第五章第3讲等比数列及其前n项和

1、第3讲等比数列及其前n项和J葫回旷菽簸I知识梳理1. 等比数列的有关概念定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an+1=q.an-(2)等比中项:G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中如果a、G、b成等比数列，那么项？a,G,b成等比数列？G2=ab.2. 等比数列的有关公式(1) 通项公式：an=aqn1.nai，q=1,前n项和公式：Sn=a1(1-qn)a1-anq“=,1.1-q1-q3. 等比数列的性质已知数列an是等比数列，Sn是其前n项和.(m,n

2、,p,q,r,kN*)(1)若m+n=p+q=2r，则aman=ap-aq=童；数列am,am+k,am+2k,am+3k,仍是等比数列；(3)数列Sm,S2m-Sm,弘一S2m，仍是等比数列(此时&的公比qM-1).做一做1. (2014高考重庆卷)对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()A.a1,a3,a9成等比数列B.a?,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a?成等比数列解析：选D.设等比数列的公比为q,因为詐豊=，即a6=a3a9,所以a3,a6,a9成等比数列.故选D.2. (2014高考江苏卷)在各项均为正数的等比数列an中，若a2=1,=a6+

3、2a4，则a6的值是.解析：因为a8=a2q6,a6=a2q4,a4=a2q2，所以由a8=a6+2a4得a2q6=a2q4+2a2q2,消去azq?，得到关于q的一元二次方程(q?)?q2=0,解得q=2,a6=a2q4=1x2=4.答案：4|娈点整合1. 辨明三个易误点(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0,因此q也不能为0,但q可为正数，也可为负数.由an+1=qan,q丰0,并不能立即断言a“为等比数列，还要验证玄产0.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与qz1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.2. 等比数列的三种判定方法an+1(1

4、)定义：=q(q是不为零的常数，nN)?an是等比数列.an通项公式：an=cqn-1(c、q均是不为零的常数，nN*)?an是等比数列.2*(3)等比中项法：an+1=an*an+2(an*an+1*an+2工0,nN)?an是等比数列.求解等比数列的基本量常用的思想方法(1) 方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和的公式中联系着五个量：ai,q,n,Sn,已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是ai与q，在解题中根据已知条件建立关于ai与q的方程或者方程组，是解题的关键.(2) 分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当q=1时，Sn=na1；当

5、q丰1时，Sn=;在判断等比数列单调性时，也必须对a1与q分类讨论.1-q做一做3. (2015海淀区第二学期期中练习)在数列an中，an=2an-1,n=考点一等比数歹u的基本运算(咼频考点)等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，属中、低档题.高考对等比数列的基本运算的考查常有以下三个命题角度：求首项ai、公比q或项数n;(2)求通项或特定项；(3)求前n项和.(1)(2015江苏扬州中学期中测试)设等比数列an的各项均为正数，其前n项和为Si，若aE=1,a3=4,Sk=63,则k=.已知等比数列an为递增数列，且a5=ai0,2(a.+an+2

6、)=5an+1,则数列an的通项公式an=.(2014高考重庆卷节选)已知an是首项为1,公差为2的等差数列，S表示an的前n项和.设bn是首项为2的等比数列，公比q满足q2-+1)q+S4=0，求bn的通项公式及其前n项和Tn.,3,解析(1)设等比数列an的公比为q,由已知ai=1,a3=4,得q2=乎=4.又an的各ai，”是an是公比为2的等比数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：选B.当an=0时，也有an=2an-1,n=2,3,4,，但an是等差数列，不是等比数列，因此充分性不成立.当an是公比为2的等比数列时，有=2,n=

7、2,3,4,an-1即an=2an-1,n=2,3,4,，所以必要性成立.故选B.4. 若等比数列an满足a1+a4=10,a?+a5=20，则a*的前n项和S=.解析：由题意a2+a5=q(a1+a4),得20=qx10,故q=2，代入a1+a4=a1+ag=10,10得9a1=10，得a1=e?故Sn=10n(12)10n1).答案：190(2n1)典例剖析考点突破)项均为正数,k1 2q=2.而Sk=63,12k21=63,解得k=6.设数列an的首项为ai，公比为q,2a5=ai0,2(an+an+2)=5an+1,289a1q=a1q,二22 (1+q)=5q,由得a1=q,1由知q

8、=2或q=,又数列an为递增数列，a1=q=2,从而an=2n.答案(1)6(2)2n解：因为an是首项为1，公差为2的等差数列,所以an=a1+(n1)d=2n1,n(a1+an)n(1+2n1)2-n.Sn=1+3+(2n1)=22所以a4=7,S4=16.22因为q(a4+1)q+S4=0，即卩q8q+16=0,2所以(q4)=0,从而q=4.又因为b1=2,bn是公比q=4的等比数列，所以bn=b1qn1=24n1=22n1.b1(1q)2n从而bn的前n项和Tn=；(41).1q3规律方法等比数列运算的通法：从方程的观点看等na1,q=1比数列的通项公式an=a1qn1(a1q0)及

