离散信源熵ppt课件

1、1;.2.1 2.1 信源的描画和分类信源的描画和分类2.2 2.2 离散信源熵和互信息离散信源熵和互信息2.3 2.3 离散序列信源的熵离散序列信源的熵2.4 2.4 延续信源的熵和互信延续信源的熵和互信2.5 2.5 冗余度冗余度23问题：问题： 什么叫不确定度？什么叫不确定度？ 什么叫自信息量？什么叫自信息量？ 什么叫平均不确定度？什么叫平均不确定度？ 什么叫信源熵？什么叫信源熵？ 什么叫平均自信息量？什么叫平均自信息量？ 什么叫条件熵？什么叫条件熵？ 什么叫结合熵？什么叫结合熵？ 结合熵、条件熵和熵的关系是什么？结合熵、条件熵和熵的关系是什么？4问题：问题：什么叫后验概率？什么叫后验概

2、率？什么叫互信息量？什么叫互信息量？什么叫平均互信息量？什么叫平均互信息量？什么叫疑义度？什么叫疑义度？什么叫噪声熵或分布度？什么叫噪声熵或分布度？数据处置定理是如何描画的？数据处置定理是如何描画的？熵的性质有哪些？熵的性质有哪些？5设离散信源X，其概率空间为)(log)(iixpxI)()()(2121nnxpxpxpxxxPXI (xi) 含义:当事件xi发生以前,表示事件xi 发生的不确定性当事件xi发生以后,表示事件xi所含有的信息量6自信息量)(log)(iixpxI条件自信息量结合自信息量)|(log)|(jijiyxpyxI)(log)(jijiyxpyxI7离散信源熵H(X)i

3、iiiiixpxpxIxpXH)(log)()()()(信源熵具有以下三种物理含意：信息熵H(X)表示信源输出后,每个离散音讯所提供的平均信息量。信息熵H(X)表示信源输出前,信源的平均不确定性。信息熵H(X)反映了变量X的随机性 。8无条件熵无条件熵)|(log)|()|(jiijijyxpyxpyXH)|(log),()|(jiijjiyxpyxpYXH),(log),(),(jiijjiyxpyxpYXH条件熵条件熵结合熵结合熵iiixpxpXH)(log)()(9设有两个随机事件X和Y ,X取值于信源发出的离散音讯集合, Y取值于信宿收到的离散符号集合有扰信道干扰源信源X信宿Y)()(

4、)(2121nnxpxpxpxxxPX)()()(2121nnypypypyyyPY10假设信道是无噪的,当信源发出音讯xi后,信宿必能准确无误地收到该音讯,彻底消除对xi的不确定度,所获得的信息量就是xi的不确定度I(xi),即xi本身含有的全部信息。普通而言,信道中总是存在着噪声和干扰,信源发出音讯xi,经过信道后信宿只能够收到由于干扰作用引起的某种变型yj 。信宿收到yj 后推测信源发出xi的概率p(xi|yj)称为后验概率。信源发出音讯xi的概率p(xi) 称为先验概率。11互信息定义为 xi的后验概率与先验概率比值的对数)()|(log);(2ijijixpyxpyxI互信息I(xi

5、;yj)表示接纳到某音讯yj后获得的关于事件xi的信息量。)()|(log)()()(log)()|(log);(jijjijiijijiypxypypxpyxpxpyxpyxI)|()()|()();(ijjjiijixyIyIyxIxIyxI12例某地二月份天气 构成的信源为：8/ 18/ 14/ 12/ 1)(雪雨阴晴xpXbitxIxIbitxIbitxI4)()(,2)(,121log)(43221假设得知“今天不是晴天,把这句话作为收到的音讯y1当收到y1后,各种天气发生的概率变成后验概率了p(x1|y1) = 0, p(x2|y1) = 1/2 , p(x3|y1) = 1/4

6、, p(x4|y1) = 1/4 0)()|(log);(111211xpyxpyxI求得自信息量分别为 13bitxpyxpyxI14/12/1log)()|(log);(2212212阐明从y1分别得到了x2 x3 x4各 1比特的信息量。音讯y1使x2 x3 x4的不确定度各减少1bit 。bityxIyxI18/14/1log);();(2141314例2-8:一个二进信源X发出符号集0,1,经过离散无记忆信道传输,信道输出用Y表示,由于信道中存在噪声,接纳端除收到0和1的符号外,还有不确定符号“2知X的先验概率: p(x0)=2/3, p(x1)= 1/3,符号转移概率： p(y0|

