第二节 应变分析2015

1、1第二节第二节 应变分析应变分析一、掌握重点内容：一、掌握重点内容：1 1应变分量的表示和位移之间的关系应变分量的表示和位移之间的关系2 2应变分量之间的组合关系应变分量之间的组合关系3 3应变分量与应力分量之间的对应关系应变分量与应力分量之间的对应关系4 4由小变形过渡到大变形的概念由小变形过渡到大变形的概念2二、有关二、有关变形变形的一些基本概念的一些基本概念（一）首先观察以下简单的例子：（一）首先观察以下简单的例子：图图a a）表示均匀拉伸，变形体中的单元）表示均匀拉伸，变形体中的单元体体P P在拉伸后拉长变细，在拉伸后拉长变细，同时移至同时移至P P1 1的的位置，在不同的方向切取单元

2、体时，位置，在不同的方向切取单元体时，单元体变形的表现形式不同。例如斜单元体变形的表现形式不同。例如斜切的单元体切的单元体Q Q移至移至Q Q1 1的同时就的同时就歪斜歪斜了。了。图图b b）表示一物体在有摩擦的平板间被）表示一物体在有摩擦的平板间被压缩成了鼓形，这时中心线上的一个压缩成了鼓形，这时中心线上的一个单元体单元体P P被压扁且移至被压扁且移至P P1 1，而，而Q Q移至移至Q Q1 1时时还由于摩擦力的作用而还由于摩擦力的作用而歪斜了歪斜了；单元；单元体体R R移至移至R R1 1时还有明显的时还有明显的角度偏转。角度偏转。3图图c c）表示理想化的剪切过程，）表示理想化的剪切过

3、程，这时单元体这时单元体P P被剪斜了；而单元被剪斜了；而单元体体Q Q则仅仅则仅仅平移平移至至Q Q1 1，并，并未变形未变形。图图d d）是弯曲工序，单元体）是弯曲工序，单元体P P移移至至P P1 1时，被压短而且转动了角时，被压短而且转动了角度；单元体度；单元体Q Q移至移至Q Q1 1的同时的同时转转动动了一个角度，但了一个角度，但没有变形没有变形。 4n以上的例子说明：以上的例子说明：n变变形的大小形的大小与质点间的与质点间的相对位移相对位移变化变化有关有关 n一点的不同方向，变形数值不同一点的不同方向，变形数值不同 n刚性位移，刚性位移，不产生变形。不产生变形。n因此因此: :在

4、外力作用下在外力作用下, ,物体各点的物体各点的位置位置要发生变化要发生变化, ,即发生位移即发生位移. .5n刚性位移：如果物体各点发生位移后仍然保持各刚性位移：如果物体各点发生位移后仍然保持各点间的初始状态的相对位置点间的初始状态的相对位置, ,则物体实际上只产生则物体实际上只产生刚体刚体移动和转动移动和转动, ,称这种位移为刚性位移。称这种位移为刚性位移。刚性位移刚性位移不产生变形不产生变形。位移分为两种：位移分为两种：相对位移：相对位移：如果物体各点发生位移变形改变各点如果物体各点发生位移变形改变各点间的初始状态的相对位置间的初始状态的相对位置, ,即内部质点产生相对位即内部质点产生相

5、对位置的改变。置的改变。相对位移产生形状的变化相对位移产生形状的变化, ,称为该物体的变形，称为该物体的变形，6纯变形纯变形（二）基本概念（二）基本概念（1 1）单元体的变形可分为两种形式：线应变和角应变单元体的变形可分为两种形式：线应变和角应变。线应变（或正应变）：线应变（或正应变）：单元体线尺寸的伸长或缩短单元体线尺寸的伸长或缩短 角应变（或切应变）：角应变（或切应变）：单元体角度的变化（即单元单元体角度的变化（即单元体畸变）体畸变）物体受力物体受力 内部质点产生内部质点产生相对位置相对位置的改变和形状的改变和形状的变化，的变化，即变形。即变形。应变应变是表示变形大小的物理量。是表示变形大

6、小的物理量。7（2 2） 对于同一变形的质点，随着切取单元体的方对于同一变形的质点，随着切取单元体的方向不同，则单元体表现出来的变形数值也不同，所以向不同，则单元体表现出来的变形数值也不同，所以同样需要引入同样需要引入“点的应变状态点的应变状态”的概念。的概念。（3 3）物体变形时，单元体一般同时发生）物体变形时，单元体一般同时发生平移、转动、平移、转动、正应变、角应变。正应变、角应变。平移、转动平移、转动统称统称刚刚性性运动运动（并不引起变形），只（并不引起变形），只表示刚性位移。表示刚性位移。物体的变形只与其物体的变形只与其内部质点的相对位置内部质点的相对位置有关，而与物有关，而与物体的刚

7、体运动无关。体的刚体运动无关。各质点的相对位置变化时，会产生应变。各质点的相对位置变化时，会产生应变。金属塑性成形原理应变分析8总结：总结：位移：质点从一点移至另一点位移：质点从一点移至另一点变形：只有质点间的变形：只有质点间的位移不一致位移不一致时，才产生变形时，才产生变形 刚性位移刚性位移（旋转和平移）（旋转和平移）不产生变形不产生变形 正变形：线尺寸伸长或缩短正变形：线尺寸伸长或缩短 剪变形：形状发生畸变（角度发生变化）剪变形：形状发生畸变（角度发生变化）刚性位移刚性位移 （旋转和平移）（旋转和平移）相对位移（正变形、剪变形）相对位移（正变形、剪变形）91 1、概念、概念位移位移：变形体

