第4章 平面一般力系

1、第四章 平面一般力系l4-1 平面一般力系的简化l4-2 平面一般力系的平衡方程l4-3 物体系统的平衡l4-4 摩 擦平面一般力系实例平面一般力系实例一、平面一般力系向一点简化一、平面一般力系向一点简化 )(10111FMMFF)(20222FMMFF)(0nnnnFMMFFiiRFFF能否称能否称 为合力：为合力：RF)(iOiOFMMM能否称能否称 为合力偶：为合力偶：OM4-1 平面一般力系的简化平面一般力系的简化若选取不同的简化中心，对主矢、主矩有无影响？若选取不同的简化中心，对主矢、主矩有无影响？iRFF主矢主矢)(iOOFMM主矩主矩例例1已知：已知：1450,P kN2200,

2、P kN1300,F kN270;F kN求：求：力系的合力力系的合力,RF合力与合力与OA杆的交点杆的交点到点到点O的距离的距离x，合力作用线方程。合力作用线方程。解：解：（1）向）向O点简化，点简化， 求求主矢和主矩。主矢和主矩。12cos232.9RxixFFFFkN12sin670.1RyiyFFPPF kNRF大小大小22709.4RixiyFFFkNRF的方向余弦的方向余弦cos,0.3283ixRRFF iFcos,0.9446iyRRFFjF 主矩主矩 11231.53.92355ooMMFFPP kN m7 .16arctanBCABACB（2）、求合力及其作用线位置。）、求

3、合力及其作用线位置。2 3 5 53 .3 1 9 77 0 9 .4oRMdFm003.514cos 9070.84dx m（3）、求合力作用线方程）、求合力作用线方程ooRRyRxRyRxMMFx Fy Fx Fy F即即:2355670.1232.9xy有：有：607.1232.923550 xy二、平面固定端约束二、平面固定端约束= 三、三、 平面任意力系的简化结果分析平面任意力系的简化结果分析=0RF0OM主矢主矢主矩主矩最后结果最后结果说明说明0OM合力合力合力合力合力作用线过简化中心合力作用线过简化中心0RF合力作用线距简化中心合力作用线距简化中心ROFM0OM0OM合力偶合力偶

4、平衡平衡与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关ROFMddFMRoRRRFFF 其中其中)33()()(iOORoFMMFM合力矩定理合力矩定理若为若为O1点，如何点，如何?一、平面一般力系平衡条件和平衡方程一、平面一般力系平衡条件和平衡方程 1、平衡条件：力系的主矢和对任意点的主矩都等、平衡条件：力系的主矢和对任意点的主矩都等于零于零即即 00oRMF4-2 4-2 平面一般力系的平衡方程平面一般力系的平衡方程)()()(22iOOyxRFMMFFF因为因为2、平衡方程：、平衡方程：000 xyoFFM二、平面一般力系平衡方程的三种形式二、平面一般力

5、系平衡方程的三种形式一般式一般式000AyxMFF二矩式二矩式000BAxMMF两个取矩点连线，不得与投影轴垂直两个取矩点连线，不得与投影轴垂直BA,三矩式三矩式000CBAMMM三个取矩点，不得共线三个取矩点，不得共线CBA,三三矩矩式式三、平面平行力系的平衡方程三、平面平行力系的平衡方程 0 xF0000 0 xF0coscoscos321FFF 0yF0sinsinsin321FFF平面平行力系的方程为两个，有两种形式平面平行力系的方程为两个，有两种形式00AyMF各力不得与投影轴垂直各力不得与投影轴垂直00BAMM两点连线不得与各力平两点连线不得与各力平行行BA,4-3 4-3 物体系

6、统的平衡物体系统的平衡例例2已知：已知：AC=CB=l, P=10kN;求：求： 铰链铰链A和和DC杆受力。杆受力。（用平面任意力系方法求解）（用平面任意力系方法求解）解：解：取取AB梁，画受力图。梁，画受力图。 0 xF 0yF0cos450AxcFF0sin450AycFFP0AM0cos4520cFlPl 解得解得kN10,kN20,kN28.28AyAxCFFF例例3已知：已知：110,P kN40,P kN尺寸如图；尺寸如图；求：求：轴承轴承A、B处的约束力。处的约束力。解：解： 取起重机，画受力图。取起重机，画受力图。 0 xF 0yF0AM0AxBFF10AyFPP15 1.53

