概率论与数理统计12

1、概率论概率论3.4 连续型随机变量及其概连续型随机变量及其概率密度率密度连续型随机变量及其概率密度的定义连续型随机变量及其概率密度的定义概率密度的性质概率密度的性质重要的连续型随机变量重要的连续型随机变量概率论概率论 连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满一所有可能取值充满一个区间个区间, 对这种类型的随机变量对这种类型的随机变量, 不能象离不能象离散型随机变量那样散型随机变量那样, 以指定它取每个值概以指定它取每个值概率的方式率的方式, 去给出其概率分布去给出其概率分布, 而是通过而是通过给出所谓给出所谓“概率密度函数概率密度函数”的方式的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量的下

2、面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法描述方法.概率论概率论如果如果 X为连续型随机变量为连续型随机变量, 称称 f (x) 为为 X 的的概率密概率密度度函数函数，简称为，简称为概率密度概率密度 .一、一、 连续型随机变量及其概率密度的定义连续型随机变量及其概率密度的定义 xF xf t dt 有有,使得对任意使得对任意实数实数 , x 对于随机变量对于随机变量 X , 如果存在非负可积函数如果存在非负可积函数 f (x) , ,x P Xx 连续型随机变量的分布函数在连续型随机变量的分布函数在 上连续上连续R概率论概率论-10-550.020.040.060.08xf ( x)xF (

3、x )分布函数与密度函数 几何意义)(xfy 概率论概率论二、概率密度的性质二、概率密度的性质1 o0)(xf2 o1)(dxxf f (x)xo面积为面积为1这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某是否为某r .v X 的的概率密度的充要条件概率密度的充要条件概率论概率论利用概率密度可确利用概率密度可确定随机点落在某个定随机点落在某个范围内的概率范围内的概率对于任意实数对于任意实数 x1 , x2 , (x1 0 为常数概率论概率论1xF( x)0 xf ( x)0概率论概率论对于任意的 0 a 0 )都是常数都是常数, 则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的的正

4、态分布正态分布或或高斯分布高斯分布. X N ( , 2 )概率论概率论 :具有下述性质具有下述性质xf ;12 dxxf ;01 xf事实上事实上 , 22212x fx dxedx 22212x edx 222022x edx 1概率论概率论,2xt 令令则有则有 dxxfdtet202 122 曲线曲线 关于关于 轴对称；轴对称； fx 3 P hX P Xh 0h 202tedt 概率论概率论 xexfx,21)(222)( 函数函数 在在 上单调增加上单调增加, ,在在 上上 fx 4(, ,) 单调减少单调减少, ,在在 取得最大值；取得最大值；x 22()23,2x xfxex

5、x = 为为 f (x) 的两个拐点的横坐标；的两个拐点的横坐标； 5 22()2223(),2x xfxex 概率论概率论当当x 时，时，f(x) 0. . xexfx,21)(222)( f (x) 以以 x 轴为渐近线轴为渐近线 6 根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图的概率密度曲线图. .概率论概率论 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形中决定了图形中峰的陡峭程度峰的陡峭程度. . 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点),(2N几何意义 : 大小与曲线陡峭程度成反比数据意义: 大小与数据分散程度成正比

6、概率论概率论 设设 X ,),(2NX 的分布函数的分布函数是是正态分布正态分布 的分布函数的分布函数),(2N 2 22()21,2txF xedtx 概率论概率论 正态分布由它的两个参数正态分布由它的两个参数和和唯一确定，唯一确定， 当当和和不同时，是不同的正态分布。不同时，是不同的正态分布。标准正态分布标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布概率论概率论1, 0的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布标准正态分布. .其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：)(x)(x标准正态分布标准正态分布3 221,2txxedtx 2

7、21,2x xex 概率论概率论)(x )(x ;2101 ;1,2xxRx 1)(2)|(|aaXP(3)概率论概率论的性质的性质 : ;2101 dtet 022210 21212122 dtet ;1,2xxRx dtexxt 2221 事实上事实上 , 221()2txxedtx 22112uxedu x 12212uxutedu 1)(2)|(|aaXP(3)概率论概率论 标准正态分布的重要性标准正态分布的重要性在于，任何一个一在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布正态分布. .定理定理1 .1 ,0,2NXZNX 则

8、则若若概率论概率论对一般的正态分布 ：X N ( , 2) 其分布函数xttexFd21)(222)(作变量代换tsxxF)(abaFbFbXaP)()()(/ )(2d212xsse概率论概率论 书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表以解决一般正态分布的概率计算查表. .正态分布表正态分布表)(1)(xxdtexxt2221)(当当 x 0 时时, (x)的值的值.4概率论概率论例例3 3设 X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)解解210216 . 1)6 . 10(XP5 . 03 . 0 5 . 0