8、各点位置的移动。：变形体各点位置的移动。位移分量：位移分量：设物体内任意点的位移矢量为设物体内任意点的位移矢量为MMMM1 1，则它在，则它在三个坐标轴方向的投影就称为该点的位移分量，分别三个坐标轴方向的投影就称为该点的位移分量，分别用用u u、v v、w w表示，简记为表示，简记为u ui i。一位移分量和应变一位移分量和应变（一）位移及其分量（一）位移及其分量10由于物体在变形之后仍应保持连续，故位移分量由于物体在变形之后仍应保持连续，故位移分量应是应是坐标的连续函数，坐标的连续函数，而且一般都有连续的二阶而且一般都有连续的二阶偏导数，对于直角坐标系，位移分量函数即为：偏导数，对于直角坐标

9、系，位移分量函数即为：u=uu=u（x, y, zx, y, z）v=vv=v（x, y, zx, y, z）w=ww=w（x, y, zx, y, z）上式表示某物体内的位移场上式表示某物体内的位移场。 位移场位移场11&2 2相对位移相对位移&1 1）单元体均匀变形时基本假设）单元体均匀变形时基本假设&（1 1）变形前是直线，变形后仍为直线）变形前是直线，变形后仍为直线&（2 2）变形前后均为平面）变形前后均为平面&（3 3）变形前后仍为平行平面）变形前后仍为平行平面&（4 4）变形前后仍为平行直线）变形前后仍为平行直线n变形的大小与位移变形的大小与位移有关有关 n一点的不同方向，变形数值

10、不同一点的不同方向，变形数值不同 金金属属塑塑性性成成形形原原理理应应变变分分析析123 3相对位移分量相对位移分量 现在来研究变形体内无限接近两点的现在来研究变形体内无限接近两点的位移分量之间的位移分量之间的关系。关系。 设受力物体内任一点设受力物体内任一点M M，其坐标为（，其坐标为（x,y,zx,y,z），小变形），小变形后移至后移至M M1 1，其位移分量为，其位移分量为uiui（x,y,zx,y,z ）。）。邻近的点邻近的点与与M M点无限接近的一点点无限接近的一点M M点，点，其坐标为（其坐标为（x+dxx+dx，y+dyy+dy，z+dzz+dz），小变形后移至），小变形后移至M

11、 M1 1，其位移，其位移分量为分量为uiui（x+dxx+dx，y+dyy+dy，z+dzz+dz）如图所示。）如图所示。13（1 1）各点的坐标值）各点的坐标值M M（x x，y y，z z）M M（x+dxx+dx，y+dyy+dy，z+dzz+dz）（2 2）M M1 1点的位置函数点的位置函数u=uu=u（x x，y y，z z）v=vv=v（x x，y y，z z）w=ww=w（x x，y y，z z） 邻近的点邻近的点14（3 3）M M1 1点的位置函数点的位置函数u+u=uu+u=u（x+x+dxdx，y+y+dydy，z+z+dzdz）=f=f1 1（x+x+dxdx，y+

12、y+dydy，z+z+dzdz）v+v=vv+v=v（x+x+dxdx，y+y+dydy，z+z+dzdz）=f=f2 2（x+x+dxdx，y+y+dydy，z+z+dzdz）w+w=ww+w=w（x+x+dxdx，y+y+dydy，z+z+dzdz）=f=f3 3（x+x+dxdx，y+y+dydy，z+z+dzdz）邻近的点邻近的点15（4 4）相对位移的表达式）相对位移的表达式按泰勒级数展开按泰勒级数展开忽略高阶小量，得忽略高阶小量，得)(!1)(21),(12212221222121111nnndxxfndzzfdyyfdxxfdzzfdyyfdxxfzyxfuudzzudyyudx

13、xuu简记为：简记为：u ui i（x+dxx+dx，y+dyy+dy，z+dzz+dz），将函数），将函数u ui i按泰勒级按泰勒级数展开，并略去二阶以上的高阶微量，并利用求和约定，数展开，并略去二阶以上的高阶微量，并利用求和约定，则得则得16同理，得同理，得dzzdyydxxdzzwdyywdxxww 若已知变形物体内的一点若已知变形物体内的一点M M的位移分量，则与其临近一的位移分量，则与其临近一点点M M点的位移分量可用点的位移分量可用M M的位移分量的位移分量及其增量及其增量来表示。来表示。u ui i= = u ui i+du+dudzzudyyudxxuu位移增量位移增量uuu

14、dudxdydzxyzvvvdvdxdydzxyzwwwdwdxdydzxyz相对位移的意义：相对位移的意义：某一方向上的相对位移增量等于该方向某一方向上的相对位移增量等于该方向上的位移分量在三个坐标方向变化量上的位移分量在三个坐标方向变化量之和之和。17金属塑性成形原理应变分析dxxdxxww若无限接近两点的连线M M M M平行于某轴，如平行平行于某轴，如平行X X轴，轴，则：则：dxxuuM则在则在X X方向上的相对位移增量等于该方向上的位移分方向上的相对位移增量等于该方向上的位移分量在量在X X坐标方向变化量坐标方向变化量。18（二）应变及其分量（二）应变及其分量1.1.名义应变及其分

