第十二章--无穷级数(三峡大学高等数学教案)

1、第十二章无穷级数【教学目标与要求】I. 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。2 .掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。3 掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。4 .掌握交错级数的莱布尼茨判别法。5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。6 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7 理解幕级数收敛半径的概念，并掌握幕级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。8.了解幕级数在其收敛区间内的一些基本性质(和函数的连续性、逐项微分和逐项积分)，会求一些幕级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些

2、常数项级数的和。9了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。10.掌握ex,sinx,cosx,ln(1x)和(1a)的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幕级数。II. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在卜1,I上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在0,l上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。【教学重点】1、级数的基本性质及收敛的必要条件。2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；3、交错级数的莱布尼茨判别法；4、幕级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；5、ex,sinx,cosx,ln(1x)和(1a)的麦克劳林展开

3、式；6、傅里叶级数。【教学难点】1、比较判别法的极限形式；2、莱布尼茨判别法；3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；4、函数项级数的收敛域及和函数；5、泰勒级数；6、傅里叶级数的狄利克雷定理。【教学课时分配】（18学时）2同济大学数学系高等数学学习辅导与习题选解，第六版.高等教育出版社3同济大学数学系高等数学习题全解指南（下），第六版.高等教育出版社§121常数项级数的概念和性质、常数项级数的概念常数项级数给定一个数列U1U2U3Un则由这数列构成的表达式U1U2U3Un叫做常数项）无穷级数简称常数项）级数记为Un即n1UnU1n1U2U3Un第1次课§1第2次课§

4、2第3次课§3第4次课§4第5次课§5第6次课§6第7次课【参考书】§7第8次课§8第9次课习题课1同济大学数学系高等数学（下），第五版.高等教育出版社其中第n项Un叫做级数的一般项级数的部分和作级数Un的前n项和n1nsnUiU1U2U3Uni1称为级数Un的部分和n1三峡大学高等数学课程建设组级数敛散性定义如果级数Un的部分和数列Sn有极限s即limSnsn则称无穷级数Un收敛这时极限n1S叫做这级数的和并写成sUnn1UiU2U3Un如果%没有极限则称无穷级数Un发散1余项当级数Un收敛时其部分和sn是级数n1Un的和s的近似值

5、它们之间的差值1rnSSnUn1Un2叫做级数Un的余项n1讨论等比级数（几何级数）aqnaaqaq2n0aqn的敛散性其中a0q叫做级数的公比解如果q1则部分和Snaaqaq2n1aqaaqn1qaqn1q当|q|1时因为limnSn島所以此时级数aqn收敛其和为一亘n01q当|q|>1时因为limnSn所以此时级数naqn发散0如果|q|1则当q1时snna因此级数aqn发散n0当q1时级数aqn成为n0aaaa当|q|1时因为sn随着n为奇数或偶数而等于a或零所以Sn的极限不存在从而这时级数aqn也发散n0a，|q|1综上所述，级数aqn1qn0|q|1例2证明级数123n是发散的

6、证此级数的部分和为Sn123nn(n1)2显然limSn因此所给级数是发散的n例3判别无穷级数1JL1122334n(n1)的收敛性屮一111提示Unn(n1)nn1二、收敛级数的基本性质性质1如果级数Un收敛于和n1S则它的各项同乘以一个常数k所得的级数kUn也收敛n1且其和为ks性质2如果级数Un收敛于和s则级数kun也收敛n1n1且其和为ks性质3如果Unn1s贝Ukunksn1性质4如果级数Unn1vn分别收敛于和s、n1则级数(unvn)也收敛且其和为sn1性质5如果Unn1Vnn1则(UnVn)s性质6在级数中去掉、加上或改变有限项不会改变级数的收敛性性质7如果级数Un收敛n1则对

