2020年二轮复习完美题型汇编导数第2讲导数研究函数单调性教师

1、导数研究函数单调性1.函数的导数与单调性的关系函数y = f(x)在某个区间内可导，则(1)若f'(x)>0,则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f'(x)0,则f(x)在这个区间内单调递减；若f'(x) = 0,则f(x)在这个区间内是常数函数.常用结论1 .在某区间内f'(x)>0( f'(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.2 .可导函数f(x)在(a, b)上是增(减)函数的充要条件是：对 ？ xC(a, b),者B有f'(x)>0(f' (x)w0),且f'(x)

2、在(a, b)的任何子区间内都不恒为零.完美题型展现题型一判断函数单调性【玩转角度1】求不含参函数单调性例1 (1)函数f(x) = x ex-ex + 1的递增区间是()A.(一巴 e)B. (1 , e)C. (e,+°°)D.(e 1,+8)解析 由 f (x) = x ex ex + 1,得 f'(x)=(x+ 1 -e) ex,令 f'(x)>0 ,解得 x>e - 1 ,所以函数f(x)的递增区间是(e 1, +oo).(2)已知函数f(x)=xln x ,则f(x)的单调递减区间是 L解析 因为函数f(x) = xln x的定义域为

3、(0, 十°°),所以 f'(x)=ln x+1(x>0),1当f'(x)<0时，解得0<x<一,即函数f(x)的单调递减区间为 0, e(3) (2020 开封调研)已知定义在区间(兀，兀)上的函数 f(x) = xsin x+cos x,f(x)的单调递增区间是兀答案一兀，一和0 ,271解析f '(x) = sin x + xcos x sin x=xcos x.令 f (x) = xcos x>0 ,则其在区间(一兀，兀)上的解集为 一兀，71一 U兀即f(x)的单调递增区间为一兀，一：2和0,71【玩转角度2】

4、讨论含参函数单调性2x- 1例 2 已知 f (x) = a(x lnx) +二一，ae r.讨论f(x)的单调性. x2解：f(x)的定义域为(0 ,+ 0°)(ax22) (x 1)x3当 a<0 时，xC (0 , 1)时,f'(x)>0 , f(x)单调递增,x (1 ,)时，f z(x)<0当 a>0 时，f'(x) =f(x)单调递减.a (x 1)当0< a<2x3时,当 x C (0 ,f'(x)>0f(x)单调递增,f'(x)<0 , f(x)单调递减.当x e(2)当 a = 2 时，

5、1,在 xe (0 , +8)内，f'(x)A0当 a >2 时，0< <1，当 x C 0 ,或 x C (1增，当 xe1 时'f(x)<0，f(x)单调递减.综上所述，当a<0时，f(x)在(0 , 1)内单调递增，在(1 ,当0< a<2时，f(x)在(0, 1)内单调递增，在1,7a单调递增；当a=2时，f(x)在(0, +8)内单调递增；当a>2时，f(x)在0, sjj内单调递增，在 3/，1递,f(x)单调递增.,+8)时,1(x)>0 , f(x)单调递+ OO )内单调递减；内单调递减，在 A+OO内内单

6、调递减，在(1 , +8)内单调玩转秘籍利用导数求函数单调区间的三种方法1 .当不等式f'x0>0或f'x)<0可解时，确定函数的定义域，解不等式f'x)>0或f' x)<0求出单调区间.2 .当方程f' x) = 0可解时，确定函数的定义域，解方程 f'x)=0,求出实数根，把函数 的实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f' x0在各个区间内的符号，从而确定单调区间.3 . 不等式x)>0 或 x)<0 及方程 x)=0 均不可解口寸，根据 x)的结构特征，构造新题型/I训B.