9、1 3 . 06915. 01 6179. 03094. 0P255 附表3概率论概率论例例4 4 已知), 2(2NX且 P( 2 X 4 ) = 0.3,求 P ( X 0 ).解一解一20)0(XP212224)42(XP)0(23 . 08 . 022 . 0) 0(XP概率论概率论解二解二 图解法0.22 . 0)0(XP由图-22460.050.10.150.20.3概率论概率论由标准正态分布的查表计算可以求得，由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，这说明，X的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在-3,3 区间区间内，超出这个范围的可能性仅占不到内，超出这个范围的可能性仅占不

10、到0.3%. .当当XN(0,1)(0,1)时，时，P(|X| 1)=2 ( (1)-)-1= =0.6826 P(|X| 2)=2 ( (2)-)-1= =0.9544P(|X| 3)=2 ( (3)-)-1= =0.9974 3 3 准则准则5概率论概率论将上述结论推广到一般的正态分布将上述结论推广到一般的正态分布, , 6826. 0)|(|YP9544. 0)2|(|YP9974. 0)3|(|YP可以认为，可以认为，Y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在3,3区间内区间内. .这在统计学上称作这在统计学上称作“3 3 准则准则” . .XYN(0,1) 当当XN(0,1)(0,

11、1)时，时，概率论概率论标准正态分布的上标准正态分布的上 分位点分位点 0,1 ,XN设设若数若数 满足条件满足条件z , 01P Xz则称点则称点 为为z标准正态分布的标准正态分布的上上 分位点分位点.)(x 1 zz zz 11P Xz 1 P Xz P Xz 6概率论概率论解解P(X h)0.01或或 P(X h) 0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的h . .看一个应用正态分布的例子看一个应用正态分布的例子: 例例 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在碰头机会在 0.01 以下来设计的以下来设计的. .设男子身

12、高设男子身高XN( (170, ,62),),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定? ? 设车门高度为设车门高度为h cm, ,按设计要求按设计要求概率论概率论因为因为 XN( (170, ,62),),故故 P(X0.996170h因而因而 = = 2.33, ,即即 h=170+13.98 184设计车门高度为设计车门高度为184厘米时，可使厘米时，可使男子与车门碰头男子与车门碰头机会不超过机会不超过0.01. .P(X h ) 0.99求满足求满足的最小的的最小的 h .) 1 , 0(6170NX 所以所以 . .17017066XhP 1706h 概率论概率论 这一节，我们介绍了

13、连续型随机变量这一节，我们介绍了连续型随机变量及三种重要分布及三种重要分布.即均匀分布、指数分布、即均匀分布、指数分布、正态分布正态分布. 其中正态分布其中正态分布的应用极为广泛，的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道在本课程中我们一直要和它打交道. 后面第五章中，我们还将介绍为什么后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布这么多随机现象都近似服从正态分布 .四、小结四、小结概率论概率论练习题练习题一、设随机变量 X 的分布函数为 ., 1,1 ,ln, 1, 0)(exexxxxFX，求 （1） P X2, P 0X3； （2） 求概率密度 fX (x).二、设

14、随机变量 X 的概率密度 f (x)为 其他其他021210)(xxxxxf求 X 的分布函数 F (x)，并作出 f (x)与 F (x)的图形。概率论概率论 其其它它010001000)(2xxxf三、某种型号的电子的寿命 X（以小时计）具有以下的概率密度：现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立） 。任取 5 只，问其中至少有 2 只寿命大于 1500小时的概率是多少？四、设 XN（3,22）（1）求 P 2X5，P 42，（2）决定 C 使得 P X C =P XC概率论概率论一、设随机变量 X 的分布函数为 ., 1,1 ,ln, 1, 0)(exexxxxFX，求 （1） P

15、 X2, P 0X3； （2） 求概率密度 fX (x).解：解：2 XP2)2( XPF)2(F 2ln 30 XP)0()3(FF 1 )(xfX)(xFX 1,1,0,xex 其其它它. .0 x1e23概率论概率论二、设随机变量 X 的概率密度 f (x)为 其其他他021210)(xxxxxf求 X 的分布函数 F (x)，并作出 f (x)与 F (x)的图形。解：解：,0时时当当 x xdttfxF)()(0 ,10时时当当 x xdttfxF)()( xtdt022x ,21时时当当 x xdttfxF)()( 10tdt xdtt1)2(1222 xx,2时时当当 x1)(

16、xF0 x12x x x x 概率论概率论故故 2, 121, 12210,20, 0)(22xxxxxxxxF概率论概率论 其其它它010001000)(2xxxf三、某种型号的电子的寿命 X（以小时计）具有以下的概率密度：现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立） 。任取 5 只，问其中至少有 2 只寿命大于 1500小时的概率是多少？解：解：15001500 X小小时时寿寿命命大大于于1500 XP 1500)(dxxf 150021000dxx 15001000 x32 概率论概率论小小时时的的管管子子数数只只中中寿寿命命大大于于表表示示15005Y 32, 5 bY2 YP21