15、量名义应变及其分量名义应变又称名义应变又称相对应变或工程应变。相对应变或工程应变。 材力，弹塑性理论所讨论的变形一般都是小变形，一材力，弹塑性理论所讨论的变形一般都是小变形，一般在般在10103 310102 2数量级。在此基础上，我们将进一步讨论数量级。在此基础上，我们将进一步讨论大塑性变形的特点。大塑性变形的特点。名义应变包括：名义应变包括：线应变线应变( (正应变正应变) )切应变。切应变。19rrxyyxABCPP1x0yx0yx0yA1A1C1C1ABCPP(P1)CB1AC1B1xyyx2A1C1yxxyyx2单元体在单元体在xoy坐标平面内的应变坐标平面内的应变xrrrrx1xx

16、rrxryryrB1xoyxoy坐标平面内坐标平面内: :变形前变形前PABCPABC，变形后，变形后P P1 1A A1 1B B1 1C C1 1分析变化情况：分析变化情况： PAPA、PCPC长度长度发生变化发生变化 PAPA与与PCPC的的夹角夹角发生变化发生变化20（ 1 1 ）线应变（或正应变）：单元体线尺寸的伸长或缩）线应变（或正应变）：单元体线尺寸的伸长或缩短短如图线元如图线元PAPA的正应变的正应变 xxxrrrrr1xxxrr而棱边而棱边PAPA在在x x轴上的线应变轴上的线应变 21同样同样: :平行平行y y轴的棱边在轴的棱边在y y轴方向上的线应变和平行轴方向上的线应

17、变和平行z z轴的棱轴的棱边在边在z z轴方向上的线应变同样可求得。因此有：轴方向上的线应变同样可求得。因此有：yyyrrzzzrr线应变分量线应变分量xxxrr22假设假设单元体在平面内发生了切应变，使线元单元体在平面内发生了切应变，使线元PC和和PA所夹所夹的的直角减小为直角减小为(图图b)。这相当与。这相当与C点在垂直于点在垂直于PC方向偏移方向偏移了了rrt t 。（ 2 ）切应变：单元体角度的变化）切应变：单元体角度的变化23xyyttgrrxyyxxy21图图3-24b3-24b所示工程切应变，可看成是线所示工程切应变，可看成是线元元PAPA和和PCPC同时向内偏转同时向内偏转相同

18、的角度相同的角度其结其结果如图果如图3-24C3-24C，即，即定义定义工程切应变工程切应变切应变切应变24实际上实际上PAPA和和PCPC偏转的角度偏转的角度不一定相同不一定相同。假设它们的实际。假设它们的实际偏转角度分别为偏转角度分别为xyxy 和和 yxyx，偏转结果仍然使，偏转结果仍然使CPACPA 缩小缩小xyxy 其中其中xyxy 和和yxyx 一般称为一般称为切应变切应变。xyxy 的下标符号表示为的下标符号表示为x x方向的线元，向方向的线元，向y y方向方向偏转的角偏转的角度。度。25实际变形实际变形 xyyxxy)(21yxxyyxxy)(21xyyxz设设 实际变形实际变

19、形切应变切应变 刚性转动刚性转动 88 22 55 55 z =3 z =3 26则相当于则相当于PAPA，PCPC先同时偏转先同时偏转xyxy和和yxyx （假设（假设5）。然）。然后整个单元体绕后整个单元体绕Z Z轴转一个角度轴转一个角度z z（假设（假设3 ）。因此，）。因此， xyxy 和和yxyx已已包括了刚体的转动。包括了刚体的转动。zxyxyzyxyx)(21xyyxz即即xyxy= =z z+ +xyxy272 2、质点的应变状态及应变张量、质点的应变状态及应变张量将切应变及刚体转动推广至三维：将切应变及刚体转动推广至三维：切应变：切应变：ijij )(21yxxyyxxy)(

20、21zyyzzyyz)(21xzzxxzzx切应变分量切应变分量28 三个方向的刚体转动（顺时针方向）三个方向的刚体转动（顺时针方向）)(21xyyxz)(21yzzyx)(21zxxzy29 变形体内某质点作为单元体，变形后的应变分变形体内某质点作为单元体，变形后的应变分量有九个，量有九个，三个正应变三个正应变，六个剪应变六个剪应变。它们构成。它们构成应变张量。应变张量。它也是一个对称的张量，具有应力张它也是一个对称的张量，具有应力张量的一切性质。量的一切性质。zzyzxyzyyxxzxyxiji i线元方向线元方向 j j变形的方向变形的方向302 2、对数应变、对数应变（1 1）相对线应

21、变）相对线应变( (也称工程应变或名义应变也称工程应变或名义应变) )00llln相对相对应变不能真实地反映实际变形情况。因l0不变31（2 2）相对断面收缩率）相对断面收缩率010101AAAAA式中式中 A A0 0试样原始断面积试样原始断面积 A A1 1拉伸后试样断面积拉伸后试样断面积32（3 3）对数应变（也称）对数应变（也称真实应变真实应变）ldld 当试样从当试样从l l0 0增加到增加到l ln n时，则总应变为时，则总应变为设在单向拉伸过程中某瞬时试样的长度为设在单向拉伸过程中某瞬时试样的长度为l l，该瞬时后试，该瞬时后试样的长度又伸长了样的长度又伸长了dldl，则其应变增

22、量为，则其应变增量为0ln00llldldnllllnnl l为试样的瞬时长度。为试样的瞬时长度。 dldl为瞬时长度的改变量为瞬时长度的改变量称为对数应变，是用应变增量的称为对数应变，是用应变增量的积分积分来表示的全量来表示的全量应变，它反映了物体变形的实际情况，故又称为应变，它反映了物体变形的实际情况，故又称为真真实应变。实应变。33对数应变的定义为：塑性变形过程中，在应对数应变的定义为：塑性变形过程中，在应变主轴方向保持不变的情况下变主轴方向保持不变的情况下应变增量的总应变增量的总和。和。34)1ln()ln(ln000llllln均匀拉伸时均匀拉伸时 1e或或 以上是对数应变和相对应变