7、.50BFPP 解得解得50AyFkN31BF kN31AxFkN例例4 已知：已知：, , ,;P q a Mpa求：求：支座支座A、B处的约束力。处的约束力。解：取解：取AB梁，画受力图。梁，画受力图。0AM 0yF解得解得4220BFaMPaqa a解得解得3142BFPqa20AyBFqaPF解得解得342AyPFqa0AxF0 xF 例例5已知：已知：20,M kN m100,P kN400,F kN20,q kNm1 ;l m求：求： 固定端固定端A处约束力。处约束力。解：解：取取T型刚架，画受力图。型刚架，画受力图。其中其中113302FqlkN 0 xF0AM 0yF01cos

8、600AxFFF解得解得316.4AxFkN解得解得解得解得sin600AyFPF1cos60 3sin600AMMF lFlFl kN300AyFmkN1188AM已知：已知：,200,70021kNkNPP尺寸如图；尺寸如图；求：求：（1 1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P P3 3；（2 2）P P3 3=180kN=180kN，轨道，轨道AB AB 给起重机轮子的约束力。给起重机轮子的约束力。解：解：取起重机，画受力图。取起重机，画受力图。满载时，满载时，, 0AF为不安全状况为不安全状况 0BM0102812min3PPP解得解得 P P3m

9、in3min=75kN=75kN例例6 6kNkN350753 PP P3 3=180kN=180kN时时 0AM041424213BFPPP解得解得F FB B=870kN=870kN 0iyF0321PPPFFBA解得解得 F FA A=210kN=210kN空载时，空载时，, 0BF为不安全状况为不安全状况 0AM4 4P P3max3max-2-2P P2 2=0=0解得解得 F F3max3max=350kN=350kN例例7 7已知：已知：OA=ROA=R，AB= AB= l, ,F不计物体自重与摩擦不计物体自重与摩擦, ,系统在图示位置平衡系统在图示位置平衡; ;求求: :力偶矩

10、力偶矩M M 的大小，轴承的大小，轴承O O处处的约束力，连杆的约束力，连杆ABAB受力，冲受力，冲头给导轨的侧压力。头给导轨的侧压力。解解: :取冲头取冲头B B, ,画受力图画受力图. . 0iyF0cosBFF解得解得22cosRlFlFFB 0ixF0sinBNFF解得解得22tanRlFRFFN取轮取轮, ,画受力图画受力图. . 0ixF0sinAoxFF解得解得22RlFRFox 0iyF0cosAoyFF解得解得FFoy 0oM0cosMRFA解得解得FRM 例例8 8 已知已知: :F F=20kN,=20kN,q q=10kN/m,=10kN/m,20mkNML L=1m;

11、=1m;求求: :A,B A,B 处的约束力处的约束力. .解解: : 取取CD CD 梁梁, ,画受力图画受力图. . 0cM0230cos260sin00lFlqllFB解得解得 F FB B=45.77kN=45.77kN解得解得kN89.32AxF 0iyF030cos260sin00FqlFFBAy解得解得kN32. 2AyF 0AM0430cos360sin2200lFlFlqlMMBA解得解得kN37.10AM取整体取整体, ,画受力图画受力图. . 0ixF030sin60cos00FFFBAx例例9 9已知已知: :P P1 1, ,P P2 2, ,P P=2=2P P1

12、1, ,r r, ,R R=2=2r r, ,求求: :物物C C 匀速上升时，作用于匀速上升时，作用于轮轮I I上的力偶矩上的力偶矩M M；轴承；轴承A A，B B处的约束力。处的约束力。解解: :取塔轮及重物取塔轮及重物C C, ,画受力图画受力图. . 0BM0PrRF110PrPRF由由020tanFFr解得解得1064. 320tanPFFr020 ; 0ixF0rBxFF164, 3PFBx解得解得 0iyF02FPPFBy解得解得132PFBy取轮取轮I I，画受力图。，画受力图。 0ixF 0iyF解得解得解得解得 0AM0rFM解得解得rPM1100AxrFF13.64AxF

13、P 10AyFFP19AyFP 例例1010已知已知: :P=60kN,P=60kN,P2=10kN,P2=10kN,P1=20kN,P1=20kN,风载风载F F=10kN,=10kN,尺寸如图尺寸如图; ;求求: :A,BA,B处的约束力。处的约束力。解解: :取整体取整体, ,画受力图。画受力图。 0AM05246101221FPPPPFBy解得解得kN5 .77ByF 0iyF0221PPPFFByAy解得解得kN5 .72AyF取吊车梁取吊车梁, ,画受力图画受力图. . 0DM024821PPFE解得解得kN5 .12EF取右边刚架取右边刚架, ,画受力图画受力图. . 0CM04