7、这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛且其和不变比如级数1111是收敛的122334n(n1)级数10000丄111也是收敛的122334n(n1)级数111也是收敛的3445n(n1)应注意的问题如果加括号后所成的级数收敛则不能断定去括号后原来的级数也收敛例如级数(11)+(11)+收敛于零但级数1111却是发散的推论如果加括号后所成的级数发散则原来级数也发散级数收敛的必要条件性质8如果Un收敛则它的一般项山趋于零即n叫比0应注意的问题级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件例4证明调和级数证：假若级数1收敛且其和为sSn是它的部分和n1n11n1n23显然有limSis及limS2ns于

8、是lim(s2n务)0nnn但另一方面1111111s2nSnn1n22n2n2n2n2是发散的1故lim(S2nsn)0矛盾这矛盾说明级数-必定发散nnin小结1. 常数项级数的概念；2. 常数项级数的性质；教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意常数项级数的概念以及重要性质，要结合实例，反复讲解。师生活动设计讲课提纲、板书设计作业P255:1(1),(3)；2(2),(3),(4)；3(2)；4(1),(3),(5)；§122常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数各项都是正数或零的级数称为正项级数定理1正项级数Un收敛的充分必要条件它的部分和数列Sn有界n1定

9、理2（比较审敛法）设un和Vn都是正项级数且UnVn(k0nN)n1n1若Vn收敛则Un收敛n1n1若Un发散则Vn发散n1n1证设级数Vn收敛于和则级数Un的部分和n1n1SnU1U2UnV1V2Vn(n1,2,)即部分和数列Sn有界由定理1知级数Un收敛n1反之设级数Un发散n1则级数Vn必发散n1因为若级数Vn收敛由上已证明的结论n1将有级数Un也收敛与假设矛盾n1推论设Un和Vn都是正项级数如果级数Vn收敛且存在自然数N使当nN时有n1n1n1UnkVn(k0)成立则级数nun收敛1如果级数vn发散且当nN时有Unkvn(k0)成立n1则级数Un发散n1例1讨论p级数冷1np112p3

10、p的收敛性其中常数p提示级数np1的部分和为nSn1尙尙(n詁11(n1)p1因为limsnlim1nn1(n1)p彳1所以级数1(n1)p1p级数的收敛性级数n计当p1时收敛当p1时发散例2证明级数是发散的1、n(n1)证因为M1)_1_、(n1)2沽而级数根据比较审敛法可知所给级数也是发散的定理3(比较审敛法的极限形式)设Un和Vn都是正项级数n1n1.1sin解因为limn1n1nsin丄发散n1n例4判别级数ln（1n14）的收敛性n2ln(1因为limn1而级数2收敛根据比较审敛法的极n1n限形式级数(1)如果limUnl(0l)且级数vn收敛则级数Un收敛nVnn1n1如果limU

11、nl0或limUn且级数Vn发散则级数Un发散nVnnVnn1n1证明由极限的定义可知对1l2存在自然数N当nN时有不等式11lVnl1l即lvnUn3lVn再根据比较审敛法的推论1即得所要证的结论例3判别级数sin丄的收敛性n1n而级数-发散根据比较审敛法的极限形式级数n1nln(1n1定理4（比值审敛法达朗贝尔判别法）若正项级数Un的后项与前项之比值的极限等于n1limnUn1Un则当1时级数收敛当1(或lim虬nUn）时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散例5证明级数1J吉11231123(n1)是收敛的102123To3"n!而的收敛性提示例7判别级数n莎話的收敛性limUn

12、1nUnnHm(2畀)1(2丁2)1比值审敛法失效因为1而级数4收敛因此由比较审敛法可知所给级数收敛（2n1）2nn2n1n2定理5（根值审敛法柯西判别法）设Un是正项级数如果它的一般项Un的n次根的极限等于n1limnunnh则当1时级数收敛例8证明级数当1(或limnunn11111歹耳n）时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散是收敛的并估计以级数的部分和Sn近似代替和S所产生的误差以这级数的部分和1lim-0nn所以根据根值审敛法可知所给级数收敛Sn近似代替和S所产生的误差为|rn|(n1)n(n2)n2(n3)n3111(n1)n1(n1)n2(n1)n31n(n1)n例9判定级数n1

