第三章习题课上册中考复习课ppt课件

1、1.用罗尔定理证明方程根的存在性用罗尔定理证明方程根的存在性.2.用洛比达法则求函数不定式的极限用洛比达法则求函数不定式的极限.3.用单调性证明方程根的惟一性及讨论方程根的个数用单调性证明方程根的惟一性及讨论方程根的个数.4.用单调性证明函数不等式用单调性证明函数不等式.5.判断函数的单调性判断函数的单调性,求函数的极值和最值求函数的极值和最值.6. 判断函数的凹凸性判断函数的凹凸性,求函数的拐点求函数的拐点.7. 极值、拐点的必要条件的应用极值、拐点的必要条件的应用.9.求曲线在某点的曲率及曲率半径求曲线在某点的曲率及曲率半径.8.求曲线的渐近线方程求曲线的渐近线方程(水平的，铅直的、斜渐近

2、线水平的，铅直的、斜渐近线).1.用洛比达法则求函数不定式的极限用洛比达法则求函数不定式的极限.40sinsin(sin)sinlim.1.xxxxx 例例 求求极极限限40sinsin(sin )limxxx xx 原原式式解解：30sinsin(sin )limxxxx 20coscos(sin ) coslim3xxxxx 20cos 1 cos(sin )lim3xxxx 2001 cos(sin )limcoslim3xxxxx 201 cos(sin )lim3xxx 2201sin2lim3xxx 2201sinlim6xxx 1.6 (08)年年数数二二考考研研题题非零因子要及

3、时分离出来非零因子要及时分离出来012sin1(11,10)lim.ln(1)xxxxx 年年数数三三分分 求求极极限限练练习习：12 110ln(1)(11,10)lim.xexxx 年年数数一一分分：求求极极限限练练习习1e1cossin4(12,4)lim(tan ) .xxxx 年年数数三三分分习习：求求练练极极限限2e 11222 2cos40(12,10)lim.xxxeex 年年数数三三分分限限：求求极极练练习习2.需掌握的几类渐近线：需掌握的几类渐近线：1)水平渐近线水平渐近线: lim( ),xxxf xbyb 若若则则为为水水平平渐渐近近线线；lim( ),xaxaxaxa

4、f x 若若则则为为垂垂直直渐渐近近线线；2)垂直渐近线垂直渐近线: ( )lim,lim ( )xxxxxxf xkbf xkxx 若若，ykxb 则则直直线线为为它它的的斜斜渐渐近近线线. .3)斜渐近线斜渐近线:易知易知:在同一个方向上若有水平渐近线就不会有斜渐近线在同一个方向上若有水平渐近线就不会有斜渐近线.1ln(12).xyex 求求曲曲线线的的渐渐近近线线例例解解:(,0)(0)D 01limln(1)xxex 1ln(1)0.xxyex 是是的的渐渐近近线线1limln(1)xxex 1limln(1)xxex 0 1ln(1)0.xyyex 是是的的渐渐近近线线1ln(1)l

5、imxxexx 又又21ln(1)limlimxxxexx 0lim1xxxee 1 1limln(1)xxexx 且且1limln(1)lnxxxeex 11limlnxxxexe 0 1ln(.1)xyexyx 是是的的斜斜渐渐近近线线解解:(,0)(0,).D 1(21).xyxe 求求的的斜斜渐渐近近线线1( )(21)limlimxxxf xxexx 2 , 1()tx 令令则斜渐近线为则斜渐近线为21.yx 7614(2)T练练习习： 页页121limlimxxxxex lim ( )xf xax 且且1lim(21)2 xxxex 022lim(1)ttett 0(2)2limt

6、tt et 0()0型型0lim(22 ) tttet e 1 0(2)2limttt et 02(1)limttteet 002(1)limlimtttteet 1 有水平有水平,铅直渐近线吗？铅直渐近线吗？3.求函数的极值和最值求函数的极值和最值.(1621(8)T页页1.xyx 求求的的极极值值1)极值点的可疑点：极值点的可疑点：即：极值点即：极值点 驻点驻点,不可导点不可导点复习：复习：2) 极值第一判别法极值第一判别法:0,( )f xx设设函函数数在在连连续续处处内有导数内有导数,0,xx当当 由由小小到到大大通通过过时时( )fx (1) “左正右负左正右负” ,0( ).f x

