第二十二讲：复数、排列组合(教师)

1、第二十二讲：复数、排列组合【知识网络】【典型例题】【方法总结】（1）由实数集拓展到复数集后，要关注实数中的规律那些可以推广到复数集，那些规律仅限于实数集却无法推广到复数集。（2）在因为任意两个复数无法比大小，所以已知条件中给出的一般都是两复数相等或者给出复数的模（实数），从而复数的题目的通法就是把每一个复数写成实部加虚部乘以i的代数形式，再利用两复数相等的充要条件一一实部和虚部分别相等，转化为含有两个的实数方程的方程组；就是因为复数中有两个实数量（实部和虚部），所以复数很容易与有序实数对（x,y）联系起来，很自然地与平面直角坐标系中点的坐标、以及平面直角坐标系中的向量及向量的坐标联系起来；如果

2、该复数的实部与虚部两个变量之间有等式关系，当然也可以与平面解析几何中的曲线方程联系起来。（3）复数内解方程都可以利用通法解决，但实系数一元二次方程利用求根公式最简便。（1）对任意两个复数x、y，若x2y2=0，贝Vx=y=0；（2）对任意两个复数x、y，若x+y=0,贝Ux=y=O；（3）对任意复数x，若x=1，则x=1或x=-1；（4）对任意两个复数x,y，都与xy=|x|y；（5）对任意两个复数x,y，都满足x-yEx+yx+|y。上述命题中是真命题的序号是（2）（4）（5）。例、复数z=m2i(mR)在复平面上对应的点不可能位于第1象限。1+2i一例、已知乙=13i,|Z2=2,z,z2

3、为纯虚数，求复数z2。1+2i解：设Z2=(a+bi)(a、bR),则Z1Z2=(1+3i)(a+bi)=(a-3b)+(b+3a)i./z1z2为纯虚数，a-3b=0;且b+3a0，由上J二旋，得乞也=：运.即、a2b2込、W。12i12ia=3a=-3a2+b2=10.由、解得丿或丿oZ2=±(3+i)。b=1b=1J点拨利用复数的模等于模的复数，可简化运算。例、已知关于x方程(43i)x2ax，4-3i=0无实数解，则实数a的取值范围是解：先求方程有实数根X的充要条件二4x2ax0,解得a=_8._8,aR。I3x2_3=0,例、关于z的方程z2+3z+1+2i=0有实根，求3

4、的最小值。点拨求复数模的最值，可利用几何意义，也可利用基本不等式。解：设方程实根为X，则有x?+3x+1+2i=0.T曰于是I.-,'二X212iX212=i.X21)2X(-2)2Xx42x21'min2G51)。例、已知复平面内点A、B对应的复数分别是乙=sin2v，i,z2二-cos2icos2，其中v(0,2二),T设AB对应的复数为z。1(1)求复数z;(2)若复数z对应的点P在直线yX上，求V的值。2(1) z=z2-乙=(-cos2J-sin2巧i(cos2)-1)-1-2isin2二11(2) 点P的坐标是(-1,-2sin2",P在y=?x上，-2s

5、in2二.a1an5兀7兀11兀=sin,，一26666例、已知复数z=x+yi(x、yR)满足z=|z22i,则3X+3y的最小值为(b)。(A)18(B)6(C)23(D)2.33的最值。例、若z十1i=1,求z3+4i分析本例宜数形结合去解。解：由|z+1-i|=1，即|z-(-1+i)|=1。它表示复数z所对应的点在以A(-1,1)为圆心，1为半径的圆上，而|z-3+4i|=|z-(3-4i)|，它表示复数z所对应的和点B(3,-4)之间的距离。圉20-1画出图形(见图20-1)，由点(-1，1)为A，(3，-4)为B。连结AB，则|AB|=.3匚口)L(=1)24。Iz-3如Imax

6、=411，Iz-34iImin=41-1。点拨利用复数的几何意义结合图形解决问题，直观而清楚。例、方程x2x0的解为x2x2在复数集内可分解为(x(2)方程3x2-6(m-1)xm20的两个根都是虚数，且两根的模之和为2,则实数m的值为(B)(A)2(B).2(C)-'、2(D),2例、mR，关于x的方程x2-(m-4)xm=0的两根为、一：，且|一：|=、7,2m=。1解：a、BR,：二m4,m.由2：22|=7,2(鳥心)2-2如，2|：上|=7.m2-8m16-m|m|=7.m0时,m2-8m9二0=m=4十：7.检验，舍去m=4、7,得m=4-.7.m：0时,m210m9=0=

7、m=1或9,都舍去.设：=abi,：=a-bi,2、a2b2=、7.：=m=a2b2=Z.m=-，检验：0。242综合，得m=4-'、7或m二7。2排列、组合【知识结构】1、乘法原理：分步的理解2、加法原理：分类的理解解题原则：首先，明确这个问题的任务是什么？然后，是根据乘法原理的分步还是根据加法原理的分类(当然有时要先分类再分步、或先分步再分类)。3、排列、组合只是根据乘法原理推导出的两个常见模型，下面来了解两个模型的使用条件和推导步骤：(1)从n个不同元素中取出m(0一m_n)排成一排，叫做从n个元素中取出m个的一个排列，有多少个这样不同的排列呢？这个数就叫做从n个元素中取出m个的

8、排列数，记作Pnm?Pnm等于什么?（2）从n个不同元素中取出m（0乞m<n）放在一起，叫做从n个元素中取出m个的一个组合，有多少个这样不同的组合呢？这个数就叫做从n个元素中取出m个的组合数，记作cn？cn等于什么？注意：排列与组合的区别；都是从n个不同元素取m个，当然m个也都互不相同。【典型例题】例、2400有个正约数，有个正偶数的约数。5122400=235;第一步,2的选择有20,21,.,25中选，有6种选法；第二步,3的选择有30,31,中选，有2种选法；第三步,5的选择有50,51,52中选，有3种选法；.623=36;21,.,25中选择，有5中选法；523=30个.注意:

9、任务明确后，要运用分步或分类把任务创造性地转化分解的。例、（1）3份不同的信件投入到5个邮箱，有多少不同的投法？答案：53=125（2）用1，2，3，4，5可以得到不同的3位数？答案：5125（3）3份不同的信件投入到5个邮箱，每封信投入到不同的信箱，有多少不同的投法？答案：P53=60（4）用1，2，3，4，5可以得到无重复数字的3位数？答案：P/=60【思考】自己出题目答案是P3。如从5个人中选3人排成一排，有多少不同的排法？从5个人中选3人分别参加三个不同的会议，有多少不同选法？从5个人中选3人分别担任班长、学习委员、卫生委员，有多少不同的安排方法？3个人座5个位子，有多少不同的座法？5块地选3块种植三个品种的小麦作对比试验，有多少不同的安排方法？例、5个人中选3个人参加一个会议，有多少不同的选法？答案：Cf-10【思考】自己出题目，答案是C；。如六张连在一起的票，分给4个人，且每人都有，有