定积分优秀课件

1、1（习题课）（习题课）定积分 第五章第五章 2 badxxf)(一、定积分的概念一、定积分的概念iniixf )(lim10 1. .定义定义3. .几何意义几何意义2. .可积的条件可积的条件可积的前提下：可积的前提下： badxxf)(1lim()ninibafn ix n 等份等份( (必要条件、充分条件）必要条件、充分条件）( )baAf x dx ( )TTsv t dt 物理意义物理意义（）( )0f x 曲边梯形的面积曲边梯形的面积变速直线运动的路程变速直线运动的路程3二、定积分的性质二、定积分的性质 badxxf)( badttf)( baduuf)(（1）（4）性质性质 （1

2、） （6）三、基本公式三、基本公式(2)( )0aaf x dx (3)( )( )baabf x dxf x dx ( )( )xaxf t dt ( )( )xf x 1.4( )( )xadf t dtf xdx ，( )( )xadf x dxf xdx ( )(1) ( )xadf t dtdx ( )(2) ( ) ( )( )bxdf t dtfxxdx 21( )2211( )(3) ( )( )( )( )( )xxdf t dtfxxfxxdx ( )( )fxx 推广式推广式2.(NL公式公式)( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a 微积分基本公

3、式微积分基本公式其其中中( )( )Fxf x 5四、定积分的计算四、定积分的计算1. 直接使用直接使用 N-L 公式公式2. 换元积分法换元积分法3. 分部积分法分部积分法dtttfdxxfba )()()(（换元必换限）（换元必换限）（凑元不换限）（凑元不换限）602( ), ( )( )0 ( ) aaaf x dxf xf x dxf x 为为偶偶函函数数则则，为为奇奇函函数数1 1. .若若在在上上连连续续，( )- , f xa a0( ) ()( )aaaf x dxfxf x dx 244sin 1xxdxe 计计算算常用的结论：常用的结论：( )f xT2 2. .设设是是周

4、周期期为为 的的连连续续函函数数，0 ( )( )a TTaf x dxf x dx 则则240 sin xdx 401(12 )2 cos x dx184 73.3. 2200cossin xdxxdxInnn133 1 24 2 2134 21 25 3nnnnnnnnnn ，为为偶偶数数，为为奇奇数数nN （）五、反常积分五、反常积分无穷限的反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分无界函数的反常积分各类反常积分的定义，用定义判断其敛散性各类反常积分的定义，用定义判断其敛散性.8两个重要的反常积分两个重要的反常积分padxx ()bqadxxa 1p 1p (0)a ()bqadxbx

5、1q 1(),1qbaq 1q , , 11,(1)ppa 两类积分还可互相转化两类积分还可互相转化（收敛）（收敛）（发散）（发散）（收敛）（收敛）（发散）（发散）9 2201sin3.1.yxttdye dtdttdx求求由由所所确确定定的的隐隐函函数数对对的的导导数数P243P243 5-2 5-2 01.sin,04xytdtx 求求函函数数当当及及x x= =时时的的导导数数。 002.sincosttxuduyudu 求求由由参参数数表表达达式式，所所确确定定的的.dyxdx函函数数对对 的的导导数数 204.( ).xtxI xtedt 当当 为为何何值值时时，有有极极值值P234

6、P234 5-15-1 2. (1) 3.(1) 4.(4) 10.(4) 13. 3). 5)101. 求极限求极限11lim1nniinn 解解原式原式101x dx 312021|3x （）22 213 （）i ix badxxf)(1lim()ninibafn iniixf )(lim10 ix 原式原式i 21x dx 22 213 （）n等份等份另解另解P269. 3.112. 求极限求极限22222lim(). 12nnnnnnnn 解解原式原式1lim nn 211 1( )niin 12011dxx 4 3. 112limppppnnn P269. 3.解解原式原式1lim

7、nn 1( )npiin 10px dx 11011pxp 11p i i 1222212limln (1) (1)(1)() (2004)nnnnnn 等等于于(A) (B) (D) (C) 212ln xdx解解 B 21ln2xdx 21)1ln(2dxx 212)1(lndxxnnnnnn2)1()21)(11ln(lim 原原式式)1ln()21ln()11ln(2limnnnnnn ninnin1)1ln(2lim ninnni11)1ln(lim2 10)1ln(2dxx 21ln2tdtxt 1 21ln2xdxi ix 3.13求求lim( ), ( )xaxaxf t dt

8、f xxa 其其中中连连续续解解( )( )lim1xaxaf t dtxf x 型型”“004.P269. 4.( )lim( )limxxaaxaxaxf t dtxf t dtxaxa ( )af a 解解2( )()limxaxfxaxa 原原式式由积分中值定理由积分中值定理( )( )xaf t dtfxaax （），（ ，lim( )xaxf lim( )xaaf lim( )aaf ( )af a ( )F xF aFxf x （ ）- - （ ）， （ ）= =14求求解解 “” 型型5.202(arctan ) lim1xxtdtx P269. 4.22022(arctan