23、的关系。以上是对数应变和相对应变的关系。三种应变的关系三种应变的关系.432432将（将（a a）式按台劳级数展开：得）式按台劳级数展开：得（a a）,35在小变形时，在小变形时，1000lllll110ll又又11111111001010llAAAAA1均匀拉伸阶段，由于体积不变，即均匀拉伸阶段，由于体积不变，即 1100lAlA1001llAA以上公式将三种应变形式联系起来了。以上公式将三种应变形式联系起来了。1 1重合）均等于零的点和(36即即: :三种应变的关系为三种应变的关系为: :)1ln()ln(ln000llllln137对数应变的特点：对数应变的特点：1 1）对数应变反映了瞬

24、态变形，更能真实）对数应变反映了瞬态变形，更能真实地表示实际变形过程。地表示实际变形过程。 真实性真实性ldld 0ln00llldldnllllnn38210lll1201120112010202lnln)ln(lnllllllllll0011200202llllllll如如120101012001012lllllllll而2）对数应变具有可加性可加性可加性39例：例：将将50cm50cm长杆料拉伸至总长长杆料拉伸至总长90cm90cm，总应变为，总应变为 %80505090若分两个阶段若分两个阶段（1）50cm80cm（2）80cm90cm%605050801%5 .128080902%8

25、0%5 .72%5 .12%6021则则相对应变相对应变 40拉伸前后试样尺寸拉伸前后试样尺寸试样拉伸在不同阶段时的尺寸试样拉伸在不同阶段时的尺寸219080805059. 05090lnldlldl而对数应变而对数应变 表明对数应变具有可加性表明对数应变具有可加性21413）对数应变能真实反映出拉、压变形的应变值，与实验结果较吻）对数应变能真实反映出拉、压变形的应变值，与实验结果较吻合合可比性可比性%692ln2ln2llllllllll22%692ln21ln2ln压压 %5021222lllll%10022lllll拉拉压压 显然，显然，拉、压的相对应变拉、压的相对应变绝对值绝对值不等不

26、等拉拉例：对数应变：例：对数应变：相对应变相对应变压前压前2L 2L 压后压后L L 拉拉L L 2L2L42 课堂练习：课堂练习：有一试棒均匀连续拉伸有一试棒均匀连续拉伸五次五次，每拉一次断面收缩，每拉一次断面收缩20%20%，试用相对伸长、断面收缩率和对数应变分别，试用相对伸长、断面收缩率和对数应变分别求出各次的应变值和总应变值。并分析哪种应变求出各次的应变值和总应变值。并分析哪种应变表达方式比较合理。表达方式比较合理。43提示：2 . 01010101AAAAA018 . 0AA 02128 . 08 . 0AAA0055328. 08 . 0AAA672. 0总故03238 . 08

27、. 0AAA04348 . 08 . 0AAA672. 0105050AAAAA总1100lAlA44二、小应变几何方程二、小应变几何方程（位移分量与应变分量之间的关系）（位移分量与应变分量之间的关系）教材教材 P91P91 由于变形物体内的点产生了由于变形物体内的点产生了位移位移，因而引起了质点的，因而引起了质点的应变应变。因此，质点的。因此，质点的应变是由位移所确定应变是由位移所确定的，一旦物体内的，一旦物体内的的位移场位移场确定以后，则物体内的确定以后，则物体内的应变场应变场也就被确定了。也就被确定了。下面就来建立下面就来建立位移分量位移分量和和应变分量应变分量之间的关系。之间的关系。

28、位移分量位移分量和和应变分量究竟应变分量究竟存在何种存在何种关系？关系？ 45 设在图中，设在图中，abcdabcd为单元体变形前在为单元体变形前在xoyxoy坐标平坐标平面上的投影，而面上的投影，而a a1 1b b1 1c c1 1d d1 1为位移及变形后的投影。为位移及变形后的投影。 图中图中b b、c c点为点为a a点的邻近点，并设点的邻近点，并设ac=dxac=dx，ac/oxac/ox轴；轴；ab=dyab=dy，ab/oyab/oy轴；轴；a a点的位移分量为点的位移分量为u u、v v。c c点的位移分量为点的位移分量为u+uu+uc c、v+vv+vc c。b b点的位移

29、分量为点的位移分量为u+uu+ub b、v+vv+vb b。dxxuucdxxvvcdyyuubdyyvvbC C点位移增量点位移增量b b点位移增量点位移增量根据式（根据式（3-443-44），有），有棱边棱边abab（即（即dydy）在）在y y方向的线应方向的线应变为变为 yvdyvdyvvvbby47根据图根据图3-313-31中的几何关系，可求出棱边时中的几何关系，可求出棱边时acac（即（即dxdx）在）在x x方向的线应变方向的线应变x x，即为，即为 xudxudxuuuccx在在X X方向上的相对位移增量。方向上的相对位移增量。4848 由图由图3-313-31的几何关系，有

30、的几何关系，有yvyuyvdydyyuvdyvvuuubabbbbyx1)1 (tan2121yyvyuyxyxtan其值远小于其值远小于U U49同理可得同理可得xvxyxytan因而因而工程切应变为工程切应变为 xvyuxyyxyxxy则切应变为则切应变为: :)(21xvyuyxxy50按同样的方法，由单元体在按同样的方法，由单元体在yozyoz和和zoxzox坐标平面上投影的几坐标平面上投影的几何关系可得其余应变分量与位移分量之间关系的公式，综何关系可得其余应变分量与位移分量之间关系的公式，综合上述可得合上述可得)(21zuxwxzzx)(21ywzvzyyz)(21xvyuyxxyx