13、守的收敛性定理6（极限审敛法）设un为正项级数n1(1)如果limnunl0(或limnun)则级数Un发散nnn1如果p1而limnpUnl(0l)则级数Un收敛nn1例10判定级数ln（14）的收敛性n1n12-2（n）故limn2unnn根据极限审敛法知所给级数收敛解因为ln（1limnn2ln(1limnn例11判定级数51（1cos）的收敛性n1n33解因为limn°unlimn2nn1(1cos)nlimnn2nn1根据极限审敛法知所给级数收敛二、交错级数及其审敛法它的各项是正负交错的交错级数交错级数是这样的级数交错级数的一般形式为（1）n1Un其中叫0n1例如（1）n1

14、1是交错级数n1n但（1）n11cosn不是交错级数n1n定理7（莱布尼茨定理）如果交错级数(1)n1Un满足条件n1(1)unUn1(n123)(2)limun0n则级数收敛且其和sU1其余项rn的绝对值|rn|un1简要证明设前n项部分和为sn由S2n(U1U2)(U3U4)(U2n1U2n)及S2nU1(U2U3)(U4U5)(U2n2U2n1)U2n看出数列S2n单调增加且有界(S2nU1)所以收敛设S2nS(n)则也有S2n1S2nU2n1S(n)所以SnS(n)从而级数是收敛的SnU1因为|rn|Un1Un2也是收敛的交错级数所以|rn|Un1例12证明级数(1)n11收敛n1n并

15、估计和及余项三、绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛若级数|Un|收敛则称级数Un绝对收敛n1n1若级数Unn1收敛而级数|Un|发散n1则称级Un条件收敛n1例13级数(1)n12是绝对收敛的而级数(1)n11是条件收敛的n1nn1n定理8如果级数Un绝对收敛则级数Un必定收敛n1n1值得注意的问题如果级数|un|发散我们不能断定级数n1Un也发散n1但是如果我们用比值法或根值法判定级数|Un|发散则我们可以断定级数n1un必定发n1因此级数Un也是发散的n1散这是因为此时|Un|不趋向于零从而Un也不趋向于零例14判别级数的收敛性n1n例15判别级数(n1咛(1扩的收敛性小结1. 利用部分

16、和数列的极限判别级数的敛散性；2. 利用正项级数审敛法；3. 任意项级数审敛法：Leibniz判别法。教学方式及教学过程中应注意的问题正项级数审敛法，任意项级数审在教学过程中要注意部分和数列的极限判别级数的敛散性,敛法：Leibniz判别法，要结合实例，反复讲解。师生活动设计1.判别级数的敛散性:(1)1n1ln(n1)(2)亠:Un1()2.设un0(n1,2,3,)，且lim1，则级数(1)n1(丄°Unn1Un(A)发散；(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D)收敛性根据条件不能确定讲课提纲、板书设计作业P268:1(1),(3),；2(2),(3),(4);4(1),(3),(

17、5),(6);5(2),(3),(5)§123幕级数一、函数项级数的概念函数项级数给定一个定义在区间I上的函数列Un(X)由这函数列构成的表达式U1(X)U2(x)U3(x)Un(x)称为定义在区间I上的(函数项)级数记为Un(X)n1收敛点与发散点对于区间I内的一定点X0若常数项级数Un(XD)收敛则称点X0是级数Un(X)的收敛点n1n1若常数项级数Un(Xo)发散则称点X0是级数Un(X)的发散点n1n1收敛域与发散域函数项级数Un(X)的所有收敛点的全体称为它的收敛域所有发散点的全体称为它的发散n1域和函数在收敛域上函数项级数un(X)的和是X的函数s(X)s(X)称为函数项

18、级数un(X)的和函n1n1数并写成s(X)Un(X)Un(x)是Un(x)的简便记法以下不再重述n1n1在收敛域上函数项级数刀Un(x)的和是X的函数S(X)S(X)称为函数项级数刀Un(x)的和函数并写成S(X)ZUn(x)这函数的定义就是级数的收敛域部分和函数项级数Un(x)的前n项的部分和记作Sn(x)函数项级数刀Un(x)的前n项的部分和记作n1Sn(x)即Sn(x)U1(x)U2(x)U3(x)Un(x)在收敛域上有'imsn(x)s(x)或Sn(x)s(x)(n)余项函数项级数un(x)的和函数s(x)与部分和Sn(x)的差rn(X)S(X)Sn(X)叫做函数项级数n1U

