第14章 弹性力学的变分解法

1、14.1 弹性体的虚功原理弹性体的虚功原理14.2 贝蒂互换定理贝蒂互换定理14.3 位移变分方程位移变分方程 最小势能原理最小势能原理14.4 最小势能原理推导以位移表示的最小势能原理推导以位移表示的 平衡微分方程及边界条件的实例平衡微分方程及边界条件的实例14.5 基于最小势能原理的近似计算方法基于最小势能原理的近似计算方法第第14章章 弹性力学的变分解法弹性力学的变分解法泛函的定义及举例函数：对于变量x的某一变域中的每一个值，y都有唯一一个值与之相对应，那么变量y称作变量x的函数。记为： y=f (x)x称为函数的自变量。泛函：对于某一类函数y()中的每一个函数y(x)，变量J都有一个值

2、与之相对应，那么变量J称作依赖于函数y(x)的泛函。记为： J=J y(x)y(x)称为泛函的宗量。例子 泛函的极值泛函极值定理： 若可微泛函Jy(x)在y0(x)上达到极值，则在y= y0(x)上的变分为零。即)71 (0J14.1 弹性体的虚功原理弹性体的虚功原理0b,ijijsFjijsinFs)(21,ijkjikijkuuiikuusijkiukij静力可能的应力与几何可能的位移高斯公式14.2 贝蒂互换定理贝蒂互换定理14.3 位移变分方程位移变分方程 最小势能原理最小势能原理14.4 最小势能原理推导以位移表示的平衡微分方程及边界条件 一、一、里兹（里兹（Ritz）法）法基本思想

3、：基本思想：设定位移函数的表达形式，使其满足位移边界条件，其中含设定位移函数的表达形式，使其满足位移边界条件，其中含有若干待定常数，然后利用最小势能原理有若干待定常数，然后利用最小势能原理(位移变分方程位移变分方程)确定确定这些常数，即得位移解。这些常数，即得位移解。设选取的位移表达式如下：设选取的位移表达式如下：mmmuAuu0mmmvBvv0mmmwCww0（a）其中：其中：mmmCBA,为互不相关的为互不相关的 3m 个系数；个系数；000,wvu为设定的函数，且在边界上有：为设定的函数，且在边界上有：,0uus,0vvswws0),(zyxuumm),(zyxvvmm),(zyxwwm

4、m为边界上取零值的设定函数为边界上取零值的设定函数 显然，上述函数满足位移边显然，上述函数满足位移边界条件。界条件。此时，位移的变分此时，位移的变分wvu,由系数由系数 Am、Bm、 Cm的变分来实现。的变分来实现。000,wvu与变分无关。与变分无关。14.5 基于最小势能原理的近似计算方法,mmmAuu,mmmBvvmmmCww（b）位移的变分：位移的变分：形变势能的变分：形变势能的变分：由应变能计算式可知：由应变能计算式可知：),(mmmCBAUU （c）mmmAAUUmmmBBUmmmCCUmmmmmmmCCUBBUAAU根据最小原理，有：根据最小原理，有：mmmmmmmCCUBBUA

5、AUmmmmmmmdxdydzCZwBYvAXu0mmmmmmmdSCwZBvYAuX将上式整理、移项、合并，可得：将上式整理、移项、合并，可得：mmmmmAdSuXdxdydzXuAUmmmmmBdSvYdxdydzYvBU0mmmmmCdSwZdxdydzZwCUmmmCBA,完全任意，且互相独立，完全任意，且互相独立， 要使上式成立，则须有：要使上式成立，则须有：0dSuXdxdydzXuAUmmm0dSvYdxdydzYvBUmmm0dSwZdxdydzZwCUmmmdSuXdxdydzXuAUmmmdSvYdxdydzYvBUmmmdSwZdxdydzZwCUmmm Ritz 法方程

6、法方程或称或称 Rayleigh- Ritz 法方程法方程说明：说明：（1）由由 U 的表达式（的表达式（4-20）可知，）可知，U 是系数是系数mmmCBA,的二次函数，的二次函数，因而，上式为各系数的线性方程因而，上式为各系数的线性方程 组。组。mmmCBA,互不相关，因而，总可以求出全部的系数。互不相关，因而，总可以求出全部的系数。（2）,mmmCBA求出了系数求出了系数就可求得其它量，如位移、应力等就可求得其它量，如位移、应力等（3） 在假定位移函数时，须保证其满足全部位移边界条件。在假定位移函数时，须保证其满足全部位移边界条件。基本思想构造位移试函数满足位移(面力)边界条件Rayle

7、ighRitz(瑞利里兹)法(伽辽金)法 通过能量变分，偏微分方程边值问题转化为通过能量变分，偏微分方程边值问题转化为线性代数方程组。线性代数方程组。位移边界条件位移与面力边界条件解：用瑞利里兹法位移试函数 例例1： 两端简支的等截面梁，受均匀分布载荷q作用如图所示,不计体力。试求解梁的挠度w(x) 满足梁的位移边界条件：在x=0，l处，w=0 mmlxmCwsin简支梁的形变势能为： 22222222000d() d( sin) d22d2lllmmMEIwEImmUdxxCxEIxll积分后可得:442314mmEIUm Cl外力势能为:0021sindllmszmqlw F dxqxlm