31、uxyvyzwz应变分量与位移分量应变分量与位移分量之间关系之间关系- -小应小应变变几何几何方程方程3-663-6651用角标符号表示为用角标符号表示为ijjiijxuxu21 式（式（3-663-66）表示小变形时位移分量和应变分量之间的）表示小变形时位移分量和应变分量之间的关系，它是由关系，它是由变形几何关系变形几何关系导到，故称为导到，故称为小应小应变变几何方程几何方程。 如果物体中的如果物体中的位移场位移场已知，则可由小应变几何方程求已知，则可由小应变几何方程求得得应变场应变场。3-66a3-66a52为了便于记忆可以将坐标原点取在六面体的一个为了便于记忆可以将坐标原点取在六面体的一

32、个顶点顶点，而，而在图上画出三个棱边在图上画出三个棱边dxdx、dydy、dzdz，这些棱边的伸长量是，这些棱边的伸长量是dudu、dvdv、dwdw。这时正应变可以作为总伸长与棱边原长之比写。这时正应变可以作为总伸长与棱边原长之比写出如下：出如下：xuxyvyzwz伸长量伸长量53为了写出切应变可以为了写出切应变可以假想平行六面体的棱边假想平行六面体的棱边在对应的在对应的平面平面内有内有转动转动，因而棱边的，因而棱边的端点有位移端点有位移，这里把转角作为端点，这里把转角作为端点位移与原棱边原长之比，而将位移与原棱边原长之比，而将切应变作为切应变作为对应平面内对应平面内两转两转角角之和的一半写

33、出来。之和的一半写出来。)(21zuxwxzzx应变分析图应变分析图)(21xvyuyxxy)(21xvyuyxxy例如：例如：转动转动54例题例题1 1zxyu3331005. 0101 . 01010yzxv333101 . 01005. 0105xyzw33101 . 01010试求物体中坐标为试求物体中坐标为x=1x=1，y=1y=1，z=1z=1的的p p点的应变张量、点的应变张量、应变偏量与最大剪应变。应变偏量与最大剪应变。 解解: : 根据应变根据应变位移关系式（小应变几何方程），得位移关系式（小应变几何方程），得设物体中的位移函数为设物体中的位移函数为55yxux3101 .

34、03310025. 01005. 0)(21xxvyuxyzyvy3101 . 0yxzzvywyz331005. 01005. 0)(21xyzwz3101 . 03310025. 01005. 0)(21yzzuxwzx56将将p p点坐标点坐标x=1x=1，y=1y=1，z=1z=1代入上述各式，并注意代入上述各式，并注意得得p p点的应变张量如下点的应变张量如下 3101 . 00025. 001 . 0025. 0025. 0025. 01 . 0ij34310033. 0103110) 1 . 01 . 01 . 0(31)(31zyxm310133. 00025. 00067.

35、0025. 0025. 0025. 0067. 0ij所以与上述所以与上述ijij相对应的应变偏量为相对应的应变偏量为57三、点的应变状态和应变张量三、点的应变状态和应变张量( (任意方向上任意方向上的应变的应变P85) P85) 借助于一点的应力状态概念来描述一点的应借助于一点的应力状态概念来描述一点的应变状态，即过一点变状态，即过一点任意方向上任意方向上的正应力与切应力的正应力与切应力的的有无有无情况。可以用一微线段在某方向上的变形情况。可以用一微线段在某方向上的变形来加以描述。来加以描述。58现设变形体内任一点现设变形体内任一点a a（x, y, zx, y, z），过该点三个相互垂直）

36、，过该点三个相互垂直线上的应变分量线上的应变分量ijij已知已知 。即。即邻近的点邻近的点由由a a引一任意方向线元引一任意方向线元ab ab ，其长度为，其长度为r r，方向余弦为，方向余弦为l l、m m、n n。xxyxzijyxyyzzxzyz已知59rdznrdymrdxl,2222dzdydxr(a)(a)(b)(b)小变形前，小变形前，b b点可视为点可视为a a点无限接近的一点。点无限接近的一点。a a点坐标为（点坐标为（x x，y y，z z），），b b点坐标为（点坐标为（x+dxx+dx，y+dy y+dy ，z+dzz+dz）。）。则则abab在三个坐标轴上的投在三个坐

37、标轴上的投影为影为dxdx、dydy、dzdz，方向余，方向余弦及弦及r r分别为分别为60变形前变形前abab变形后变形后a a1 1b b1 1小变形后，线元小变形后，线元abab移至移至a a1 1b b1 1，其长度为，其长度为r r1 1=r+dr=r+dr，同时偏转，同时偏转角度为角度为r r，如图所示。，如图所示。61为求得为求得r r1 1，可将，可将abab平移至平移至a a1 1N N，构成三角形，构成三角形a a1 1NbNb1 1。由解析。由解析几何可知，三角形一边在三个坐标轴上的投影将分别等于几何可知，三角形一边在三个坐标轴上的投影将分别等于另外两边在坐标轴上的投影之