7、x0)=3/4, p(y2|x0)=1/4 p(y1|x1)=1/2, p(y2|x1)=1/2，XY0101 23/41/21/21/4信源熵符号/92. 031log3132log32)31,32()(bitHXH15得结合概率： p(x0y0) = p(x0) p(y0 |x0) = 2/33/4 = 1/2 p(x0y1) = p(x0) p(y1 |x0) = 0 p(x0y2) = p(x0) p(y2 |x0) = 2/31/4 = 1/6 p(x1y0) = p(x1) p(y0 |x1) = 0 p(x1y1) = p(x1) p(y1 |x1) = 1/31/2=1/6 p

8、(x1y2) = p(x1) p(y2 |x1) = 1/31/2=1/6条件熵)/()()/()()(jijijijiyxpypxypxpyxp符号/88. 021log6121log6141log6143log21)|(log),()|(bitxypyxpXYHijijji由16结合熵 H(X,Y)H(X)H(Y|X)=1.8bit/符号)()(),()(11imjjijnijixpyxpypyxp得 p(y0) = p(xiy0) = p(x0y0) +p(x1y0) =1/2+0 = 1/2 p(y1) = p(xiy1) = p(x0y1) +p(x1y1) = 0+1/6 =1/6

9、 p(y2) = p(xiy2) = p(x0y2) +p(x1y2) = 1/6+1/6=1/3 由符号/47. 161log6131log3121log21)61,31,21()(bitHYH17)()()()()|(1jjinijijijiypyxpyxpyxpyxp由12/12/1)()()|(00000ypyxpyxp得同理 p(x0 |y1)=0 ； p(x1 |y1)=1 p(x0 |y2)=1/2； p(x1 |y2)=1/20)()()|(00101ypyxpyxp符号/33. 0)|(log),()|(bityxpyxpYXHjiijji18H(X)：表示接纳到输出符号Y前

10、关于输入变量X的平均不确定度。H(X|Y)： 表示接纳到输出符号Y 后关于输入变量X的平均不确定度。符号/92. 031log3132log32)31,32()(bitHXH符号/33. 0)|(log),()|(bityxpyxpYXHjiijji这个对X尚存在的平均不确定度是由于干扰(噪声)引起的 19平均互信息定义 信息= 先验不确定性后验不确定性 = 不确定性减少的量)|()();(YXHXHYXIY未知,X 的不确定度为H(X)Y知,X 的不确定度变为H(X |Y)20有扰信道干扰源信源X信宿Y通讯系统中,假设发端的符号为X ,收端的符号为Y假设是一一对应信道,接纳到Y后,对X的不确

11、定性将完全消除：H(X|Y) = 0普通情况： H(X |Y) H(X),即了解Y后对X的不确定度的将减少经过信道传输消除了一些不确定性,获得了一定的信息。)();(0XHYXI21);()()|(log)()()()(log)()()|(log)();(XYIypxypyxpypxpyxpyxpxpyxpyxpYXIijiijjiijijijijijijiji平均互信息的另一种定义方法： 22例假设一条电线上串联了8个灯泡x1, x2，x8如图，这8个灯泡损坏的概率相等p(xi) = 1/8，现假设只需一个灯泡已损坏，致使串联灯泡都不能点亮。未丈量前,8个灯泡都有能够损坏,它们损坏的先验概率

12、: p(xi)=1/8这时存在的不确定性：bitxpxIii38log)(1log)(223第1次丈量后,可知4个灯泡是好的,另4个灯泡中有一个是坏的,这时后验概率p(xi|y) =1/4尚存在的不确定性所获得的信息量就是丈量前后不确定性减少的量,第1次丈量获得的信息量：bityxpyxIii24log)|(1log)|(2bityxIxIyxIiiji123)|()();(24第2次丈量后变成猜测哪2个灯泡中一个是损坏的,这时后验概率为： p(xi|yz) = 1/2尚存在的不确定性：第2次丈量获得的信息量：bityzxpyzxIii12log)|(1log)|(2第3次丈量完全消除了不确定