8、当m为奇数时。有：所以44344320(20(2mmEIqlm CmlmEIm Cml为奇数）为偶数）4554(0(mmqlCmEImCm为 奇 数 ）为 偶 数 ）回代 4551,3,5,41sinmqlm xwEIml挠曲线表达式是无穷级数精确解这个级数收敛很快，只要取少数几项就可以得到足够的精度。如果取一项 这一结果与精确值十分接近 。EIqlw6 .764max例例2:如图所示简支梁，中点处承受有集中如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。试求的梁的挠曲线方程。 PEIABlxy解解:（1）假设位移试探函数）假设位移试探函数（必须满足位移边界条件）（必须满足位移边界条

9、件）设位移试探函数为（取一项）：设位移试探函数为（取一项）：xlawsin)0(lx 式中：式中：a 为待定常数。为待定常数。0)(, 0)0(lww（2）计算形变势能）计算形变势能 U：dxdxwdEIUl20222)(xw（ a）（ b）alEIaU342显然，式（显然，式（a）满足端点的位移边界条件）满足端点的位移边界条件:（3）代入）代入Ritz 法方程，求解法方程，求解（ c）2344alEIdSuXdxdydzXumm2sinllPPdSuXdxdydzXummmAUPaUPalEI342（ d）P)(xMEIABlxy)(xwxlEIPlwsin243讨论：讨论： （1） 中点的

10、挠度：中点的挠度：（ e）,2432EIPlwlx而材料力学的结果：而材料力学的结果：,4832EIPlwlx两者比较：两者比较：式（式（a）的结果偏小）的结果偏小1.46%。如果取如下位移函数：如果取如下位移函数：mmxlmAwsin式中项数式中项数 m 取得越多，则求得精度就越高。取得越多，则求得精度就越高。（2）所取的位移函数必须满足位移边界条件。所取的位移函数必须满足位移边界条件。（3）位移函数选取不是唯一的，如：位移函数选取不是唯一的，如：),1 (lxlxAwEIPla432lxlxAAlxlxw1)1 (21P)(xMEIABlxy)(xw例例3:如图所示简支梁，中点处承受有集中

11、如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。试求的梁的挠曲线方程。 解解:（1）假设位移试探函数）假设位移试探函数lxlxAAlxlxw1)1 (21, 00w),1 (1lxlxw2222)1 (lxlxw式中：式中：A1、A2 为待定常数。为待定常数。显然，式（显然，式（a）满足端点的位移边界条件）满足端点的位移边界条件:0)(, 0)0(lww（2）计算：）计算：dxdxwdEIUl20222梁的形变势能梁的形变势能:)5(5222213AAlEI,4131AlEIAU23254AlEIAU:)(0dxwxqmldxwxql10)(21lxwP4Pdxwxql20)(22l

12、xwP16P（3）代入）代入 Ritz 法方程法方程:P)(xMEIABlxy)(xw例例3:如图所示简支梁，中点处承受有集中如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。试求的梁的挠曲线方程。 解解:位移函数位移函数lxlxAAlxlxw1)1 (21（a）（3）代入）代入 Ritz 法方程法方程:,4131AlEIAU23254AlEIAU:)(0dxwxqmldxwxql10)(21lxwP4Pdxwxql20)(22lxwP16PdxdxwdEIUl20222)5(5222213AAlEI1AUdxwxql10)(2AUdxwxql20)(4413PAlEI165423PA

13、lEI,1631EIPlA EIPlA64532所求挠曲线方程所求挠曲线方程 :lxlxlxlxEIPlw154)1 (643P)(xMEIABlxy)(xw所求挠曲线方程所求挠曲线方程:lxlxlxlxEIPlw154)1 (643中点挠度中点挠度:EIPlwlx10242132而材料力学的结果：而材料力学的结果：,4832EIPlwlxEIPlwwlxlx48641322641222lxlxlxwww015625. 0%5625. 1解：位移试函数 例例4：矩形薄板，四边固定，受平行于板面的体力作用。设坐标轴如图所示，试用RayleighRitz法求解。 m和n为正整数在边界x=0，a，和

14、y=0，b上，u=v=0，所以试函数满足位移边界条件。 mnmnmnmnbynaxmBvbynaxmAusinsinsinsin平面应力问题 因此 yxyuxvvyvxuvyvxuvEUa bdd)(212)()()1 (2202202yxyuxvByuxvvxuByvvyvBxuvyvByvxuBxuvEBUyxyuxvAyuxvvxuAyvvyvAxuvyvAyvxuAxuvEAUmnmnamnmnmnbmnmnmnamnmnmnbmndd)()(1 ()(2)(2)(2)(2)1 (2dd)()(1 ()(2)(2)(2)(2)1 (20 020 02将位移试函数代入求导数后再积分 因此

