充分条件与必要条件充要条件

1、充分条件与必要条件充要条件教学目标1 .理解充分条件、必要条件、充要条件的概念.（重点）2 .会用充分不必要条件，必要不充分条件、充要条件.既不充分也不必要条件表达 命题间的关系.（重点）3 .会求问题成立的充分条件、必要条件、充要条件，会证明充要条件.（难点、易 错点）教材整理1充分条件与必要条件阅读教材P9P10部分，完成下列问题.充分条件与必要条件命题真假“若p，则q为真命 题“若p，则q”为假命题推出关系p三qp / q条件关系p是q的充分条件 q是p的必要条件p不是q的充分条件 q不是p的必要条件课堂练习判断（正确的打“J”，错误的打“义”）（1）若p是q的必要条件，则q是p的充分条

2、件.（）“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.（）xa2+b2（a0, b0）是 x2ab 的充分条件.（）【答案】（1）J义（3） V教材整理2充要条件阅读教材pnP12部分，完成下列问题.充要条件1 .推出关系：p今q，且q今p，记作pOq.2 .简称：p是q的充分必要条件，简称充要条件.3 .意义：pOq，则p是q的充要条件或q是p的充要条件，即p与q互为充要条 件.课堂练习 判断(正确的打“J”，错误的打“X”)(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.(3)q不是p的必要条件时，“pAq”成立.()【答案】(1)4

3、(2)d (3)4例题分析例 判断下列各题中p是q的什么条件?_n_1(1)p： a=3, q： cos a=2(2)在4ABC 中，p： ab, q： sin Asin B；(3)p:四边形的对角线相等，q:四边形是平行四边形.【精彩点拨】 根据定义法，集合法，等价法作出判断.【自主解答】. 兀(1) V a = 3 cos a =1 , 兀，cos a = 2。a = 3，p是q的充分条件.(2) V由正弦定理号 =3， sin A sin B知 a b Osin A sin B , sin A sin B 今a b ,p是q的充要条件.四边形的对角线相等D。四边形是平行四边形，(3)V一

4、一( )、四边形是平行四边形D。四边形的对角线相等，p是q的既不充分也不必要条件.小结充分、必要、充要条件的判断方法1 .定义法若p O q , q Ap，则p是q的充分条件；若p A q , q Op，则p是q的必要条件；若P今q , q今p，则p是q的充要条件；若p*q , q Ap，则p是q的既不充分也不必要条件.2 .集合法对于集合A = x I x满足条件p , B = x I x满足条件q，具体情况如下：若A三B，则p是q的充分条件；若A二B，则p是q的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件；若AB，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的必要条件；即小范围可推出大范围，大范围不能推

5、出小范围.3 .等价法等价转化法就是在判断含有“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断.再练一题1 .设 p： 1x1,则 p 是 q 成立的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由2 x 1=20得x0,所以p今q但q * p，所以p是q的充分条件.【答案】A2 .指出下列命题中，p是q的什么条件？(1)p： x2 = 2x +1, q： x=、；2x +1；(2)p： a2+b2=0, q： a+b = 0；(3)p： x = 1 或 x=2, q： x -1 = ：x1；(4)p ：

6、sin a sin , q ： a .【解(1)： x2 = 2 x +1* x = -.J 2x +1 ,x=；T10x2 = 2x + 1 ,p是q的必要条件.:a2 + b2 = 0a = b = 0oa + b = 0 , a + b = 0 / a2 + b2 = 0, Ap 是 q 的充分条件.：当x = 1或x = 2成立时，可得x - 1=、:；x - 1成立，反过来，当x - 1 = ；x - 1 成立时，可以推出x = 1或x = 2 ,Ap既是q的充分条件也是q的必要条件.由 sin a sinB不能推出a B，反过来由a B也不能推出sin a sin p , A p

7、既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.例 是否存在实数p，使4x+p0的充分条件？如果存在， 求出p的取值范围；否则，说明理由.【精彩点拨】用集合的观点研究问题，先求出4x + p 0所对应的集合，再由“4x + p 0”求p的范围.自主解答由x2-x -20,解得x 2或x 2 或 x - 1,由 4 x +p 。，得 B = (xx -4 当 B2A 时，即-亨W - 1 ,即p三4，此时x0，.当p三4时，4x + p 0的充分条件.小结1 .解答本题的关键是分清4x+p0.2 .解答这类题主要根据充分条件、必要条件与集合的关系，转化为集合与集合间 的包含关系，然后建立关于参数的不等式

8、(组)进行求解.再练一题3 .若p： x(x3)0是q： 2x3m的充分条件，则实数m的取值范围是. 【解析】p : x(x - 3)0，则0x3 , q ： 2x - 3m ,m + 3m + 3则1，由题目知Poq , I一三2，.二m三3.【答案】 m三3探究1如何证明充要条件？【提示】 充要条件的证明分充分性和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述 方式的区别：P是q的充要条件，则由P今q证的是充分性，由q今P证的是必要性；P的充要条件是q，则由P今q证的是必要性，由q今p证的是充分性.探究2如何求解充要条件？【提示】 探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步 的变形

9、转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.例 求证：一元二次方程“X2+bx+C=0有一正根和一负根的充要条件是“C0.【精彩点拨分清条件P与结论q -1证充分性P今q -1证必要性q今P -修结论P O q【自主解答】充分性：（由“c 0推证方程有一正根和一负根）:“c 0.方程一定有两个不等实根.设为x 1 , x2 ,则x 1 x2 = “ 0，方程的两根异号，即方程“x2 + bx + c = 0有一正根和一负根.必要性：（由方程有一正根和一负根推证“c 0）.方程“x2 + bx + c = 0有一正根和一负根，设为x 1，x2，则由根与系数的关系得凡羽=c 0，即“c 0， 1 2

10、“综上可知：一元二次方程“x2 + bx + c = 0有一正根和一负根的充要条件是“c 1 ,ok 0因此k 求证：10.X y1 11 1_ y - x【证明】(1)必要性：由不三，得；-0，即ky，得y - x0.充分性：由xy0及xy，得xy-，即11. xy xy x y综上所述，10. x y练习1. “x1” 是 “log1(x+2)1得x-1,故选B.(小范围可推大范围，大范围不能推小 范围)【答案】B2.设四边形ABCD的两条对角线为AC, BD，则“四边形ABCD为菱形”是 “ AC BD ”的()A.充分条件B.必要条件C.必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 当四边

11、形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即ACBD.当四 边形ABCD中ACBD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相 平分.综上知，“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的充分条件.【答案】A 3.实数a, b中至少有一个不为零的充要条件是()A. ab = 0 B. ab 0C. a 2+b 2=0 D. a 2+b 20【解析】a2 + b20 ,则a , b不同时为零；a , b中至少有一个不为零，则a2+ b20.故选D.【答案】D4.若“x0”的充分条件，则m的取值范围是. 【解析】 由(x - 1)(x-2)0可得x 2或x 1 ,由已知条件，知x I x 2,或x 1,m 1, q： x21； (2)p： (a 2)(a3) = 0, q： a=3； (3)p： ab, q： b1可以推出x21 ；由x21 ,得x 1 ,不一定有x 1.因 此