9、前n项和公式Sn=2)，两式相减得:an=2an12(1)(n2),an=2an13(1)一3(1)=2an1+3(1)一3(1)(n2),2n2n1an+3(1)=2an1+3(1)一(n2).2故数列an+3(1)是以a1an+3(1)n=3x2n-1,n12n2_3(-1)=3一213=为首项，公比为2的等比数列.an=Jx2n-13(-忙在本例条件下，若数列bn满足b1=a1,bn=an+an+1.证明:bn是等比数证明：/an=n122-(1)n3 3(),n1nbn=an+an+1=丁3(1)n+233(1)n+1=2n1又bi=ai=1,bn+1bn=2,数列bn是等比数列.规律

10、方法等比数列的判定方法证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.22已知数列an满足：ai=Aan+1=|an+n4，其中入为实数，n为正3整数对任意实数入证明：数列an不是等比数列.证明：假设存在一个实数人使an是等比数列，则有a2=aia3,即|x3=入彳入一4,4242故9入4+9=9入一4人即9=0，矛盾，所以an不是等比数列.考点三等比数列的性质115昆明三中、玉溪一中统考)等比数列an中，a1=1,q=2,则Tn=牯11+丄+的结杲可化为()a2a3anan+12C.3111

11、(2)(2015山西省第三次四校联考)等比数列an满足an0,nN*，且a3则当n1时，log2a1+log2a2+gazn-1=()2A.n(2n1)B.(n+1)22C.nD(n1)2na2n-3=2(n2),(2015山西省第二次四校联考)若等比数列an的前n项和为Sn,n11解析(1)依题意，an=2,anan+1L1-GJ1故选C.且t=5,则S4=111?2n1=2Xqn1，所以4由等比数列的性质，得a3a2n3=a2=22n，从而得an=2n.log2a1+log2a2+log2a2n1=log2(a1a2n1)(a2a2n2)(an1an+1)an=log22n(2n1=n(2

12、n1).S4a3+a422S8设数列an的公比为q,由已知得S=1+=5,1+q=5,所以q=4,S=1S2a1+a2ra5+a6+a7+as4+=1+q=1+16=17.a1+a2+a3+a4答案(1)C(2)A(3)17规律方法(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质若m+n=p+q,则aman=apaq”，可以减少运算量，提高解题速度.(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用.33. (1)在等比数列中，已知aia8ai5=243,则型的值为()aiiA3B9C.27D81(2)(201

13、5长春调研)在正项等比数列an中，已知aia2a3=4,a4a5a6=12,anianan+1=324,则n=()A.11B.12C.14D.16设等比数列an的前n项和为Sn,若S6：S3=1：2,则E：&等于()A.1:2B.2:3C.3:4D.1:3解析：(1)选B.设数列an的公比为q,.a8=3,aia8ai5=243,aiai5=a8,3a9aii33冬=a8=9.a8q选C.设数列an的公比为q,由aia2a3=4=aiq与a4a5a6=12=aiq,933n_3可得q=3,an-ianan+1=aiq=324,3n_6436因此q=81=3=q,所以n=14,故选C.2选C.由

14、等比数列的性质知S3,S6S3,S9-S6仍成等比数列，于是(S6S3)=S3(S9_S6),方法思想一一分类讨论思想在求数列前n项和中的应用(2015江苏常州模拟)如果有穷数列ai,a2,a3,，am(m为正整数)满足条件ai=am,a2=am-1,am=a1,即即ai=am_i+1(i=1,2，,m)，我们称其为对称数列”.例如，数列1,2,3,4,3,2,1与数列a,b,c,c,b,a都是“对称数列”.(1) 设bn是8项的“对称数列”，其中bi,b2,b3,b4是等差数列，且bi=1,b=13.依次写出bn的每一项；设cn是2m+1项的“对称数列”，其中Cm+1,Cm+2，C2m+1是

15、首项为a,公比为q的等比数列，求Cn的各项和Sn.解(1)设数列bn的公差为d,b4=bi+3d=1+3d.又因为b4=b5=13,解得d=4,所以数列bn为1,5,9,13,13,9,5,1.(2) Sn=C1+C2+C2m+1=2(Cm+i+Cm+2+C2m+i)_Cm+1=2a(1+q+q2+qm)m+11-q十a=2aa(qz1).1-q而当q=1时，Sn=(2m+1)a.(2m+1)a(q=1)Sn=1qm+1.2aa(q工1)I1q名师点评(1)本题是新定义型数列问题，在求等比数列cn前n项和时用到了分类讨论思想.(2)分类讨论思想在数列中应用较多，常见的分类讨论有： 已知Sn与a

16、n的关系，要分n=1,n2两种情况； 项数的奇、偶数讨论； 等比数列的单调性的判断注意与a1,q的取值的讨论.(2014高考山东卷)在等差数列an中，已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设bn=an(n+1)，记Tn=b1+b2b3+b4+(，求Tn.2解：(1)由题意知但1+d)2=a1(a1+3d),2即(a1+2)=a1(a1+6)，解得a1=2,所以数列an的通项公式为an=2n.(2)由题意知bn=an(n+1)=n(n+1),2所以Tn=1X2+2X33X4+(1)nn(n+1).因为bn+1bn=2(n+1)，可得当n为偶数时，Tn=