19、n(x)的余项n1函数项级数刀Un(x)的余项记为rn(X)它是和函数s(x)与部分和9(X)的差rn(x)s(x)sn(x)在收敛域上有limrn(x)0n、幕级数及其收敛性幕级数函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幕函数的函数项级数这种形式的级数称为幕级数它的形式是其中常数aoaia2aoaixa2x2nanXan叫做幕级数的系数幕级数的例子1xx2x3xn121x1nn!x注幕级数的一般形式是2aoa1(xxo)a2(xxo)经变换txXo就得aoa1ta2t2an(xxo)nantn幕级数1xx2x3xn可以看成是公比为x的几何级数当|x|1时它是收敛的当凶1时它是发散的因此它的

20、收敛域为(11)在收敛域内有xx2x3定理1(阿贝尔定理)如果级数anxn当xxo(xoo)时收敛则适合不等式no|x|xo|的一切x使这幕级数绝对收敛反之如果级数anxn当n0xX0时发散则适合不等式XIXo|的一切x使这幕级数发散提示刀anxn是anxn的简记形式n0简要证明设刀anxn在点xo收敛则有anxon0（n）于是数列anxon有界即存在一个常数M使IanX0nIM（n0,1,2,）n因为|anXn|anx?xnI|anX0|斗“MI|nxoX0X0所以级数刀|anxn|收敛也就是级数刀anxn绝对收敛而当IxI|x0|时等比级数M|n收敛n0Xo定理的第二部分可用反证法证明倘若

21、幕级数当XX0时发散而有一点X1适合|X1|>|X0|使级数收敛则根据本定理的第一部分级数当xXo时应收敛这与所设矛盾定理得证推论如果级数anXn不是仅在点X0一点收敛也不是在整个数轴上都收敛则必有n0个完全确定的正数R存在使得当凶R时幕级数绝对收敛当凶R时幕级数发散当xR与xR时幕级数可能收敛也可能发散收敛半径与收敛区间正数R通常叫做幕级数anxn的收敛半径开区间（RR）叫做幕级n0幕级数anXnn0数anXn的收敛区间再由幕级数在XR处的收敛性就可以决定它的收敛域n0的收敛域是（R,R）（或R,R）、（R,R、R,R之一规定若幕级数anXn只在X0收敛则规定收敛半径R0若幕级数anX

22、n对一切X都n0n0定理2如果n讥1收敛则规定收敛半径R这时收敛域为（，）其中an、an1是幕级数anXn的相邻两项的系数则这幕级数n0的收敛半径1R-00简要证明axn1limfn1XnnanXnTHm冲|x|x|nan(1)如果0则只当1凶1时幕级数收敛故R(2)如果0则幕级数总是收敛的故R(3)如果则只当X0时幕级数收敛故R0例1求幕级数“xn(1)n1Xn1n23“xn(1)n1n的收敛半径与收敛域1解因为lim|也|limnannn111n所以收敛半径为R丄1当X1时幕级数成为(1)n1丄是收敛的n1n1当X1时幕级数成为(丄)是发散的因此收敛域为(1,1n1n例2求幕级数1Xn的收

23、敛域non!例3求幕级数n!xn的收敛半径n0例4求幕级数(272!X2n的收敛半径no(n!)2解级数缺少奇次幕的项定理2不能应用可根据比值审敛法来求收敛半径,幂级数的一般项记为un（x）律芒因为lim|Un(X)4|x|2当4x|211即|x|2时级数收敛当4x211即|x|2时级数发散1所以收敛半径为R-提示2(n1)!x2(n1)Un1(x)(n1)!22)(2n1)Un(X)勢2n(n!)2(2n(n1)2x25求幕级数n令tX1上述级数变为tn12nn因为lim|/|an2n2nn11(n1)2所以收敛半径R2当t2时级数成为n1n此级数发散级数成为n4此级数收敛因此级1ntn数n

