初中数学最值系列之阿氏圆问题

1、最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识Y“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题.所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点 距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆.如下图，已知A、B两点，点P满足PA： PB=k （k，1）,则满足条件的所有的点P构成的图 形为圆.下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在4ABC中，AD是NBAC的角平分线，则AB = DB .AC DC证明：J 二 BD,SaCDACDShAB X DE ABAB DBABD =,即=

2、SAAC X DF ACAC DCACD（2）外角平分线定理：如图，在ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，AB DBAC - DCC证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC,连接BD,则ACD04AED (SAS),CD=ED且AD平分NBDE,则DB ABDE AEAB DBAC DC接下来开始证明步骤:如图，PA： PB=k,作NAPB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MA PAMB PB故M点为定点，即NAPB的角平分线交AB于定点;作NAPB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理NA PANB PB=k，故N点为定点，即NAPB外角平分线交直线AB于

3、定点;又NMPN=90,定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆.法二：建系则 B (m, 0),设 P (x,不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A (-m, 0), y), PA=kPB,即:+ m )2 + y 2 = k:(% m(1 + m )2 + y 2 = k 2 (1 - m )2 + k 2 y 2(k2 - 1)Q + y2)- (2m + 2k2m)X + (k2 - 1)m2 = 012 + y 2 -k2 -1解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线.那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子:如图，在 RtAABC 中，NC=

4、90, AC=4, BC=3,以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点则1 PA PB的最小值为 2【分析】这个问题最大的难点在于转化1PA，此处P点轨迹是圆，故转化方法与之前有所 2不同，如下，提供两种思路.法一：构造相似三角形注意到圆C半径为2, CA=4,连接CP,构造包含线段AP的4CPA,在CA边上取点M使得 CM=2,连接 PM,可得CPAsCMP,故 PA： PM=2:1,即 PM=，PA .2问题转化为PM+PB最小值，直接连BM即可.【问题剖析】(1)这里为什么是1PA ?2答：因为圆C半径为2, CA=4,比值是1:2,所以构造的是1

5、PA，也只能构造1PA .(2)如果问题设计为PA+kPB最小值，k应为多少？2答：根据圆C半径与CB之比为2:3, k应为2 .3【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决.法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P点轨迹是圆，A是定点，我们需要找出另一个定点M使得 PM:PA=1:2,这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！已知PA、PB之比确定圆而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的!P点轨迹圆的圆心C点和A点在直线AC上，故所求M点在AC边上，考虑到PM： PA=1:2, 不妨让P点与D点重合，此时DM=1DA

6、=1,即可确定M点位置.2如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3, PA=6, 亦满足 PM:PA=1:2.【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用.【练习1】如图，在AA5C中，NACB=90, BC=12, AC=9,以点C为圆心，6为半径的圆 上有一个动点D.连接AD、BD、CD,贝U 2AD+3BD的最小值是.一，一，、（2 ，、2.【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=3 AD + BD，故求AD + BD最小值即可.13）32 一. ,一 一考虑到D点轨迹是圆，A是定点，且要求构造-AD，条件已经足够明显.3当D点运动到AC边时，DA=3,此时在线段CD上取点M使得DM=2,则在点D运动过程 中，始终存在DM = 2 DA .3问题转化为DM+DB的最小值，直接连接BM, BM长度的3倍即为本题答案.【练习2】如图，已知正方ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点， 则PD 1 PC的最大值为2【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2,根据题意要求构造1 PC