7、 (0,1)1.函数y = 2x ax2 ax +1 解f(x)的定义域为(0, +8), f <x) = 11 +x=x；当 aw2 时，则 f'(x)w0,当且仅当 a = 2, x=1 时，f'(x) = 0,所以f(x)在(0 , +8)上单调递减.当a>2时，令f'(x) = 0,-ln x的单调递减区间为()x- 1 x+1xA. (-1,1)解函数y = "x2 ln x的定义域为(0 , +°°), y '次=2x x令 V <0 ,得 0vxv1,所以单调递减区间为(0,1),故选B.12.(20

8、18 全国卷I节选)已知函数f(x)=-x+aln x,讨论f(x)的单调性. x一 4一.当 xC 0,a a2 4a+a2 4,+00 时,a-la2 -4f'(x)V0；当 xC H2a+Ua2-42时,f '(x) >0.所以f(x)在0a-Ja2 - 42a+Ja2-42,+°°上单调递减，在a - 1a2 42a + a2 42上单调递增.综合可知,当 a<2 时，f(x)在(0+ °°)上单调递减；当a>2时，f(x)在0a7 a2 42a + a2-42，+ oo上单调递减，在a-Ja2-4 a + a2

9、- 4上单调递增.3.已知函数 g(x) = ln x + ax2 + bx ,其中g(x)的函数图象在点(1, g(1)处的切线平行于x轴.(1)确定a与b的关系;(2)若a>0,试讨论函数g(x)的单调性.1解：(1) g'(x)= + 2ax+b(x >0).由函数g(x)的图象在点(1 , g (1)处的切线平行于 x轴, x得 g (1) = 1+2a + b = 0,所以 b = - 2a- 1.2ax22a+1 x+12ax - 1 x - 1(2)由(1)得 g '(x)=xxx 1因为函数g(x)的定义域为(0, +OO),所以当a=0时，g

10、9;(x) = x由 g (x)>0,得 0 vxv 1,由 g '(x)v 0,得 x>1 ,即函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1 , +8)上单调递减.当 a>0 时，令 g '(x) = 0,得 x = 1 或 x = °,2a1111若W<1,即 a>2,由g 加>0,得 x>1 或 0<x<2；,由 g (x)<0,得2a<x<1，即函数g(x)在0, , (1 , +8)上单调递增在 一,1上单调递减;2a2a若一> 1,即 0va一，由 g (x) >0 ,得 x

11、> 或 0 vx v 1 ,由 g (x) v 0,得 1 <x< , 2a22a2a即函数g(x)在(0,1),1占+8上单调递增，在11, %上单调递减;若工=1 ,即a = ",在(0 , +8)上恒有g7x)>0, 2a2即函数g(x)在(0, +8)上单调递增.综上可得，当a = 0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1 , +°°)上单调递减;111当0<a<2-时，函数g(x)在QD，石，+8上单调递增，在1, %上单调递减;当a=一时，函数g(x)在(0, +°°)上单调递增；当a&g

12、t;一时，函数g(x)在0, 一 , (1 , + 222a18)上单调递增，在 一，1上单调递减.2a题型二 已知函数单调性求参例3设函数f(x) = _x3-_x2+ bx +c,曲线y = f(x)在点(0 , f (0)处的切线方程为y=1. 32求b , c的值；(2)若a>0,求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x) = f (x) +2x,且g (x)在区间(一2, 1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围.f(0)=1, c=1,解：(1) f'(x) = x2 ax +b ,由题意得即f' 0) = 0, b = 0.(2)由(1)得，f'

13、;(x)=x2 ax = x(x a)(a>0),当 x C (8, 0)时，fx)>0；当 x e(0 , a)时，f'(x)vo；当 x e (a, +8)时，r(x)>0.所以函数f(x)的单调递增区间为(一8, 0), (a, +8),单调递减区间为(0, a). g'(x) = x2 ax+2 ,依题意，存在 x C ( 2 , 1),使不等式 g'(x)=x2ax + 2v0成立，即xC( 2, 1)时，a< x+-=- 22,当且仅当x =-即x = J2时等号成立.x maxx-所以满足要求的a的取值范围是(一8, 2啦).母题变