24、止的收敛域为2因为2x1所以原级数的收敛域为1,3）三、幕级数的运算设幕级数nanXn及bnxn分别在区间0(R,R)及(R,R）内收敛则在（R,R）与（R,R）中较小的区间内有加法anXnn00xn0(anbn)xn0减法anXnn0bnXn设幕级数刀anxn0n及刀bnxn分别在区间（anbn）Xnn0（R,R）及（R,R）内收敛则在（R,R）与（R,R）中较小的区间内有加法刀anxn刀bnxn刀(anbn)xn减法刀anxn刀bnxn刀(anbn)xn乘法（anxn)(bnxn)a0b0(a°b1n0a1bo)x(aob2a1b1a2bo)x2(aobnaibn1anb0)xn

25、性质1幕级数n敛则和函数s(x)在(如果幕级数在xR(或xR)也收anxn的和函数s(x)在其收敛域I上连续oR,R(或RR)连续性质2幕级数nanXn的和函数s(x)在其收敛域I上可积0并且有逐项积分公式xxnxn0s(x)dx0(anXn)dx0anXndx00n0n00亚xn1(xI)non1逐项积分后所得到的幕级数和原级数有相同的收敛半径性质3幕级数anXn的和函数s(x)在其收敛区间(Rn0R)内可导并且有逐项求导公式s(X)(anXn)(anXn)nanXn1(|x|R)n0n0n1逐项求导后所得到的幕级数和原级数有相同的收敛半径16求幕级数Xn的和函数n0n1求得幕级数的收敛域为

26、11)设和函数为s(x)即s(x)1片Xnx11)显然s(0)1在Xs(X)n0n11xn1的两边求导得xs(x)对上式从0到X积分得xs(x)ln(1x)疋当x0时有s(x)3n(1x因为xs(x)Xn0n1；xndx0n0X)从而s(x)1xn1dx0n1dxln(1x)n1ln(1x1x)0|x|1所以当X0时有s(x)Xln(1x)从而s(x)X1ln(1x)0|x|1x1x0x提示应用公式0F(x)dxF(x)F(0)即F(x)F(0)x0F(x)dx1r_xxx2x3例7求级数(牛的和n0n1小结1. 求幕级数收敛域和收敛半径的方法;2. 幕级数的性质。幕级数的性质,要结合实例，反

27、复教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意求幕级数收敛域和收敛半径的方法,讲解。师生活动设计1.已知anxn在xn0X。处条件收敛，问该级数收敛半径是多少?12n2.求极限lim(2n)，其中a1naaa讲课提纲、板书设计作业P277:1(1),(3),(5),(7),(8)，2(1),(3)§24函数展开成幕级数一、泰勒级数就是说是要解决的问题给定函数f(x)要考虑它是否能在某个区间内“展开成幕级数”否能找到这样一个幕级数它在某区间内收敛且其和恰好就是给定的函数f(x)如果能找到这高等数学教案无穷级数样的幕级数我们就说函数f(x)在该区间内能展开成幕级数或简单地说函数f(

28、x)能展开成幕级数而该级数在收敛区间内就表达了函数f(x)泰勒多项式如果f(x)在点X0的某邻域内具有各阶导数则在该邻域内f(x)近似等于f(x)f(xo)f(xo)(xxo)f-2xo)(xxo)2件(xxo)nRn(x)n!f(n1)()其中Rn(x)(xXo)"*介于x与xo之间)(n1)!泰勒级数如果f(x)在点xo的某邻域内具有各阶导数f(x)f(x)f(n)(x)则当n时f(x)在点xo的泰勒多项式Pn(x)f(xo)f(xo)(xxo)fX。)2-畀(X勺)"2!n!成为幕级数f(xo)f(xo)(xxo)(xxo)2丄4严&xo)3竺学(xxo)n2