9、)(arctan ) limlim11xxxtdtxxxx 2 ()2 2 4 1010,111pppdxpx 设设证证明明：7.P270. 7.分析分析1111ppp 101px dx 101pxdx （）1111ppxx 下下证证：（）证明：证明：1111ppxx （）1111ppxdxdxdxx 1 11 11 10 00 00 0 （）101 111ppdxpx 即即1501sin0()()( )200 xxxfxxf t dtxx ，设设，求求，或或解解0 x 当当时时，-. 在在（，） 内内的的表表达达式式01sin2xtdt 0 x 当当时时，0( )( )xxf t dt 0(

10、 )( )xf t dtf t dt 1 (52. 244.11.)exP xx6. 0 x0( )( )xxf t dt ( )0 x1(1cos )2x x 当当时时，01sin2tdt ( )F x 00 x ，1(1cos)02xx ，1, x 16( ) , ,( )0f xa ba bfx 设设在在上上连连续续，在在（）内内可可导导，且且，( , )( )0a bFx 证证明明： 在在内内有有证证21 ( ) ( )( ) )xaFxf xxaf t dtxa （( )0fx 又又，( ) , f xa b在在上上单单调调减减少少，1( )( ), xaF xf t dtxa 7.

11、 （由积分中值定理）（由积分中值定理）P244 . 12.21 ( )( )f xfxaxa （ , a x 其其中中，（）( )( )f xf ( , )( )0a bFx 故故在在内内有有思考：思考：( )( )F xf 得得( )( )Fxf 由积分中值定理由积分中值定理0 17( )0,lim( )1,xf xf x 设设在在 ） 上上连连续续，且且( ),lim( )xdyyf xy xdx 满满足足在在并并求求证证0( ), xxtyee f t dt 证证明明：8. P244 . 14.0( )( ) xxtxxyee f t dtee f x 0( )( ) xxtee f t

12、 dtf x ( )dyyf xdx0lim( )lim( ) xxtxxy xee f t dt 0( ) limxtxxe f t dte 0 型型( )limxxxe f xe lim( )1xf x18( ) , f xa b设设在在上上连连续续， ( )().bbaaf x dxf abx dx证证明明：证证( )abf u du ()baf abx dx u a b x 令令( )baf u du ( )baf x dx ( )().bbaaf x dxf abx dx故故P255. 2.9. 1100 (1)(1).mnnmxxdxxxdx证证明明：P255. 2.提示：提示：1

13、tx 令令 另证另证( )( )Fxf x 设设19( )f t若若是是连连续续的的奇奇函函数数， 证证明明0 ( )xf t dt 是是偶偶函函数数，证证ut 令令P255. 6.10. ( )f t若若是是连连续续的的偶偶函函数数， 证证明明0 ( )xf t dt 是是奇奇函函数数，0 )( )xF xf t dt 记记 （0 )( )xFxf t dt （- -0 ()xfu du 0 ()xft dt 0 ) ( )()xFxF xf tft dt （- -（= =( )f t若若是是奇奇函函数数， )( )xFxF xf t dtF x 0 0则则 （- -（= =2 22 2 （

14、 )FxF x 即即 （- -（0 ( )xf t dt 即即是是偶偶函函数数( )f t若若是是偶偶函函数数， ) 0FxF x 则则 （- -（= =0 ( )xf t dt 即即是是奇奇函函数数另证另证 ) 0 FxF x证证 （- -（= = )+) 0FxF x或或 （- -（= =20上连续，证明：上连续，证明：在在设设,)(baxfdtduufdttbtfbabata )()(证证 batdtbtf)(11.( )( )taF tf u du 记记 batadtduuf)() baF t d t （uvP270 11.|) bbaatF ttf t d t （）（-) babF

15、baF atf t d t （ ） （ ）（) ) bbaabf t d ttf t d t （ ( )()( )bbtaaaf t bt dtf u du dt 即即21证证，1)(2)(0 dttfxxFx，又又0)(2)( xfxF，1)( xf，又又01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1 dttf，0 令令12. 22，上连续，且上连续，且在在设设0)(,)( xfbaxf内有且仅有一根内有且仅有一根在在方程方程；),(0)()2(2)()1(baxFxF 证证1(1) ( )( )( )Fxf xf x 2 上上连连续续，在在,)()2(baxFtdtfaFab )(