14、式1 .在本例第(3)问中，若改为g(x)在(-2, 1)内为减函数，如何解？解：解法一：: g'(x) = x2 ax + 2,且g(x)在(一2, 1)内为减函数，g'(x)wo,即 x2-ax + 2<0 在(一2, 1)内恒成立，g ' (-2) W0,4 + 2a+2<0,即解得aw3,即实数a的取值范围为(一8, 3.g ' (T ) wo,1 +a + 2<0 ,解法二： g'(x)=x2 ax + 2 ,由题意可得g'(x)wo在( 2, 1)上恒成立，y = x + -, x (-2, x1)的值域为(3, 2

15、/,2即awx + x在(2, 1)上恒成立，又aw3, ,.实数a的取值范围是(一8, 3.2.在本例第(3)问中，若g(x)的单调递减区间为(一2, 1),求a的值？解：g(x)的单调减区间为(2, 1),，x1= 2, x2 = 1是g'(x)=0的两个根， ( 2) + ( 1) = a,即 a = 3.3.在本例第(3)问中，若g(x)在(一2, 1)上不单调，求a的取值范围？解：由母题变式1知g(x)在( 2, 1)上为减函数，a的范围是(8, 3,若g(x)在(222, 1)上为增函数，可知 a>x + x在( 2, 1)上恒成立，又 y = x+；的值域为(3,一

16、2近，a的取值范围是2«, +8,函数g(x)在(一2, 1)上单调时，a的取值范围是(一8, 3 U 2,+8), 故g(x)在( 2, 1)上不单调，实数a的取值范围是( 3, - 2木).玩转秘籍由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)由可导函数f(x)在D上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为 f' (x)>0(或f' (x)W0)对xCD恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“=”是否取到.(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f' (x)>0(或f' (x)<0)在该区间上存在解集，这样就把函

17、数的单调性问题转化成不等式问题.(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.(4)可导函数在某一区间不单调，实际上就是f (x)=0在该区间上存在解集。题型/I训1 .(2019 渭南质检)已知函数f(x) = ax3+bx2的图象经过点 M (1,4),曲线在点 M处的切线恰好与直线x + 9y = 0垂直.若函数f(x)在区间m, m+1上单调递增，则 m的取值范围是 L解析：= f(x) = ax3 +bx2 的图象经过点 M(1,4) , ,-a+b=4,f'(x) = 3ax2 +

18、2bx ,则 f'(1) =3a +2b.由题意可得 f'(1) 1 ,即 3a +2b = 9.9联立两式解得 a = 1, b = 3, -.f(x) = x3 + 3x2, f (x) = 3x2 + 6x.令f (x) = 3x2+ 6x>0,得x>0或xw 2.二,函数f(x)在区间m , m + 1上单调递增，m, m + 1 ? (-°°, - 2 U 0 , +°°),，m >0 或 m + 1 w 2 ,即 m>0 或 mw3.答案：(一巴-3 U 0 , +OO)2 .若函数h(x)=ln x

19、1ax2 2x(aw0)在1,4上单调递减，则 a的取值范围为_2解析因为h(x)在1,4上单调递减，所以当 x 1,4时，h'(x)= ax 2 W0恒成立, x即 a>二一一恒成立.由 知 G(x)= 一，所以 a>G(x)max ,而 G(x)= 一一 1 2- 1 , x2 xx2 xx因为xC 1,4,所以C1，1 ,所以G(x)maxx 4(此时x = 4),所以a>-,又因为1616所以a的取值范围是 一,0 U (0 , +8).16变式发散1 .(变条件)若本例(2)条件变为“函数h(x)在1,4上单调递增”，则a的取值范围为 L 解析：因为h(x)

20、在1,4上单调递增，所以当x54时,h'(x)R恒成立，即aJ x恒成立，又因为当 xC 1,4时， !一2 min =- 1(此时x = 1), x2 x所以a<-1 ,即a的取值范围是(一8, 1.答案：一,12 .(变条件)若本例(2)条件变为“函数h(x)在1,4上存在单调递减区间”，则a的取值范围为:解析：因为h (x)在1,4上存在单调递减区间，所以 h'(x)v0在1,4上有解，所以当 x 1,4时，a>： 有解，而当 x 1,4时，2 min = 1(此时 x=1), x2 xx x所以a>- 1,又因为aw。，所以a的取值范围是(一1,0)