7、x则则取取极极小小在在值值0( )f xx则则在在取取极极大大值值；(2) “左负右正左负右正” ,( )fx 00(, )xx 0 0且且在在的的某某去去心心邻邻域域(在定义域内部的在定义域内部的)驻点驻点,不可导点不可导点.3)极值第二判别法极值第二判别法:000( )()0,()0,f xxfxfx设设在在点点处处具具有有二二阶阶导导数数, ,且且则则0(1,)0( )fx 若若0(2,)0( )fx 若若0( )f xx则则在在点点取取极极大大值值；0( ).f xx则则点点取取极极小小在在值值4)连续函数最值的求法连续函数最值的求法:( ) , f xa b求求连连续续函函数数在在闭

8、闭区区间间上上最最值值的的方方法法步步骤骤：12(1)( )( , ),mxxxf xa b求求在在内内的的可可疑疑极极值值点点，(2) max M 12(),(),(),mf xf xf x( ),( )f af b min m 12(),(),(),mf xf xf x( ),( )f af b特别特别: 当当( ) , f xa b在在上上增增( (减减) )时时, ,最最值值必必在在端端点点处处取取得得； 求求( )( , )lim( ), lim( )xaxbf xa bf xf x 在在内内的的最最值值时时, ,把把参参与与比比较较； I3.求函数的极值和最值求函数的极值和最值.(

9、1621(8)T页页1.xyx 求求的的极极值值解解:(0,).D求导得求导得12( )(1 ln )xfxxx ，11ln( ),xxxf xxe 1ln1( )(ln )xxfxexx 1ln2211(ln)xxexxx( )0fx 令令x e 列表判别列表判别:x( )fx ( )f x(0, )ee( ,)e 01ee,x e 因此在因此在也取最大值也取最大值 .( )xef x 处处内只有唯一的极大点内只有唯一的极大点( )(0,)f x 所所以以在在1.ee极极大大值值为为18314T【思思考考页页】(1621(10)T页页tan.yxx 求求的的极极值值解解:,2Dx xR xk

10、kZ 求导得求导得2( )1 secfxx ，( )0fx 无无解解. .所以函数在定义域内部没有驻点和不可导点所以函数在定义域内部没有驻点和不可导点.所以函数无极值所以函数无极值.0( )240,()0,yf xyyyf x 设设满满足足若若习习：方方程程练练00()0,( )()fxf xx 且且则则在在处处(A) 取得极大值取得极大值 ;(B) 取得极小值取得极小值 ;(C) 在某邻域内单调增加在某邻域内单调增加 ; (D) 在某邻域内单调减少在某邻域内单调减少.提示提示:( )f x将将代代入入方方程程：00()4 ()0fxf x A0,xx 令令得得( )2( )4 ( )0,fx

11、fxf x 4.判定的凹凸性判定的凹凸性.( ) , ( , ).1( , )( )0( ) , (2)( , )( )0( )2 , f xa ba ba bfxf xa ba bfxf xa b 设设在在上上连连续续, ,在在内内具具有有一一阶阶和和二二阶阶导导数数（） 如如果果在在内内, ,则则在在上上的的图图形形是是的的；如如果果在在内内, ,则则在在上上的的图图形形定定理理 ：凹凹是是凸凸的的. .注意：注意： 该定理换成其它区间仍然成立该定理换成其它区间仍然成立.( )0,( )fxxIyf xI 曲曲线线在在 上上是是凹凹的的. .( )0,( )fxxIyf xI 曲曲线线在在

12、 上上是是凸凸的的. .注意：函数的凹凸区间应首先为它的连续区间注意：函数的凹凸区间应首先为它的连续区间.定理定理2：( )0,fxxI ( )f x函函数数在在 I 上单调递增上单调递增( )0,fxxI ( )f x函函数数在在 I 上单调递减上单调递减定理定理1：注意：单调区间应首先为连续区间注意：单调区间应首先为连续区间.00(,)()()xxf xfy 连连续续曲曲线线上上凹凹弧弧与与凸凸弧弧的的分分界界点点，.称称为为该该曲曲线线的的拐拐点点(1)定义定义:5.曲线的拐点及其求法：曲线的拐点及其求法：(2)求拐点方法求拐点方法1:00()0,.fxx 且且或或在在 处处二二阶阶不不