14、106EBxByFPFF解得解得kN5 .17BxF 0ixF0BxAxFFF解得解得kN5 . 7AxF对整体图对整体图例例1111已知已知: :DC=CE=CA=CB=2l,DC=CE=CA=CB=2l, R=2r=l,R=2r=l,450P P, , 各构件自重不计。各构件自重不计。求求: :A,EA,E支座处约束力及支座处约束力及BDBD杆受力。杆受力。解解: :取整体取整体, ,画受力图。画受力图。 0EM02522lPlFA解得解得PFA825 0ixF045cos0AExFF解得解得PFEx85 0iyF045sin0AEyFPF解得解得PFEy813取取DCEDCE杆杆, ,画

15、受力图画受力图. . 0CM02245cos0lFlFlFExKDB解得解得PFDB823( (拉拉) )例例1212已知已知: :P P=10kN,=10kN,尺寸如图；尺寸如图；求求: :桁架各杆件受力。桁架各杆件受力。解解: : 取整体，画受力图。取整体，画受力图。 0ixF 0iyF 0BM0BxF042AyFPkN5AyF0PFFByAykN5ByF取节点取节点A A，画受力图。，画受力图。 0iyF030sin01 FFAy解得解得kN101F( (压压) ) 0ixF030cos012 FF解得解得kN66. 82F( (拉拉) )取节点取节点C C, ,画受力图画受力图. .

16、0ixF030cos30cos0104 FF解得解得kN104F( (压压) ) 0iyF030sin0413FFF解得解得kN103F( (拉拉) )取节点取节点D D, ,画受力图。画受力图。 0ixF025 FF解得解得kN66. 85F( (拉拉) )例例1313已知已知: :,101kNP,72kNP各杆长度均为各杆长度均为1m;1m;求求: :1,2,31,2,3杆受力。杆受力。解解: : 取整体取整体, ,求支座约束力。求支座约束力。 0ixF0AxF 0BM03221AyFPP解得解得kN9AyF 0iyF021PPFFByAy解得解得kN8ByF用截面法用截面法, ,取桁架左

17、边部分。取桁架左边部分。 0EM0130cos101AyFF解得解得 0iyF060sin102PFFAykN4 .101F( (压压) )解得解得kN15. 12F( (拉拉) ) 0ixF060cos0231FFF解得解得kN81. 93F( (拉拉) )例例 1414已知：已知：14,P kN210,P kN尺寸如图；尺寸如图；求：求：BCBC杆受力及铰链杆受力及铰链A A受力。受力。解：解： 取取AB AB 梁，画受力图。梁，画受力图。0ixF 0cos300AxTFF0iyF012sin300AyTFPPF0AM021sin306430TFPP 解得解得17.33TF kN5.33A

18、yFkN0ixF 0cos300AxTFF0iyF012sin300AyTFPPF0AM021sin306430TFPP (1)(1)又可否列下面的方程？又可否列下面的方程？210sin306430ATMFPP 1206320BAyMFPP120340CAxMFACPP能否从理论上保证三组方程求得的结果相同？能否从理论上保证三组方程求得的结果相同？21120cos3000sin 30643006320ixAxTATBAyFFFMFPPMFPP（2 2）2112120sin306430063200340ATBAyCAxMFPPMFPPMFACPP （3 3）可否列下面的方程：可否列下面的方程：0

19、ixF0cos300AxTFF0AM021sin306430TFPP 0BM126320AyFPP例例 1515已知：已知：P P=10kN ,=10kN ,a a , ,杆，轮重不计；杆，轮重不计；求：求：A ,CA ,C支座处约束力。支座处约束力。解：解：取整体，画受力图。取整体，画受力图。0AM48.50AxTaFaPF a解解得得20AxF kN0AxCxFF20CxFkN解解得得0ixF 对整体受力图对整体受力图0iyF0AyCyTFFFP解得解得10AyF kN取取BDCBDC 杆（不带着轮）杆（不带着轮）取取ABEABE（带着轮）（带着轮）取取ABEABE杆（不带着轮）杆（不带着