21、U (0,十8).答案：(一1,0) U(0, +oo)3 .(变条件)若本例(2)条件变为“函数h(x)在1,4上不单调”，则a的取值范围为 :解析：因为h(x)在1,4上不单调，所以h'(x) = 0在(1,4)上有解，即a =- x2 x1 1 2 x所以实数a的取值范围是-1，-答案：1，161 在(1,4)上有解，令 m(x) = -xC (1,4),则一1Vm(x)v . x2 x16题型三构造函数用单调性比较大小和解不等式例4 (2019 莆田模拟)设函数f'(x)是定义在(0,2兀)上的函数f(x)的导函数，f(x)=f(2兀一x),当0vxv兀时，若 f(x)

22、sin x f (x)cos x<0, a = -f , b = 0, c= f 6 ,则()A.avbvcB.bvcvaC. c<b<aD . cvav b解析：由f(x) =f(2兀一x),得函数f(x)的图象关于直线 x=7t对称，令g (x) = f (x)cos x ,则 g (x)= f (x)cos x-f(x) sin x>0,所以当0vxv兀时，g(x)在(0,兀)内递增，所以 g vg <g = g ,即 avbvc,故选 A. 3266例5设函数f'(x)是奇函数f(x)(x C R)的导函数，f(1)=0,当x>0时xf

23、9;(x) f(x)<0 ,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A. (-oo, - 1) u (0 , 1)B. (-1 , 0) U (1 , +oo)C.(巴-1) U(-1 , 0)D , (0 , 1) U (1 , +8)f (x)xf ' x) f (x)解析：记函数 g(x)=(xw0),则 g'(x)=2，xx2因为当x>0时，xf'(x) f(x)<0 ,故当x>0时，g'(x)<0 ,所以g(x)在(0 , +8)上单调递减；又因为函数f(x)(xCR)是奇函数，故函数 g(x)是偶函数，所以 g(

24、x)在(00, 0)上单调递 增，且 g( 1) =g(1) =0.当 0< x<1 时，g(x)>0，则 f(x)>0 ;当 x< 1 时,g(x)<0，则 f(x)>0 , 综上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范围是( 8, - 1) U (0 , 1).答案：A玩转秘籍利用单调性解决不等式问题(大小比较、解不等式)的基本思路利用题目条件，合理构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研题型/I训1 . (2020 江西宜春质检)已知f(x)是定义在区间(0, +oo)上的函数，其导函数为f'(x),且不等式xf

25、(x)<2 f(x)恒成立，则()A. 4f(1)< f(2)B. 4f(1)> f(2)C. f(1)<4 f(2)D. f(1)<2 f'(2)f (x)解析：因为 xf (x)<2 f(x),则 xf'(x) 2f(x)<0 ,令 g(x)=2 (x>0)，则 g'(x) =x2xf ' x) 2f (x )C. (8, 0) U (0 , +8)解析：选 A.设 g(x) = exf(x)ex(x C R),则 g'(x)= exf(x) + exf'(x)ex= exf (x)+f'

26、;(x)-1，因为 f(x) + f'(x)>1 ,所以 f(x) + f'(x) 1>0 ,所以 g'(x)>0 ,所以g (x) = exf(x) ex在定义域上单调递增，因为exf(x)>e x+3,所以g(x)>3 ,又因为 g(0) = e0f(0) e0= 3.所以 g(x)> g(0)即 x>0 ,故选 A.3.设f(x)是定义在 R上的奇函数，f(2) = 0,当x>0时，有xf一x一、 f x <0恒成立， x2则不等式x2f(x)>0的解集是- f x xfx fx解析.当 x>o 时

27、，x一 ' =x<0,.(Hx) = f * 在(0, +8)上为减函数，又 6(2) =0, x在(0, +8)上，当且仅当 0Vx<2 时，(J)(x)>0 ,此时 x2f(x)>0.又f(x)为奇函数，h(x)=x2f(x)也为奇函数.故 x2f(x)>0 的解集为(一巴-2) U (0,2).题型四导函数图像和原函数关系例6 (2020 济南调研)已知定义在R上的函数f(x),其导函数f'(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A. f(b)> f(c)> f(d)B. f(b)> f(a)> f(e)C.