15、 yxbynaxmFBUyxbynaxmFAUaybmnaxbmnddsinsinddsinsin0b00b0yxbynaxmFBvamvbnabEyxbynaxmFAvbnvamabEya bmnaxbmnddsinsin)1 (2)1 (4ddsinsin)1 (2)1 (4b0 02222220b0222222如果体力已知，积分可求待定系数Amn和Bmn例例5：图示薄板，宽为图示薄板，宽为 a，高度为，高度为 b，左边和下边受连，左边和下边受连杆支承，右边和上边分别受有均布压力杆支承，右边和上边分别受有均布压力 q1和和 q2 作用，不计体力。试求薄板的位移。作用，不计体力。试求薄板的位

16、移。解：解：（1）假设位移函数）假设位移函数),(321yAxAAxu),(321yBxBByv（a）满足边界条件：满足边界条件： , 00 xu 00yv在式（在式（a）中）中u,v 各取一项各取一项 ，即，即,111xAuAuyBvBv111（b）（2）计算形变势能）计算形变势能 U将式（将式（b）代入平面应力情形下）代入平面应力情形下形变势能公式，有形变势能公式，有 abBAEU00212121dxdyBA112积分得：积分得：112121221BABAEabU（c）112121221BABAEabU（c）（3）代入）代入Ritz 法方程求解法方程求解体力体力, 0YX, 1m有有,11

17、dsuXAUdsvYBU11,1qX在右边界：在右边界：,1axudyds adyqdsuXb011;1abq,2qY在上边界：在上边界：,1byvdxds bdxqdsvYa021;2abq于是有：于是有：,11abqAU,21abqBU将式（将式（c）代入，得）代入，得dSuXdxdyXuAUmmmdSvYdxdyYvBUmmm（11-15）,)22(121112abqBAEab,)22(122112abqABEab联立求解，得：联立求解，得：,211EqqA,121EqqB（f）代入位移表达式（代入位移表达式（b），得：），得：,21xEqquyEqqv12（g）讨论：讨论：（1）如果在

18、位移式（如果在位移式（a）中再多取一些）中再多取一些系数如：系数如：A2、B2等，但是经计算，等，但是经计算，这些系数全为零。这些系数全为零。（2）位移解（位移解（g）满足几何方程、平衡）满足几何方程、平衡方程和边界条件。方程和边界条件。表明：位移解（表明：位移解（g）为问题的精确解。）为问题的精确解。Ritz 法解题步骤：法解题步骤：（1）假设位移函数，使其满足边界条件；）假设位移函数，使其满足边界条件；（2） 计算形变势能计算形变势能 U ；（3）代入）代入Ritz 法方程求解待定系数；法方程求解待定系数；（4）回代求解位移、应力等。）回代求解位移、应力等。例例6:图示矩形薄板，宽为图示矩

19、形薄板，宽为2 a，高度为，高度为2 b，左右两，左右两边和下边均被固定，而上边的给定位移为：边和下边均被固定，而上边的给定位移为：, 0u,122axv（a）不计体力。试求薄板的位移和应力。不计体力。试求薄板的位移和应力。解解:（1）假设位移函数）假设位移函数只取一项，即只取一项，即 m =1, 将位移分量设为：将位移分量设为：bybyaxaxAu11221byaxv221bybyaxB11221（b）显然，可满足位移边界条件：显然，可满足位移边界条件： , 0 axu , 0 axv , 00yu , 00yv , 0byu 221axvby（2）代入）代入Galerkin 法方程求解法方

20、程求解该问题中无应力边界条件，式（该问题中无应力边界条件，式（b）满足全部）满足全部条件。条件。可用伽辽金（可用伽辽金（Galerkin）法求解。）法求解。X = Y = 0，m = 1，伽辽金法方程变为：伽辽金法方程变为：0212122222dxdyuyxvyuxum0212122222dxdyvyxuxvyvm22xu,62221bybyaxaA22yu,23321axaxbAyxu2,2131221byaxabA02121)1 (222222dxdyuXyxvyuxuEm02121)1 (222222dxdyvYyxuxvyvEm（c）22xv,2222212bybyaBbya22yv,

21、122221axbByxv2,21221byaxabBaxab,22331bybyaxaxu,122221bybyaxv 将其代入伽辽金方程（将其代入伽辽金方程（c）, 可求得：可求得：,)1 (2042)1 (351baabA)1 (216)1 (50221baB代回位移表达式（代回位移表达式（b）, 得位移解答：得位移解答：baabu)1 (2042)1 (35bybyaxax1122)1 (216)1 (5022babyaxv221bybyax1122当当 b = a，取，取 = 0.2时，上述解答成为时，上述解答成为：724. 0u2233ayayaxax221axv22227. 0773. 0ayay（3）求应力分量）求应力分量应用几何方程及物理方程，可求得应力为：应用几何方程及物理方程，可求得应力为：yvxuEx21ayaxaE095. 0161. 0122,31754. 02222ayayaxxuyvEy21ayaxaE473. 0805. 0122,31302. 02222ayayaxyuxvExy12yuxvEx