对于任意风险X， 有l 即随着初始资产的增加，对风险感受的厌恶程度会上升； 0,rx 000dk WXdWl如果l那么对于任意风险X，l 即对风险的厌恶程度与初始资产无关。 0,r x 000dk WXdWlPratt(1964)1、Keeny和Raiffa2(1976)指出：l1 Pratt，J.W., Risk Aversion in

30、the small and in the large ,Econometrica(32),1964,pp.122-136l2 Keeny, R.L., Raiffa, H., Decisions with Multiple Objectives-Preferences and Value Tradeoffs; New York et.al.1976l具有常绝对风险厌恶的效用函数的形式只有具有常绝对风险厌恶的效用函数的形式只有 ,0 xu xel具有递增绝对风险厌恶的效用函数，其形式为具有递增绝对风险厌恶的效用函数，其形式为l l是这种形式的效用函数中的一种特例。 ,1u xx x 210,0.

31、5u xxxxl具有递减绝对风险厌恶的效用函数的形式有下具有递减绝对风险厌恶的效用函数的形式有下列多种列多种 ln,01,0,u xxxu xxxu xxx l可以看出，l是这种效用函数的一种特例。uxx风险效用理论的质疑与发展风险效用理论的质疑与发展l阿莱悖论；l马齐纳概率三角形；l偏好逆转；l框架效应；l前景理论基于风险效用理论的保险定价基于风险效用理论的保险定价l对存在风险和不确定条件下，以期望货币最大化作为决策标准提出质疑，并首次提出“效用”概念，同时提出了边际效用递减原理和最大期望效用原理。l冯诺一曼和摩津斯坦证明了对一个“行为合理” 的决策者，存在一个效用函数，其根据随机事件期望效

32、用值的大小决定。l效用值的大小衡量了决策者对于风险的态度、偏好等主观因素的强弱程度。效用理论属于个体心理及行为的决策理论。投保条件投保条件)()(XVuHVu 承保条件承保条件)()(AWXPAW122达成协议的条件达成协议的条件l保险产品的价格只有介于P和H之间时，才是合理，而且能为投保人和承保人接受的。 零效用原则零效用原则承保人角度承保人角度l在确定保费时，零效用保费定价方法是较为常见的。l对于承保人来说，承担风险X的期望效用应与不承保时的效用相等，这是效用理论在保险定价实务方面的具体运用形式。l Eu(P(X)-X)=u(0)=0l根据效用函数的不同可以分成不同的原则。主要有以下的原则

33、：指数原则指数原则 ln1)(0,11aXaxeEaXPaeaxu与初始资产有关的零效用原则与初始资产有关的零效用原则)()(00WuXXPWuE中值原则中值原则Eu(X)=u(P(X)损失函数原则损失函数原则EsscherEsscher原则原则 lMin EL(X-P(X)Min EL(X-P(X)，l其中L()为损失函数。0,0 xxxL XP XEPE XeL XP XeXP XPXE e特殊损失函数金融定价理论金融定价理论 产生背景产生背景l早在20世纪20年代，火灾保险委员会的少数报告就建议将投资收入也考虑到决定合理利润条款中，但是这项建议被国际保险委员会否决。l当时保险监管协会的立场是只有承保行为是决定保险公司合理利润水平的决定因素，与投资无关。l而且，推荐使用5%作为一定的边际利润水平，该水平在制定时很明显没有统计数据的支持。l在20世纪60年代和70年代，由于利率的波