28、f(c)> f(b)> f(a)D. f(c)> f(e)> f(d)解析 由题意得，当xC( 8, c)时，f，(x)>0 ,所以函数f (x)在(8, c)上是增函数，因为 a<b< c,所以 f(c)> f(b)> f(a),故选 C.题型/e训1 .函数y=f(x)的导函数y = f'(x)的图象如图所示，则函数y = f(x)的图象可能是()答案 D解析 利用导数与函数的单调性进行验证.f'(x)>0的解集对应y = f(x)的增区间，f'(x)<0的解集对应y = f(x)的减区间，验证只有

29、D选项符合.2 .已知函数f(x)=x2+2cos x ,若f'(x)是f(x)的导函数，则函数f'(x)的大致图象是()解析：选 A 设 g(x) = f'(x) = 2x 2sin x,则 g'(x)2 2cos x >0 ,所以函数 f'(x)在 R 上单调递增，结合选项知选A.特训作业1 .函数f(x) = (x- 3)e x的单调递增区间是(A. (8, 2)B. (0,3)C. (1,4)D. (2, +8)解析 因为 f(x)=(x 3)ex,所以 f'(x) = ex(x 2).令 f'(x)>0 ,得 x&g

30、t;2 ,所以 f(x)的单调递增区间为(2, +oo).2.已知函数y = xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)卜面四个图象中，y = f(x)的图象大致是()解析：选C 当0vxv1时，xf (x) <0, ' f (x)< 0 ,故y = f(x)在(0,1)上为减函数；当 x>1 时，xf (x)>0, -f (x)>0,故 y = f(x)在(1 ,十 °°)上为增函数，因此排除 A、B、D ,故选C.3.已知函数兀f(x) = xsin x, xC R,则 f g , f(1),

31、兀f -3的大小关系为(B.f(1)> f7t兀c. f 5 >f(1)> f 7tD.兀>f 5 >f(1)解析 因为 f(x)=xsin x,所以 f(x)=( x) sin(x)=xsin x = f(x),所以函数 f(x)是7t偶函数，所以 f - 3 =f 3 .又当 x C 0 , 2 时，f '(x)= sin x + xcos x>0 ,所以函数 f(x)7t7t7t7t7t在 o, 2 上是增函数，所以 f 5 < f(i)< f - , ip f - > f(i)> f 5 ,故选 a.i4.已知函数f(

32、x) =3+ax + 4,则“ a>0 ”是“ f(x)在R上单调递增”的()A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3解析 f'(x) = 2x2 + a,当 a>0 时，f'(x)R 恒成立,“a>0 ”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.5.ln x若 f(x) =, e< a< b ,则()xA.f(a)> f(b)B. f(a) = f(b)C.f(a)<f(b)D. f(a)f(b)>11 ln x解析f'(x) =，当x>e时,f'(x)<0，则

33、f(x)在(e, +8)上为减函数,所以 f(a)>f(b).6.已知定义在0,兀2上的函数f(x)的导函数为f'(x),且对于任意的xC兀2 ,都有 f'(x)sinx<f(x)cosx,则(7t7t7t7tB. f 3 >f(1)厂 兀 兀D. 1，3f 6<f 3f解析令g(x)= 一x sin x f x cos xsin 2x由已知g '(x)<0在0,兀兀2上恒成立，g(x)在0, 2上单调递减,兀g4>gf-7tj7t3:2f 317. (2020 昆明调研)已知函数f(x)(xC R)满足f(1) =1 , f(x)的

