积分变换第章5节ppt课件

1、2.5 Laplace变换的应变换的应用用 本节将应用拉氏变换来解线性微分方程.1 微分方程的拉氏变换解法首先取拉氏变换将微分方程化为象函数的代数方程, 解代数方程求出象函数, 再取逆变换得最后的解. 如下图所示.象原函数象原函数( (微分方程的解微分方程的解) )象函数象函数微分方程微分方程象函数的象函数的代数方程代数方程取拉氏逆变换取拉氏逆变换取拉氏变换取拉氏变换解代数解代数方程方程例例1 1 求方程求方程 y+2y-3y=e-t y+2y-3y=e-t 满足初始条件满足初始条件1, 000 ttyy11)(3)0(2)(2)0()0()(2 ssYyssYysysYs的解的解. . 设设

2、 y(t)=Y(s). y(t)=Y(s). 对方程的两边取拉氏变换对方程的两边取拉氏变换, ,并考虑到初始条件并考虑到初始条件, , 则得则得11)(3)(21)(2 ssYssYsYs即即由解出Y(s)11)(3)(21)(2 ssYssYsYs22( )(1)(23)sY ssss 3131( )eee488ttty t 因而311884113sss 例例2 2 求微分方程求微分方程02 yyy满足初始条件满足初始条件 00y 4)( ly的解的解, ,其中其中 为已知常数为已知常数 l解解 lxxyy 0),(设设方方程程的的解解且设且设 )()(sYxy 对方程两边取对方程两边取La

3、placeLaplace变换变换, ,并考虑到初始条件并考虑到初始条件, ,则得则得0)()0()( 2)0()0()(2 sYyssYysysYs整理后可得整理后可得2)1()0()( sysY取取LaplaceLaplace逆变换，可得逆变换，可得xxeyxy)0()( ，代入上式，可得，代入上式，可得令令lx lely 4)0(所以所以lxxelxy 4)(例例3 3 求微分方程求微分方程02)21( yytty满足初始条件满足初始条件2, 100 ttyy的解。的解。解解 由由 )()1()()(tfdsdtftnnnmn 对方程两边取对方程两边取LaplaceLaplace变换变换,

4、 ,则得则得设)()(sYty 0)(2)0()(2)0()()0()0()(2 sYyssYdsdyssYysysYsdsd考虑到初始条件考虑到初始条件, ,则得则得0)()( )2( sYsYs2)( sCsY取取LaplaceLaplace逆变换，可得逆变换，可得tCety2)( ，代入上式，可得，代入上式，可得令令0 t1 C所以所以tety2)( 例例4 4 求解方程组求解方程组 txyxyyxxyt222e 0)0()0(0)0()0(xxyy满足初始条件满足初始条件的解的解.对两个方程取拉氏变换对两个方程取拉氏变换, , 设设 y(t)=Y(s), y(t)=Y(s), x(t)

5、=X(s), x(t)=X(s), 并考虑到初始条件并考虑到初始条件, , 得得 txyxyyxxyt222e 222221)()(2)()(2211)()()()(ssXssYsXssYssssYssXsXssYs整理得整理得 )1(1)()1()(2)1(2)()()1(22sssXsssYsssssXsYs解此线性方程组解此线性方程组222(1) ( )( )(1)12( )(1)( )(1)ssY ssX ss ssY ssX sss 222221(1)22(1)21221ssDsssssssss 222(1)1(1)(1)Ysss sDsss 21( )(1)( )1eeYttDY

6、sDs sy tt 可可得得22222221(2)(1)11(1)(1)12121(1)(1)sssssss ss sssssssss ss s 22221(1),2112(1)Xsss sDDsssss 22322222121124(1)(1)21ssssssssssss 2221( )(1)XDsX sDss 32322222225124221(1)(1)sssssssssss最后得最后得22222111( )(1)(1)sX sssss ( )etx ttt 得得( )1ee( )ettty ttx ttt 故故例例5 5 质量为质量为m m的物体挂的物体挂在弹簧系数为在弹簧系数为k k