29、!3!n!这一幕级数称为函数f(x)的泰勒级数显然当xxo时f(x)的泰勒级数收敛于f(xo)需回答的问题除了xxo外f(x)的泰勒级数是否收敛？如果收敛它是否一定收敛于f(x)?定理设函数f(x)在点xo的某一邻域U(xo)内具有各阶导数则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当no时的极限为零即nimRn(x)o(xU(xo)证明先证必要性设f(x)在U(xo)内能展开为泰勒级数即f(x)f(xo)f(xo)(xxo)f2x°)(XXo)2fy)(XXo)n又设sn1(x)是f(x)的泰勒级数的前n1项的和则在U(xo)内sni(x

30、)f(x)(n)而f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)Sni(x)Rn(x)于是Rn(x)f(x)Snl(x)0(n)再证充分性设Rn(x)o(n)对一切xU(xo)成立因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)Snl(x)Rn(x)于是Snl(x)f(x)Rn(x)f(x)即f(x)的泰勒级数在U(xo)内收敛并且收敛于f(x)麦克劳林级数在泰勒级数中取xoo得三峡大学高等数学课程建设组高等数学教案无穷级数f(0)2f(n)(0)nf(0)f(0)xxx2!n!此级数称为f(x)的麦克劳林级数展开式的唯一性如果f(x)能展开成x的幕级数那么这种展式是唯一的它一定与f(x)的麦克劳林级数一致这是

31、因为如果f(x)在点xo0的某邻域(RR)内能展开成x的幕级数即f(x)a0aixa2x2anxn那么根据幕级数在收敛区间内可以逐项求导有naf(x)ai2a2x3a3X2nanx1f(x)2!a232a3xn(n1)anxn2f(x)3!a3n(n1)(n2)anxn3f(n)(x)n!an(n1)n(n1)2anix于是得a0f(0)a1f(0)a2f(0)2!anf(n)(0)n!三峡大学高等数学课程建设组但是应注意的问题如果f(x)能展开成x的幕级数那么这个幕级数就是f(x)的麦克劳林级数反过来如果f(x)的麦克劳林级数在点X00的某邻域内收敛它却不一定收敛于f(x)因此如果f(x)在

32、点X00处具有各阶导数则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来但这个级数是否在某个区间内收敛以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察二、函数展开成幕级数展开步骤第一步求出f(x)的各阶导数：f(x)f(x)f(n)(x)第二步求函数及其各阶导数在x0处的值：f(0)f(0)f(0)f(n)(0)第三步写出幕级数：f(0)f(0)xf(0)x2f(n)(0)xnzv并求出收敛半径R2!n!第四步考察在区间(RR)内时是否Ri(x)0(n)f(n1)()耙晾x)nim刖。1是否为零如果Rn(x)0(n)则f(x)在(RR)内有展开式f(x)f(0)f(O)xL>x22皿xn!例1将函数f(x)ex

33、展开成x的幕级数n!(RxR)例2将函数f(x)sinx展开成x的幂级数、,3、，5、,2n1sinxxxx(1)n1x(3!5!(2n1)!例3将函数f(x)(1x)m展开成x的幕级数其中m为任意常数(1x)m1间接展开法mxm(m1)x22!m(m1)(mn1)xn入n!(1x1)例4将函数f(x)cosx展开成x的幕级数24cosx1x2!4!x2n(1)(2n)!例5将函数f(x)-112展开成x的幕级数x21注收敛半径的确定1x2由例6将函数f(x)ln(1x)解因为f(x)x2x4x21得展开成所以将上式从0到x逐项积分ln(1例7将函数f(x)解因为sinx(1)nx2nx的幕级

34、数七是收敛的等比级数xx2x3x)x22(1)nxnn1)x1)n(x1)的和函数sinx展开成(x4)的幕级数sin4(xxn1怜才)乎cos(x-)sin(x-)(1x1)并且有所以提示cos(x-)1評-)2拆-)4(sin(xR(x-)1(x7)3i(x7)5'sinx为(x-)珈-)2評-)31展开成(x1)的幕级数x24x3(x1)2(1号)3x4(x1)4(1例8将函数f(x)(1)n(>L<(1n02n()11x14(1)n0n(x1)n4n收敛域的确定由1专1得1展开式小结1xx2xnx1)ex1*nn!sinxcosx£.3!x!.2!xf5!