17、(b1+b2)+(b3+b4)+(bn-1+bn)=4+8+12+n2+2n=(4+2n)2n(n+2)22(n1)(n+1)(n+1)当n为奇数时，Tn=Tn1+(bn)=n(n+1)=所以Tn=(n+1)2n(n+2)2n为偶数.：知能训练*轻松闯关i垄础达标1.已知等比数列an的前三项依次为a1,a+1,a+4，则an=()A.4XC.4X3-23-22-32-3XX44BD解析：选C.(a+1)2=(a1)(a+4)?a=5,ai=4,q=3，故an=4X|.2. (2015山东淄博期末)已知等比数列an的公比为正数，且a3a9=2a2，a2=2，贝Vai=()12A.qB2C.2D.

18、2解析：选C.由等比数列的性质得a3a9=a2=2a5,q0.a6=,2a5,q=学=.2,ai=青=2，故选C.3. 已知数列an满足1+log3an=log3an+i(nN)且a2+a4+a6=9,则logi(a5+a?+a?)3的值是（1AiC.5D.5解析：选D.由1+log3an=log3an+i(nN*),得an+1=3an，即数列an是公比为3的等3比数列.设等比数列an的公比为q,又a2+a4+a6=9，则log1(a5+a7+a9)=log1q(a2+a4333+a6)=logi(3x9)=5.34. （2015四川广元质检）等比数列an的公比q0,已知a2=1,a.+2+a

19、.+1=6a.,则a.的前4项和S4=（）B.1520A.20C.15解析：选C.因为an+2+an+1=6an,所以q2+q6=0,1即q=2或q=3(舍去)，所以ai=夕1则S4=24(12)12152.5. 已知数列an，则有()A.若a2=4n,nN*，则an为等比数列B.若anan+2=a+1,nN，则an为等比数列C.若aman=2m+n,m,nN*，则an为等比数列D.若anan+3=an+ian+2,nN,则an为等比数列解析：选C.若ai=2,a2=4,a3=8,满足an=4,nN，但an不是等比数列，故2*A错；若an=0，满足anan+2=an+1,nN，但an不是等比数

20、列，故B错；若an=0,满足anan+3=an+1an+2,nN,但an不是等比数列，故D错；若aman=2+,m,nN,m+n+1aman+1an+12贝U有=m+n=2，贝Uan是等比数歹U.amanan2+6. （2013高考北京卷）若等比数列an满足a2+a4=20,a3+a5=40，则公比q=前n项和Sn=.解析：设等比数列an的首项为ai,公比为q，则:2由a2+a4=20得aiq(1+q)=20.22由a3+a5=40得aiq(1+q)=40.由解得q=2,ai=2.2n+12.”ai(1-qn)故Sn=1qa10an+a9a12=2e5，贝VIna1答案：22n+127. （2

21、014高考广东卷）若等比数列an的各项均为正数，且+Ina2+Ina20=.解析：因为a10an+aga12=2a1a11=2e,所以a10an=e.所以Ina1+Ina2+Ina2=In(a1a2a2o)=In(a1a2o)(82819)(a1a11)=ln(a10an)10=510In(a1oan)=10Ine=50Ine=50.答案：50&已知数列an的前n项和为Sn,满足an+Sn=1(nN),则通项公式an=.解析：/an+Sn=1，1-a1=2,an1+Sn1=1,(n2)一可得anan1+an=0，即得an111二数列an是首项为答案：19.已知等差数列an满足a2=2,a5=8

22、.（1）求an的通项公式；各项均为正数的等比数列bn中，b1=1,b2+b3=a4，求bn的前n项和Tn.解：（1）设等差数列an的公差为d,a1+d=2则由已知得，|a1+4d=8a=0,d=2.-an=a1+(n1)d=2n2.设等比数列bn的公比为q,则由已知得q+q2=a4.a4=6,q=2或q=3.等比数列bn的各项均为正数，q=2.b1(1q)1X(12)nbn的前n项和Tn=2n1.1q1210.(2015陕西宝鸡质检)已知数列an满足a1=5,a?=5,a*+1=a*+6a*1(n2).(1)求证：an+1+2an是等比数列；求数列an的通项公式.，公比为2的等比数列，1作畀1

23、1则an=2X2=尹解：(1)证明：/an+1=an+6an-i(n2),an+1+2an=3an+6ani=3(an+2ani)(n2).又ai=5,a2=5,.a2+2ai=15,3n+2an-10(n2),an+1+2an=3(n2),an+2an-i数列an+1+2an是以15为首项，3为公比的等比数列.由(1)得an+1+2an=15X3“-1=5X3,则an+1=2an+5X3,3n+i3+=2(an3).又*ai3=2,an3工0,an3n是以2为首项，一2为公比的等比数列.nn1an3=2X(2)即an=2X(2)n1+3n(nN*).能力提升bn+1*1. (2015山东莱芜模拟)已知数列an,bn满足ai=bi=3,an+1an=3,nN,bn若数列Cn满足Cn=ban，则C2015=()20142014A.9B.2720152015