13、可可导导则则01)( )fxx 若若在在 的的两两侧侧异异号号00(,().xf x为为拐拐点点0( ),f xx设设函函数数在在 的的邻邻域域内内二二阶阶可可导导02)( )fxx 若若在在 的的两两侧侧不不变变号号00(,().xf x不不是是拐拐点点(3)求拐点方法求拐点方法2:00000 ( ),(,()0,()0( ).f xxxf xyxxfffx 设设函函数数在在的的邻邻域域内内三三阶阶可可导导 且且而而那那末末是是曲曲线线的的拐拐点点拐点的横坐标的可疑点：拐点的横坐标的可疑点：( )0,( ).fxfxx 不不存存在在的的点点例例3.22( ),2xxxe ( )0,x 令令1

14、,1.xx 得得22(1)(1)( ).2xxxxe 求函数求函数221( )2xxe 的凹凸区间与拐点的凹凸区间与拐点.解解: 定义区间为定义区间为(,), 列表确定函数的凹凸区间及拐点列表确定函数的凹凸区间及拐点:x)1,( ),1( ( 1,1) 1 ( )x 0( )x 1 拐点拐点0拐点拐点 故凹区间为：故凹区间为：(, 1),(1,) ，( 1,1). 11( 1,) (1,)22ee ；拐点为：拐点为：凸区间为：凸区间为：定理定理 (判别法的推广判别法的推广)：0( )()yf xU xn 设设在在内内具具有有 阶阶连连续续导导数数且且 1000()()()0nfxfxfx 0(

15、)0nfx 但但，1) n为为奇奇数数时时，00(,()( )xf xyf x 为为曲曲线线的的拐拐点点, ,000( )(,(),xyf xxf x 极极值值为为函函数数的的不不是是拐拐点点点点, ,且且( )0()0,nfx 时时0 x 是是极极小小点点；( )0()0,nfx 时时2) n为为偶偶数数时时，0 x 是是极极大大点点. .0(x 不不是是极极值值点点).).结论：结论： 为为 的极值点时，的极值点时， 可能是曲线可能是曲线0 x( )yf x 00,()xf x( )yf x 拐点拐点.234(111)(1)(2) (31) (4)().yxxxx 年年数数曲曲线线的的拐拐

16、点点是是() (1,0),()(2,0),() (3,0),()(4,0).ABCDC(112)( )=ln (1)(2)(3)(2).f xxxx 年年数数函函数数的的驻驻点点个个数数为为() 0,()1,() 2,()3.ABCDC32(10)1( 1,0), 3 .yxaxbxb 年年研研 若若曲曲线线有有拐拐点点则则3几个考研真题：几个考研真题：0,22sin.xxx 有有证证明明: :当当时时例例4.证证:令令 那么那么2( )sin,F xxx (0)0,F ()0,2F ( )Fx 2cos,x ( )Fx sin x 0, 2)(0,x ( )0,2Fx 在在上上是是减减函函数

17、数. .02,x当当时时( )(0)FxF 有有210 02,x当当时时( )()2FxF 有有20 是凸函数，是凸函数，( )0,2F x 在在上上yox2 ( )yF x 所以函数值所以函数值 弦上的纵坐标弦上的纵坐标 ( )F xy 弦弦即即02,x当当时时2sin0,xx 有有切线上的纵坐标切线上的纵坐标 凸函数的函数值凸函数的函数值 弦上的纵坐标弦上的纵坐标. 凸弧凸弧:注意：这是用凹凸性证明不等式注意：这是用凹凸性证明不等式.0 所以原不等式成立所以原不等式成立.例例5. .ee 证证明明 证明证明:ln,e 分分析析：先先恒恒等等变变形形：取取对对 数数得得( )ln,f xxex 设设0,x ( )1efxx 0, ,xe 得得驻驻点点2( )efxx 又又，1( )fee 0, ( ),f xxe 在在处处取取得得极极小小值值( )f x又又可可导导且且只只有有唯唯一一驻驻点点，( )f x的的极极小小值值就就是是最最小小值值，0,( )( )xxef xf e对对一一切切，有有()( )0ff e ，ln 0,e .ee 即即xe 32)1 (yyK K1 xys 21