34、导数f'(x)一，则不等式 2x21f(x2)<+2的解集为 解析 设 F(x)=f(x) 2x,.尸'3) = 13) 2,.T，(x)<-, . .F/(x) = f，(x)-<0 ,即函数 F(x)在 R 上单调递减. 22f(x2)<x+；,f(x2) x-<f(1) 2,Rx+ F(1),而函数 F(x)在 R 上单调递减, .x2>1 ,即不等式的解集为x|x<1或x>1.28 .已知g(x) = -+x2+2aln x在1,2上是减函数，则实数 a的取值范围为 x22a解析 g(x) = - x2+2x + ,由已知

35、得g'(x)W0在1,2上恒成立,可得 a<-x2 在1,2上恒成立.又当 xC 1,2时，1-x2 min =1 4 = 7. xx229 .设函数 f'(x)是奇函数 f(x)(xC R)的导函数，f(1)=0,当 x>0 时，xf'(x) f(x)<0 ,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是 .解析 因为 f(x)(x £ R)为奇函数，f(-1) = 0,所以 f(1) =- f(-1) =0.f x当XW0时，令g(x) =,则g(x)为偶函数，g=g(1) = 0.Xf x xf' x -f X则当 x>0

36、时，g'(x)= ' 2<0 ,xx2故g(x)在(0 , +°°)上为减函数，在(OO, 0)上为增函数.所以在(0 , +8)上，当 0Vx<1 时，由 g(x)>g(1)=0,得>0 ,所以 f(x)>0 ；在(一8, 0)上，当 x< 1 时，由 g (x)< g(- 1) =0,得xx<0 ,所以 f(x)>0.综上知，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(8, - 1) U (0,1).In x + k10 .已知函数f(x) =" 一(k为常数),曲线y = f(x)在点(1

37、 , f(1)处的切线与x轴平行.ex(1)求实数k的值；(2)求函数f(x)的单调区间.1 In x k解 (1)fx)=(x>0).又由题意知 f'(1)=0,所以 k= 1.exe1In x 1x1(2)f'(x)=(x>0).设 h(x) = In x- 1(x>0),exx则h'(x) = 1<0 ,所以h(x)在(0, +oo)上单调递减.x2 x由 h(1) =0 知，当 0v x<1 时，h(x)>0 ,所以 f'(x)>0 ;当x>1时，h(x)<0 ,所以f'(x)<0.综上

38、，f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1 , +°°).11.(2020 信阳高级中学模拟)已知函数f(x)=21(b C R,e为自然对数的底数)在点(0, exf(0)处的切线经过点(2 , 2).讨论函数F(x) = f(x) + ax(aC R)的单调性.b 1 2解 因为f(0) =b 1 ,所以过点(0, b-1), (2 , 2)的直线的斜率为 k=0-2=一"L,而f'(x) = 由导数的几何意义可知，f'(0)=b =，2ex21所以 b = 1,所以 f(x) = -1. ex则 F(x)=ax + "

39、1 , F'(x) = a ,当 aw0 时，F (x)<0 恒成立; exex当 a>0 时，由 F (x)<0 ,得 x< - In a,由 F'(x)>0 ,得 x> In a.故当a<0时，函数F(x)在R上单调递减；当a>0时，函数F(x)在(-°°, ln a)上单调递减,12 .定义在区间(0, +OO)上的函数在(一 ln a, + 00)上单调递增.y = f(x)使不等式2f(x)< xf'(x)<3 f(x)恒成立，其中y=f'(x)为y = f(x)的导函数，

40、则()A. 8< <16 f 1C. 3< f2<4 f 1D. 2< f2<3f 1解析. xf z(x) - 2f (x)>0 , x>0 ,f x x x22xf xx2，=xxf ' x -2f xx3>0 ，f xf x令g(x) = Y ' 'g(x)=Y在(0' +8)上单调递增,f 2 f 1,22 >12f 2,又由 2f(x)<3 f(x),得 f(x)>0 ,即 f1>4. xf '(x) 3f(x)<0 , x>0 ,x3- 3x2f xxf' x - 3f x