38、和。在这里，另外两边在坐标轴上的投影之和。在这里，NaNa1 1 的三个投的三个投影即为影即为dxdx、dydy、dz. dz. 现求现求abab方向上的方向上的线应变线应变r r。而而NbNb1 1的投影（即为的投影（即为b b点点相对相对a a点的位移增量）点的位移增量）为为dudu、dvdv、dw.dw.62dzdwdydvdxdurdr变形前变形前abab2 2 = r= r2 2 = dx= dx2 2 + dy+ dy2 2 + dz+ dz2 2变形后变形后a a1 1b b1 12 2= =（r+drr+dr）2 2=(dx+du)=(dx+du)2 2+(dy+dv)+(dy

39、+dv)2 2+(dz+dw)+(dz+dw)2 2=(dx=(dx2 2+dy+dy2 2+dz+dz2 2)+du)+du2 2+dv+dv2 2+dw+dw2 2)+2(dxdu+dydv+dzdw)+2(dxdu+dydv+dzdw)（r+drr+dr）2 2-r-r2 2 =(du=(du2 2 +dv+dv2 2 +dw+dw2 2 ) + 2(dxdu+dydv+dzdw) + 2(dxdu+dydv+dzdw)(c)(c)忽略微量忽略微量dudu2 2，dvdv2 2，dwdw2 2，得，得63将式（C）两边除以r2， rdwnrdvmrdulr令r 的方向余弦为l，m，nrd

40、znrdymrdxl,uuududxdydzxyzvvvdvdxdydzxyzwwwdwdxdydzxyz（d）将式(3-43)中dui的值代入式（d），(3-43)64比较任意斜面上的法向应力线应变它与全应力与应力分量之间关系的表达形式是一样的，反映了全应它与全应力与应力分量之间关系的表达形式是一样的，反映了全应变与应变分量之间的关系。变与应变分量之间的关系。xyzxyzzyxlmnllmnml2222)(2)()()(222222nlrmnrlmrnmlnlzuxwmnywzvlmxvyunzwmyvlxuzxyzxyzyxr)(2222nlrmnrlmrnmlzxyzxyzyxr整理后得

41、：)(21xvyuyxxy3-526511baNM 21221212)(MbduMbNbNMi111rNaMaNMMaNMrr1tandrrdrr下面求线元变形后的偏转角，即图中的下面求线元变形后的偏转角，即图中的r r 为了推导方便，可设为了推导方便，可设r=1 r=1 。 由由N N点引点引 按直角三角形按直角三角形 NMbNMb1 1（e e）a a1 1M=r=1M=r=1故故a a1 1M=r=1M=r=166rdrMabaMb111122212122)(rirduMbNbNM于是式（于是式（e）可写成）可写成金属塑性成形原理应变分析金（f）67如果没有刚体转动，则求得的如果没有刚体

42、转动，则求得的r r就是切应变就是切应变r r。为了除。为了除去刚体转动的影响，即只考虑纯剪切变形，可将式（去刚体转动的影响，即只考虑纯剪切变形，可将式（3-433-43）改写为）改写为jijijjijjiidxxuxuxudxxudu)(21jijjijijjidxxuxudxxuxu)(21)(21刚体转动刚体转动68显然，上式后面的第二项是由于刚性转动引起的位移增量显然，上式后面的第二项是由于刚性转动引起的位移增量分量，而第一项才是由纯剪切变形引起的相对位移增量分分量，而第一项才是由纯剪切变形引起的相对位移增量分量，若以量，若以 dudui i表示，则表示，则jijjijjiidxdxx

43、uxudu)(21如将式（如将式（g g）代入式（）代入式（f f），即可求得切应变的表达式为），即可求得切应变的表达式为（g g）222)(rirdu3-533-53（ 3-52 3-52 ）、（）、（ 3-533-53）与任意斜面上的应力表达式形式完全相似）与任意斜面上的应力表达式形式完全相似。因此应变的有关公式可以借鉴应力的相应表达式。因此应变的有关公式可以借鉴应力的相应表达式。69NMb1(xi +dxi+ui+dui)a1(xi+ui)uia(xi)b(xi+ dxi)ui+duiduir1r1=+drr0 xyz任意方向线元的应变70四体积不变条件四体积不变条件（是什么？）（是什么

44、？） 1 1含义：塑性变形前后，材料体积保持不变。含义：塑性变形前后，材料体积保持不变。变形后，单元体的体积为变形后，单元体的体积为 dxdydzV 0zyxzyxzzyyxxddddddV)1 ()1 ()1 ()1 (1zyxVVV001设单元体初始边长为设单元体初始边长为dxdx、dydy、dzdz，则变形前体积为，则变形前体积为体积变化率体积变化率2 2条件方程条件方程dxdydzxdx71体积不变条件表明：体积不变条件表明： 塑性变形时三个正应变之和等于零；塑性变形时三个正应变之和等于零；三个正应变不可能全部同号三个正应变不可能全部同号。0pzpypxp塑性变形时，塑性变形时，由于塑

45、性变形前后，材料体积保持不变。由于塑性变形前后，材料体积保持不变。 对于弹性变形对于弹性变形0ezeyexe72&（1 1）确定塑性加工毛坯尺寸（计算尺寸）确定塑性加工毛坯尺寸（计算尺寸）&（2 2）确定应变分量之间得关系）确定应变分量之间得关系&（3 3）可以作为塑性变形是否协调的近似判据。）可以作为塑性变形是否协调的近似判据。&例题例题P88P883.3.作用作用7374特征方程特征方程 金金属属塑塑性性成成形形原原理理应应变变分分析析032213III主应变，应变分量的不变量，主剪应变和最大剪应变主应变，应变分量的不变量，主剪应变和最大剪应变1 1 、主应变：剪应变等于零时所对应的正应变