7、的弹簧的弹簧一端一端, , 外力为外力为f(t), f(t), 物物体自平衡位置体自平衡位置x=0 x=0处开处开始运动始运动, , 求运动规律求运动规律x(t).x(t).根据牛顿定律有根据牛顿定律有 mx=f(t)-kx其中其中kx由虎克定律所得由虎克定律所得 初始条件为初始条件为 x(0)=x(0)=0mxxx=0kxf(t)物体运动的微分方程为物体运动的微分方程为mx+kx=f(t)且且 x(0)=x(0)=0.对方程两边取拉氏变换对方程两边取拉氏变换, 设设 x(t)=X(s), f(t)=F(s), 并考虑到初始条件并考虑到初始条件, 则得则得ms2X(s)+kX(s)=F(s)(

8、11)(1)(,20220220sFsmssFmsXmk 有有如记如记如如f(t)具体给出时具体给出时, 可以直接从解的象函数可以直接从解的象函数X(s)的关系式的关系式中解出中解出x(t)来来.)(11)(202sFsmsX ttfmtftmtxts00000002021d)(sin)(1)(sin1)(,sin1 由卷积定理得由卷积定理得因为因为 当物体在当物体在t=0时受到冲击力为时受到冲击力为f(t)=Ad(t), 其中其中A为常数为常数. 此此时时, f(t)= Ad(t)=A2021)( smAsX所以所以).(,.sin)(00000或称固有频率或称固有频率然频率然频率为该系统的

9、自为该系统的自称称角频率是角频率是振幅是振幅是运动为一正弦振动运动为一正弦振动在冲击力的作用下在冲击力的作用下可见可见从而从而 mAtmAtx 如物体所受作用力为如物体所受作用力为f(t)=A sin wt时时222222022222200 ( )11( )111f tAsAX smssAmss 02200002200sinsin( )()(sinsin)()tAtx tmAttm 从从而而例例6 6 如图所示电路如图所示电路, , 若外加电动势为若外加电动势为求开关闭合后求开关闭合后, , 回路中电流回路中电流i(t)i(t)及电容器两端电压及电容器两端电压uC(t).uC(t).tuCti

10、tRiuteuuCRCRdd)(),()( 其其中中由由基基尔尔霍霍夫夫定定律律有有i(t)e(t)KRC)sin()( tUtem微分方程为d( )dCCuRCue tt22( )sin(),( ) ( )(cossin)(cossin)( )1()(j)(j)mmmCe tUtUE se tssUsUsRC sssRC 有有( )( ),CCutUs 所以当 ( )( )e tE s ( )( ) ( )CCRCSUsUse t 1,( )CjjUsRC 1 12 22 2s ss ss s为为一一级级极极点点. .1jj(cossin)(cossin)( )1(j)(j)()(j)(co

11、ssin)1()(j)ststmCsRCsstsUssuteeRCssssRCseRC ssRC 故故222222()()1cossin 11()()22( 2)( 2)tmRCjtjtmURCeCRRCCUeejjRCRCRC 2222222222222222221cos111sin11cos()111sin()1mtRCmURCRRCCCeRCURtCRRCCCtRC 例7 如图所示的RLC电路中串接直流电源E, 求回路中电流i(t)。)(ddd)(1,dd)(),(0titLuttiCutuCtitRiuEuuuLtCCRLRC 即即其其中中Ei(t)KRCL根据基尔霍夫定律, 有代入上式得如下微分方程代入上式得如下微分方程0)0()0(,)(dd)(d)(10iiEtitLtRittiCt)(111/)()()()(12122rsrsLELCsLRsLECRsLsELsRCssEsIsEsLsIsRIsICs 解得解得设设 i(t)=I(s), 对微分方程两边取拉氏变换对微分方程两边取拉氏变换,tLELErrLErrrrLEtirrLCLRLCLRLRrLCLRLRrLCsLRsrrtttttrtrtrtr sinhe2eeeeeee)(,1,2142,14201,211221212222