13、性，能获知哪个灯泡是坏了的。尚存在的不确定性等于零。第3次丈量获得的信息量：bityzxIyxIii112)|()|(bityzxIi1010)|(25信源消息 x1 x2x3x4x5x6x7x8先验概率 1/81/81/81/81/81/81/81/8后验概率第1次测量y1/41/41/41/4第2次测量z1/21/2第3次测量w1bitxpyxpyxI14/12/1log)()|(log);(22222bitxpyzxpyzxI28/12/1log)()|(log);(22222bitxpyzwxpyzwxI38/11log)()|(log);(22222要从8个等能够损坏的串联灯泡中确定

14、哪个灯泡是坏的,至少要获得3个bit的信息量 26方法2：逐个检查第1次:x1坏,获得信息量=3bit,能够性较小1/8；x1通,其他7只中1只坏,坏灯泡的不确定性：log27=2.8073bit获得信息量=3-2.8073=0.1927bit,能够性较大7/8第1次所获得的平均信息量:543. 01927. 0873811184184 “对半开 第1次所获得的平均信息量: 27在有3个变量的情况下,符号xi与符号yj , zk之间的互信息量定义为)|;();()|()|(log)()|(log)|()()|()|(log)()|(log);(jkijijikjiijijiikjijiikji

15、kjiyzxIyxIyxpzyxpxpyxpyxpxpzyxpyxpxpzyxpzyxI)|;();();(kjikikjizyxIzxIzyxI同理28我们定义在知事件zk的条件下,接纳到yj后获得关于某事件xi的条件互信息)|()|()|(log)|()|(log)|()|(log)|;(kjkikjikjkijkikjikjizypzxpzyxpzypzxypzxpzyxpzyxI29)()()()|()()|()();(XYHYHXHXYHYHYXHXHYXI熵只是平均不确定性的描画;不确定性的消除(两熵之差)才等于接纳端所获得的信息量。 获得的信息量不应该和不确定性混为一谈 )()(

16、)()|()()|()()(YHXHXYHYXHYHXYHXHXYH30H(X|Y)H(X)H(Y)H(XY)H(Y|X)I(X;Y)()()()|()()|()();(XYHYHXHXYHYHYXHXHYXI)|()()|()()()()()|()()|()()(XYHYHYXHXHYHXHXYHYXHYHXYHXHXYH31H(X|Y)：信道疑义度，损失熵信源符号经过有噪信道传输后所引起的信息量的损失。信源X的熵等于接纳到的信息量加上损失掉的信息量。 H(Y|X)：噪声熵，分布熵它反映了信道中噪声源的不确定性。输出端信源Y 的熵H(Y)等于接纳到关于X的信息量I(X;Y)加上H(Y|X),

17、这完全是由于信道中噪声引起的。32I(X;Y) H(X) H(Y) H(X/Y)疑义度 H(Y/X)噪声熵33假设信道是无噪一一对应信道,信道传送概率： )(1)(0)|(xfyxfyxyp)(1)(0)|()()|()()()()|(xfyxfyxypxpxypxpypxypyxp计算得:0)|(; 0)|(XYHYXH)()();(YHXHYXI)()();(YHXHYXI34假设信道输入端X与输出端Y完全统计独立 )()|()()|(xpyxpypxyp那么:)()|();()|(YHXYHXHYXH0);(YXI)|()(YXHXH)|()(XYHYH35第一级处置器第二级处置器XYZ

18、输入 级联处置器数据处置定理 :当音讯经过多级处置器时,随着处置器数目增多,输入音讯与输出音讯间的平均互信息量趋于变小假设Y条件下X和Z相互独立 );();();();(YXIZXIZYIZXI36数据处置定理阐明：当对信号、数据或音讯进展多级处置时,每处置一次,就有能够损失一部分信息,也就是说数据处置睬把信号、数据或音讯变成更有用的方式，但是绝不会发明出新的信息,这就是所谓的信息不增原理。 37三维结合集XYZ上的平均互信息量 )|;();()|;();();()|;()|;();();()|;();();();()|;();();()|;(),();(YZXIZYIXZYIZXIZXYIZYXIYZXIYXIZXIZYXIZXIZYXIYZXIYXZIXYIXYZIYZXIYXIYZXI381.非负性 H(X)H(p1，p2，pn)0式中等号只需在pi =1时成立。2.对称性 H(p1，p2，pn) = H(p2，p1，pn)例如以下信源的熵都是相等的：6 / 12 / 13 / 1321xxxPX2/ 16/ 1