35、x-4!x2n11)n1(2n1)!nx2n(2n)!(1)x44m*m(m1)2(1x)1mx2!xln(1x)xx2x3x23n1(1)Jn1m(m1)(1x1)(mn1)xn入n!1)小结1.函数的幕级数展开式;2.常用函数的幕级数展开式;教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意函数以及常用函数的幕级数展开式，要结合实例，反复讲解。师生活动设计1. 函数f(x)在X。处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同？2. 女M可求ysin2x的幕级数。1x3. 将下列函数展开成x的幕级数f(x)arctan1x讲课提纲、板书设计作业P285:2(2),(3),；3(2)；4

36、7;25函数的幕级数展开式的应用一、近似计算例1计算5240的近似值要求误差不超过00001因为52405243-133(134)1/5所以在二项展开式中取mJx34即得52403(11114114915240305歹齐弓丽乔这个级数收敛很快取前两项的和作为5240的近似值其误差(也叫做截断误差)为lr|3(1411491149141)|2|(522!38533!312544!316)彳黔訓81(81)261L1125381丄2527402000081高等数学教案无穷级数于是取近似式为52403(15J4)为了使“四舍五入”引起的误差(叫做舍入误差)与截断误差之和不超过104计算时应取五位小数

37、然后四舍五入因此最后得52402.9926例2计算In2的近似值要求误差不超过00001解在上节例5中令x1可得ln211(1)n11n如果取这级数前n项和作为In2的近似值其误差为|rn|丄，为了保证误差不超过104n1需要取级数的前10000项进行计算这样做计算量太大了我们必需用收敛较快的级数来代替它把展开式ln(1x)xn11)n-(1x1)n1中的x换成xln(1x)(1x1)两式相减得到不含有偶次幕的展开式心ln(1x)ln(1x)2(x35x5)(1x1)1三峡大学高等数学课程建设组13代入最后一个展开式得3ln22(1如果取前四项作为In2的近似值丄1亠1亠)335S5737则误

38、差为1丄113111132_31111439700000于是取ln22(3333535737高等数学教案无穷级数同样地考虑到舍入误差计算时应取五位小数因此得0333333In206931例3利用sinx0.01235冷0.00082污0.000071x3求sin9的近似值并估计误差3!解首先把角度化成弧度9面9(弧度)弧度)，从而Sin202031_3!20其次估计这个近似值的精确度在sinx的幕级数展开式中令sin20203!2031_515!207!20等式右端是一个收敛的交错级数且各项的绝对值单调减少取它的前两项之和作为si门药的近似值起误差为吩5-20120(0.2)300000因此取

39、200.15708030.003876，于是得sin9015643，这时误差不超过10520例4计算定积分22xdx的近似值要求误差不超过00001(取10.56419)将ex的幕级数展开式中的x换成x2得到被积函数的幕级数展开式1皿(X2)2(X2)31!2!ex23!x2nn0(1)n).三峡大学高等数学课程建设组根据幕级数在收敛区间内逐项可积1122ex2dx22'00n2n1)n厶dxn!(1)nn0n!12x2ndx0前四项的和作为近似值1所以2fex2dxJ°223其误差为2452!2673!、2894!190000).1223-1)2452!26730.5295

40、例5计算0警dx的近似值（误差不超过104）解由于x叫警1因此所给积分不是反常积分如果定义被积函数在x0处的值为1则它在积分区间01上连续展开被积函数有sinxxx23!x45!x67!在区间01上逐项积分得0警dx11133!55!177!因为第四项11寺30000所以取前三项的和作为积分的近似值如dx0x0.9461二、欧拉公式复数项级数设有复数项级数：（U1iV1）（U2iV2）(UniVn)其中UnVn（n123）为实常数或实函数如果实部所成的级数U1U2Un收敛于和U并且虚部所成的级数Vn收敛于和V就说复数项级数收敛且和为uivV1V2绝对收敛、unvn收敛n1如果级（UniVn）的

