第五章计算机实时控制系统的设计3(根轨迹法)

1、5.3 Z平面根轨迹设计平面根轨迹设计1 1. Z平面的根轨迹平面的根轨迹 计算机控制系统经过计算机控制系统经过Z变换以后，可表示为图变换以后，可表示为图5.12所所示示 图图5.12 计算机控制系统计算机控制系统 其中：其中： 为零阶保持环节与被控对象的组合为零阶保持环节与被控对象的组合Z传递函传递函数数. 为数字控制器为数字控制器Z传递函数。传递函数。( )DG zY(z)( )G z( )DG zZ平面根轨迹定义为：当系统的某个平面根轨迹定义为：当系统的某个参数参数（如开环增益（如开环增益)）由零到无穷大由零到无穷大变化变化时，其时，其闭环特征根闭环特征根的的集合集合。该系统的闭环该系统

2、的闭环Z传递函数为传递函数为闭环系统的特征方程式为闭环系统的特征方程式为 （5.62）( )( )( )( )( )1( )( )DDGz G zY zK zR zGz G z1( )( )0DGz G z将系统的开环将系统的开环Z传递函数写成零极点形式传递函数写成零极点形式 (5.63)式中式中 和和 分别为开环零极点数，分别为开环零极点数，m为零点数，为零点数，n为极点数，为极点数，K为根轨迹增益。为根轨迹增益。11()()()()mjjDniiKzzGz Gzzpjzip根据（根据（5.62）特征方程式，根轨迹特征方程为）特征方程式，根轨迹特征方程为即即 上式可表示为模值方程和相角方程：

3、上式可表示为模值方程和相角方程：( ) ( )1DGz G z 11()1()mjjniiKzzzp （5.64） 11|niimjjzpKzz及及 （5.65）其中其中()()11(21)jjmnz zz pjik0,1,2,k （5.65）式决定闭环系统根轨迹的充分必要条件）式决定闭环系统根轨迹的充分必要条件,而而(5.64)式主要是确定根轨迹上各点对应的开环增益值式主要是确定根轨迹上各点对应的开环增益值.根轨迹法根轨迹法是一种是一种图解法图解法,在已知系统在已知系统开环开环传递函数零丶极点分布的传递函数零丶极点分布的情况下情况下,研究系统的某个参数变化时研究系统的某个参数变化时,对闭环传

4、递函数极点对闭环传递函数极点分布的影响分布的影响(闭环极点能决定系统的稳定与否。闭环极点能决定系统的稳定与否。)Z平面上根轨迹的特点：平面上根轨迹的特点：（1）Z平面极点的密集度很高（因为无限大的平面极点的密集度很高（因为无限大的S左半平左半平面映射到有限的单位圆内），面映射到有限的单位圆内），Z平面上平面上2个很接近的极点个很接近的极点，对应的系统性能却有较大的差别，因此，对应的系统性能却有较大的差别，因此，要求根轨迹的要求根轨迹的计算精度较高计算精度较高，如表，如表5.2所示。所示。（2）在）在S 平面中，平面中，临界放大系数临界放大系数是由根轨迹与虚轴的交是由根轨迹与虚轴的交点求得，点求

5、得，Z平面的临界放大系数则由根轨迹与单位圆的交平面的临界放大系数则由根轨迹与单位圆的交点求得。点求得。（3）在离散系统中，只考虑闭环极点位置对系统动态）在离散系统中，只考虑闭环极点位置对系统动态性能的影响是不够的，还需考虑性能的影响是不够的，还需考虑零点零点对动态响应的影响。对动态响应的影响。()sTze 1 10 10 15100 150jj S平面平面极点极点位置位置Z平面极点位置平面极点位置T=1T=0.1T=0.01T=0.0010.360.0000450.000045139.50450.9050.3680.368860.000045139.50.990.9050.9058.60.36

6、8850.9990.990.990.860.9058.6表表5.2 Z平面极点的密集度平面极点的密集度、 2.系统的动态指标和系统的动态指标和Z域极点位置的关系域极点位置的关系以二阶系统为例（高阶系统可近似二阶系统）以二阶系统为例（高阶系统可近似二阶系统） (5.66)其特征根为其特征根为 222( ) 0 pc：相位超前控制器,又可称为高通滤波器，这时 Kc1 Zcpc：是相位滞后控制器，又可称为低通滤器，这时Kc1 它们与相应的连续控制器的零、极点相对位置是一致的。 控制器零、极点分布图示试凑法 在设计中，要根据系统性能要求，确定控制器的零极点和位置（超前或滞后），再根据开环脉冲传递函数D

7、(z)G(z)的零极点绘出闭环根轨迹，直至其进入期望的闭环极点允许范围。在允许域中选择满足静态指标要求的根轨迹段作为闭环工作的选择区间。 然后进入第3步 进行数字仿真研究，检验闭环系统的动态响应。反复试凑，直至满足要求。 设计举例 ：例5.4 某数字随动系统，被控对象的传递函数是 ( )(0.21)pkGsss 采样周期T=0.2s,试设计一数字控制器,使系统满足下列品质指标:%15%0.55rts1sts3vK (a) 超调量(b) 上升时间(c) 调节时间(d) 静态速度误差系数控制系统结构图 No.1期望的闭环极点允许范围 0.5173.5Re( )sstRe( )3.5s Re( )0

8、.5TsRe cosIm( )rarcstIm( )3.844s Im( )44Ts21/% e图示No.2设计数字控制器D(z) （a）写出组合被控对象的脉冲传递函数1( )(0.21)0.718 2 0.073 55(1)(0.367 8)sTekG zZssszkzz（b）进行第1次试探，令D(z)=1，此时系统的开环传递函数为0.073 55 (0.7182)(0.7182)( ) ( )(1)(0.3678)(1)(0.3678)k zzD z G zkzzzz其中，根轨迹增益 0.07355Kk画出闭环根轨迹，由图可见，系统的闭环根轨迹不能穿过允许域，因而不可能满足动态品质要求。 第2次试探 令 0.3678( )czD zKz式（5.79）中采用D(z)的零点对消被控对象在0.3678的极点,同时配置了一个位于原点的新极点,以伸进根轨迹左移,进入允许域。这时，对消后的开环传递函数为(0.7182)(0.7182)( ) ( )0.07355(1)(1)czzD z G zkKKz zz z闭环根轨迹 确定根轨迹增益 根据1111(0.718 2)lim(1)( ) ( )lim(1)3(1)vzzK zK