20、轮）取取BDCBDC杆（带着轮）杆（带着轮）104340BCyTTCxMaFFaFaFa解得解得15CyFkN例例1616已知：已知：P , a ,P , a ,各杆重不计；各杆重不计；求：求：B B 铰处约束反力。铰处约束反力。解：解： 取整体，画受力图取整体，画受力图0CM20ByFa解得解得0ByF取取ADBADB杆，画受力图杆，画受力图取取DEFDEF杆，画受力图杆，画受力图0DMsin4520EFaFa得得sin452EFF0ixFcos450EDxFF得得cos452DxEFFFBMo20DxFaFa得得2DxFF对对ADBADB杆受力图杆受力图0AM20BxDxFaFa得得BxF

21、F 例例1717已知：已知：a ,b ,Pa ,b ,P, , 各杆重不计，各杆重不计，C,EC,E处光滑；处光滑；求证：求证：ABAB杆始终受压，且大小为杆始终受压，且大小为P P。解：解： 取整体，画受力图。取整体，画受力图。0ixF0AxF0EM()0AyPbxFb得得()AyPFbxb取销钉取销钉A A，画受力图，画受力图0ixF0AxADCxFF0ADCxF得得取取ADCADC杆，画受力图。杆，画受力图。取取BCBC，画受力图。，画受力图。0BM0CFbPx 得得CxFPb对对ADCADC杆杆0DM022ADCyCbbFF得得ADCyCxFFPb对销钉对销钉A A0yF0ABAyAD

22、CyFFF0ABxxFPPPbb解得解得(ABFP 压）例例1818已知：已知：q ,a ,Mq ,a ,M , ,2,Mqa且P P作用于销钉作用于销钉B B上；上；求：求： 固定端固定端A A处的约束力和销钉处的约束力和销钉B B对对BCBC杆杆, ,ABAB杆的作用力。杆的作用力。解：解： 取取CDCD杆，画受力图。杆，画受力图。0DM02CxaFaqa得得12CxFqa取取BCBC杆（不含销钉杆（不含销钉B B) )，画受力图。，画受力图。0ixF0BCxCxFF解得解得12BCxFqa0CM0BCyMFa解得解得BCyFqa取销钉取销钉B B，画受力图。，画受力图。0ixF0ABxB

23、CxFF解得解得12ABxFqa则则12ABxFqa 0iyF0AByBCyFFP解得解得AByFPqa则则()AByFPqa 取取ABAB杆（不含销钉杆（不含销钉B B），画受力图。），画受力图。0ixF1302AxABxFqaF 解得解得AxFqa 0iyF0AyAByFF解得解得AyFPqa0AM31302AABxaAByMqa aFFa 解得解得()AMPqa a例例1919已知：已知： 荷载与尺寸如图；荷载与尺寸如图；求：求： 每根杆所受力。每根杆所受力。解：解： 取整体，画受力图。取整体，画受力图。0ixF0AxF0BM85*8 10*6 10*4 10*20AyF得得20AyFk

24、N0iyF400AyByFF得得20ByFkN求各杆内力求各杆内力取节点取节点A A00iyADixACFFFF取节点取节点000iyCFixCDFFFF取节点取节点0,0iyDFDEixFFFF取节点取节点00iyEGixEFFFFF4-4 摩 擦摩擦摩擦滑动摩擦滑动摩擦滚动摩擦滚动摩擦静滑动摩擦静滑动摩擦动滑动摩擦动滑动摩擦静滚动摩擦静滚动摩擦动滚动摩擦动滚动摩擦摩擦摩擦干摩擦干摩擦湿摩擦湿摩擦一、滑动摩擦一、滑动摩擦0 xF0sTFFTsFF静滑动摩擦力的特点静滑动摩擦力的特点1 方向：沿接触处的公切线，方向：沿接触处的公切线，2 大小：大小：max0FFs3 NFfFsmax（库仑摩擦定律）（库仑摩擦定律）与相对滑动趋势反向；与相对滑动趋势反向；二、摩擦角和自锁二、摩擦角和自锁1 摩擦角摩擦角RAF全约束力全约束力物体处于临界平衡状态时物体处于临界平衡状态时，全约束力和法线间的夹角。全约束力和法线间的夹角。摩擦角摩擦角ftansfNFFmaxNNsFFf全约束力和法线间的夹角的全约束力和法线间的夹角的正切等于静滑动摩擦系数。正切等于静滑动摩擦系数。摩擦锥（角）摩擦锥（角）f02 自锁自锁3 测定摩擦系数的一种简易方法，斜面与螺纹自锁条件测定摩擦系数的一种简易方法，斜面与螺纹自锁条件sfftantan斜