46、称主应、主应变：剪应变等于零时所对应的正应变称主应变。用变。用1 1、2 2、3 3 表示。表示。 五、点的应变状态与应力状态的比较五、点的应变状态与应力状态的比较321000000ij对主轴坐标：对主轴坐标：752 2 应变张量不变量应变张量不变量第三不变量第三不变量01I01I2331212222zyxzxyxzyzyxIxzyxyzzyxI23222xzzxzyyzx321第二不变量第二不变量第一不变量第一不变量3211zyxI对于弹性变形对于弹性变形对于塑性变形对于塑性变形763 3 主剪应变，最大剪应变主剪应变，最大剪应变m mn nl l2121212121221210 00 00

47、 0231221则则321231max 方向为与主应变方向成方向为与主应变方向成 45若若77应变莫尔圆应变莫尔圆 应变莫尔圆，类似应应变莫尔圆，类似应力莫尔圆力莫尔圆 O3OO1O2123121323221232213应变莫尔圆应变莫尔圆378l用主应变的个数和符号来表示应变状态的用主应变的个数和符号来表示应变状态的简图称主应变状态图，简称为简图称主应变状态图，简称为主应变简图主应变简图或主应变图或主应变图。三个主应变中三个主应变中绝对值最大绝对值最大的主应变，反映了的主应变，反映了该工序变形的特征，该工序变形的特征，称为称为特征应变特征应变。4 4、主应变简图、主应变简图79如用主应变简图

48、来表示应变状态，根据体积不变如用主应变简图来表示应变状态，根据体积不变条件和特征应变，则塑性变形只能有条件和特征应变，则塑性变形只能有三种三种变形类变形类型。型。 比较主应力图比较主应力图80压缩类变形压缩类变形。特征应变为负应变。另两个应变为特征应变为负应变。另两个应变为正应变。正应变。剪切类变形剪切类变形（平面变形）一个应变为零，其他两（平面变形）一个应变为零，其他两个应变大小相等，方向相反。个应变大小相等，方向相反。伸长类变形伸长类变形。特征应变为正应变，另两个应变为。特征应变为正应变，另两个应变为负应变。负应变。815 5、应变偏张量和球张量，八面体应变和等效应变、应变偏张量和球张量，

49、八面体应变和等效应变13131Izyxm应变球张量应变球张量 应变偏张量应变偏张量塑性变形时，体积不变塑性变形时，体积不变 ， ，这时，这时应变偏张量应变偏张量就是就是应变张量应变张量0mzzyzxyzyyxxzxyxijmmm000000mzzyzxyzmyyxxzxymx82得：与8的推导过程一样，即31nml28228全82222222631zyxzxyxzzyxy31213232212等效应变：等效应变：将八面体剪应变取绝对值，乘以将八面体剪应变取绝对值，乘以 系数，所得系数，所得之参量叫做等效应变。（比较等效应力，乘之参量叫做等效应变。（比较等效应力，乘 ）223m321831八面体

50、应变832222222632zyxzxyxzzyxy2132322123282单向应力状态时，主应变为单向应力状态时，主应变为1 1，2 2=3 30321塑性变形时，塑性变形时，32121故故12121232332这时这时84等效应变特点：等效应变特点：1 1、是一个不变量、是一个不变量 。2 2、在塑性变形时，其数值等于单向均匀拉伸、在塑性变形时，其数值等于单向均匀拉伸或或均匀压缩方向上的线应变均匀压缩方向上的线应变1 1。即。即185问题的引出问题的引出-知识要点回顾知识要点回顾小应变几何方程1 21 21 2xxyyxyyzzyzzxxzuuvxyxvvwyzywwuzxz六个应变分量

51、取决六个应变分量取决于三个位移分量？于三个位移分量？这六个分量这六个分量之间应该存之间应该存在某种联系？在某种联系？六应变连续方程（六应变连续方程（协调方程协调方程）由上述由上述小应变几何方程可知，六个应变分量取决于三个位移分量，所以六应变分量不是的任意的，其间必存在一定的关系。861 1讨论协调方程的目的讨论协调方程的目的金金属属塑塑性性成成形形原原理理应应变变分分析析概念：概念：六个应变分量之间的关系六个应变分量之间的关系称为应变连续称为应变连续方程或协调方程。方程或协调方程。1 1）校核应变场）校核应变场不满足协调方程，应变场是不可解的，不真实不满足协调方程，应变场是不可解的，不真实的，

52、不连续的。的，不连续的。2 2）寻求补充方程）寻求补充方程87物体变形后必须仍然保持其物体变形后必须仍然保持其整体性和连续性整体性和连续性，即，即变形变形协调性协调性。否则会出现下图（。否则会出现下图（b b）那样的）那样的“撕裂撕裂”现象，或图（现象，或图（c c）那样的）那样的“套叠套叠”现象，从而破现象，从而破坏了变形后必须仍然保持的整体性和连续性。坏了变形后必须仍然保持的整体性和连续性。图图 变形状态分析变形状态分析88 2 2协调方程协调方程由由,xux2322yxuyxyvy对对y y取两阶偏导取两阶偏导, ,得得1)1)已知线应变求切应变已知线应变求切应变在在xoyxoy平面内，

53、有平面内，有x x , , y y, , xyxy对对x x取两阶偏导取两阶偏导, ,得得yxvxy232289两式相两式相加加,得得同理,在YZ平面上 )(2122222yzzyzyyz在XZ平面上 )(2122222xzzxzxxz故 yxxvyuyxyxvyxuxyxyyx22232322222)()(2122222xyyxyxxy上式表明：在一个坐标平面内，两个线应变分量一经确定，则切应上式表明：在一个坐标平面内，两个线应变分量一经确定，则切应变分量也就确定。变分量也就确定。)(21xvyuyxxy即小应变几何方程即小应变几何方程902222212xyyxx yyx 222222222