41、各项的模所构成的级数n1则称级数（UniVn）绝对收敛n11zz2Jzn2!n!在x轴上它表示指数函数ex在复平面上我们用它来复变量指数函数考察复数项级数:可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的定义复变量指数函数记为ez即¥n!欧拉公式当x0时ziy于是那y)2eiyiiyiy骄中3(i2丄y44!y1315)i(y3!y尹)cosyisiny把y定成x得eixcosxisinx这就是欧拉公式复数的指数形式复数z可以表示为zr(cosisin)rei其中r|z|是z的模argz是z的辐角三角函数与复变量指数函数之间的联系因为eixcosxisinxeixcosxisinx所以ixixx

42、ixe+e2cosxee2isinxcosx1(eixeix)sinx£(eixeix)22i这两个式子也叫做欧拉公式isiny)复变量指数函数的性质ez1z2ez,ez2特殊地有exiyexeyex(cosy小结1.近似计算的方法；2微分方程的幕级数解法。教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意近似计算和幕级数解法，要结合实例，反复讲解。师生活动设计讲课提纲、板书设计作业P293:1(2),；2(2)§12.7傅里叶级数、三角级数三角函数系的正交性三角级数级数1a0(ancosnxgsinnx)2n1称为三角级数其中aoanbn(n12)都是常数三角函数系1co

43、sxsinxcos2xsin2xcosnxsinnx上的积分等三角函数系的正交性三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间于零即cosnxdx0(n12)sinnxdx0(n12)sinkxcosnxdx0(kn12)sinkxsinnxdx0(kn12kn)coskxcosnxdx0(kn12kn)三角函数系中任何两个相同的函数的乘积在区间上的积分不等于零12dx22cosnxdx(n12)sinnxdx(n12)二、函数展开成傅里叶级数问题设f(x)是周期为2的周期函数且能展开成三角级数f(x)ao2(akcoskxbksinkx)k1f(x)cosnxdxaocosnxdxakcoskx

44、cosnxdx2k1类似地f(x)sinnxdxbn傅里叶系数a01f(x)dxan1f(x)cosnxdx(n12)01f(x)sinnxdx(n12)系数aoa1b1叫做函数f(x)的傅里叶系数那么系数aoa1b1与函数f(x)之间存在着怎样的关系假定三角级数可逐项积分则sinkxcosnxdx傅里叶级数三角级数ao(ancosnxbnsinnx)2n1称为傅里叶级数其中aoaibi是傅里叶系数问题一个定义在()上周期为2的函数f(x)如果它在一个周期上可积则一定可以作出f(x)的傅里叶级数然而函数f(x)的傅里叶级数是否一定收敛？如果它收敛它是否一定收敛于函数f(x)?一般来说这两个问题

45、的答案都不是肯定的定理(收敛定理狄利克雷充分条件周期内连续或只有有限个第一类间断点)设f(x)是周期为2的周期函数如果它满足在一个在一个周期内至多只有有限个极值点则f(x)的傅里叶级数收敛并且当x是f(x)的连续点时级数收敛于f(x)当x是f(x)的间断点时级数收敛于2f(x0)f(x0)例1设f(x)是周期为的周期函数它在)上的表达式为1f(x)10将f(x)展开成傅里叶级数解所给函数满足收敛定理的条件它在点xk(k012)处不连续在其它点处连续从而由收敛定理知道f(x)的傅里叶级数收敛并且当xk时收敛于112f(x0)f(x0)；(11)0当xk时级数收敛于f(x)傅里叶系数计算如下1101anf(x)cosnxdx(1)cosnxdx01cosnxdx0(n012)1101bnf(x)sinnxdx(1)sinnxdx01sinnxdx丄誉01罟严。-L1cosncosn12二1(1)nnn01,35,2,4,6,41f(x)sinx£sin3x1右sin(2k1)x例2设f(x)是周期为2的周期函数它在)上的