54、21212yzyzzxxzy zzyz xxz 在每个坐标平面内，两个线应变在每个坐标平面内，两个线应变一经确定，则切应变分量随之被确定一经确定，则切应变分量随之被确定！切应变到线应变切应变到线应变？91对X，Z求导，得 )(21xvyuxy)(2122xvyuzxzxxy)(21xwzuzx)(2122zuxwyxyxzx对X，Y求导，得 金属塑性成形原理应变分析2)已知切应变求线应变已知切应变求线应变由由两式相加， 得2222222222)(21)()(21xzyzvywxxuzyzuxwyxxvyuyxzxyxxyxxyzx92故 )(2xzyxzyyzxyzxx同理 )(2yxzyxz

55、zxyzxyy)(2zyxzyxxyzxyzz金属塑性成形原理应变分析上式表明：在三维空间内，三个切应变分量一经确定上式表明：在三维空间内，三个切应变分量一经确定，则线应变分量也就确定。，则线应变分量也就确定。93222xyyzxzxyxyyzzxyzxyzxzy zxyzxz xyzxyx yxxyz 在三维空间内三个切应变分量一经在三维空间内三个切应变分量一经确定，则线应变分量也就被确定确定，则线应变分量也就被确定！94设设22;2;xyxya xyaxybxy试问上述应变场在什么情况下成立？试问上述应变场在什么情况下成立？其中其中a、b为常数，为常数，例例 题题例例 题题 解解 答答22

56、2221 (1)2xyyxx yyx 2xyx y 2(2)2bxybx y 222212yxyx22222212a xyaxyayx 2ab 2ab 即当时，上述应变场存在。95应变连续方程的物理意义：应变连续方程的物理意义：只有当应变分量之间只有当应变分量之间满足上述方程时，物体变形后才是连续的，否则满足上述方程时，物体变形后才是连续的，否则，变形后会出现，变形后会出现“撕裂撕裂”现象，或现象，或“套叠套叠”现象现象，从而破坏了变形后必须仍然保持的整体性和连，从而破坏了变形后必须仍然保持的整体性和连续性。续性。需要指出的是：需要指出的是：如果如果已知位移分量已知位移分量uiui，则由小应变

57、几何方程求得的应变，则由小应变几何方程求得的应变分量自然满足连续方程。分量自然满足连续方程。但若先用其他方法求得但若先用其他方法求得应变分量应变分量，则要同时满足连续方，则要同时满足连续方程，才能由小应变几何方程求得正确的位移分量。程，才能由小应变几何方程求得正确的位移分量。96判断题：判断题：如果已知位移分量，则按几何方程求得的应变分量如果已知位移分量，则按几何方程求得的应变分量自然满足协调方程；若是按其它方法求得的应变分自然满足协调方程；若是按其它方法求得的应变分量，也自然满足协调方程，则不必校验其是否满足量，也自然满足协调方程，则不必校验其是否满足连续性条件。连续性条件。 （ ）填空题：

58、材料经过连续两次拉伸变形，第一次的真实应变为1.1，第二次的真实应变为.25，则总的真实应变。97七、七、 应变增量与应变速率张量应变增量与应变速率张量前前后名lll全全量应变：量应变：反映变形体在某一变形过程阶段终了反映变形体在某一变形过程阶段终了的变形大小，称之为的变形大小，称之为全量应变。全量应变。它只考虑过程的两个极端，而不考虑变形过程的它只考虑过程的两个极端，而不考虑变形过程的某一瞬间。某一瞬间。一一 、全量应变与应变增量的概念、全量应变与应变增量的概念98而塑性变形一般都是大变形，且大变形的整个过程而塑性变形一般都是大变形，且大变形的整个过程十分复杂。十分复杂。因此，前面讨论的小应

59、变时的公式在大变形中不能因此，前面讨论的小应变时的公式在大变形中不能直接使用。直接使用。但是，大变形又是由很多瞬间的小变形但是，大变形又是由很多瞬间的小变形累加而成，因此有必要分析大变形过程中某个特定累加而成，因此有必要分析大变形过程中某个特定瞬间的变形情况。瞬间的变形情况。所以提出了应变增量及应变速率的概念。所以提出了应变增量及应变速率的概念。99ldld增 全量应变度量基准是变形以前的全量应变度量基准是变形以前的原始尺寸原始尺寸。而。而增量则是指变形过程中某一极短阶段的无限小应增量则是指变形过程中某一极短阶段的无限小应变，变，其度量基准不是原始尺寸其度量基准不是原始尺寸，而是变形过程某，而

60、是变形过程某一瞬间的尺寸。一瞬间的尺寸。 101tzyxui,二、速度分量二、速度分量（1 1 ）含义：单位时间的）含义：单位时间的位移位移分量分量讨论全量应变时，只是用了某变形过程终了时的位移场，讨论全量应变时，只是用了某变形过程终了时的位移场，所以没有引入时间参数。在描述整过变形过程时，则必须所以没有引入时间参数。在描述整过变形过程时，则必须引入引入时间参数时间参数，这时的位移分量为，这时的位移分量为式中式中x x、y y、z z是物体中一点在某时刻的坐标，它也是是物体中一点在某时刻的坐标，它也是时间时间的函数。所以，的函数。所以，位移分量位移分量uiui对时间的全导数就是该点的移对时间的