16、1)(又又，0 ，0)()( tdtfbFba( )0( , )F xa b 方方程程在在内内至至少少有有一一根根，又又0)( xF上上单单调调增增加加，在在,)(baxF内有且仅有一根内有且仅有一根在在故方程故方程),(0)(baxF ，证证明明： xaxbtfdtdttfxF)()()(由零点存在定理由零点存在定理P270 12.思考题思考题23( )0,1f x设设在在上上连连续续且且单单调调减减少少，.)()()1 , 0(010 adxxfadxxfa均有均有，则对任一则对任一证证 adxxf0)(xat 10)(dttafa0101ax，01axx ，单调减少，单调减少，又又)(x

17、f()( )f axf x ，100( )()af x dxaf ax dx 从从而而 10)(dxxfa10()af ax dx 13. 24证法二证法二(用积分中值定理用积分中值定理)0( )af x dx 10( )af x dx 0(1)( )aaf x dx 1( )aaf x dx 10, a （）01a当当时时,0 故所给不等式成立故所给不等式成立 .( )0,1f x设设在在上上连连续续且且单单调调减减少少，.)()()1 , 0(010 adxxfadxxfa均有均有，则对任一则对任一13. 12(1)()(1) ()a afaa f 2,1a （）12(1) ()()a a

18、 ff 25( )0,1f x设设在在上上连连续续且且单单调调减减少少，.)()()1 , 0(010 adxxfadxxfa均有均有，则对任一则对任一证法三证法三100( )( )aF af x dxaf x dx 记记 （ ），010FF （ ）= = （ ）10( )( )Faf af x dx （ ）0( )()f af x（积积分分中中值值定定理理）01x （0 0， ）00Faax 令令 （ ）得得000; 0,axFaaxFa 当当时时， （ ）当当时时， （ ）001F xFF（ ）为为最最大大值值， （ ）= = （ ）为为最最小小值值，(0,1)0aF a故故当当时时， （

19、 ）即即原原命命题题成成立立. .0 x0113. 0( )( ) af x dxg aa证法四证法四26( ) , f xa b如如果果函函数数在在闭闭区区间间上上连连续续，14., a b 至至少少有有一一点点 内内，使使得得( ) ( )( )( )bbaaf x g x dxfg x dx 证证( )0,g x 不不妨妨设设且且不不恒恒为为零零，, a b 故故 ，使使得得（积分第一中值定理）（积分第一中值定理）P270 14.( ) , g xa b函函数数在在上上连连续续且且不不变变号号，证证明明：上连续，上连续，在在,)(baxf，与与最最小小值值上上必必有有最最大大值值在在mM

20、baxf,)( ( )mf xM即即， ( )( ) ( )( )mg xf x g xMg x 故故， ( )( ) ( )( )bbbaaamg x dxg x g x dxMg x dx 故故( ) ( ) ( )babag x g x dxmMg x dx 故故( ) ( )( )( )babag x g x dxfg x dx 由介值定理由介值定理2715. .求求 .,max222 dxxx解解,max)(2xxxf 21210022dxxxdxdxx原式原式112 220 12xxx ，yxo2xy xy 122 01xx，31 = 3x21 +2x31 3x 817 = 323

21、02 2110201sin2Ix dx 20sincosxx dx 思考思考2( 21) 28120ln(1).(2)xdxx 解解 1021)1ln(xdx原原式式102)1ln(xx dxxx 10)1)(2(1)1121(31xx 1021ln312lnxx .2ln31 21ln2ln312ln 计算计算思考思考2920( )sin(),( ).xF xxtdtFx 设设求求16.16.220()()().xdf xt f xtdtdx 设设连连续续，则则解解uxt令令，. )(2xxf )()(2122022txdtxfdxdx duufdxdx 02)(21duufdxdx 20)

22、(2102( )sinxF xu du 20sinxu du 2 ( )sinFxx 故故22()uxt 练习练习1.30则则 2222)2()(limxdtduufxtx( )(2)3f xf 已已知知连连续续，且且，)2(2)(lim22 xduufxx原原式式2)(lim2xfx 23 ( )( )( )baf xdxsf xg x 若若，则则 dxxgxfxgba)()()(sab 解解解解 dxxgxfxgba)()()(dxxgxfxfxgxfba )()()()()(dxxgxfxfabba )()()(2.3.31sin2sincos0 xxxedxee 20cossincos

23、 dxeeexxx4 解解dxeeexxx 20cossinsin tx 2 dxeeexxx 20cossinsin 故故dxeeeexxxx 20cossincossin21 4.3222110( )( )xtf xedtx f x dx 设设，则则21010)(21)(dxxfdxxxf dxxfxxfx 102102)(21)(21dxexx 1034)(414104xdex 10441xe )1(411 e解解42)(xxexf 5.3300sin( )( )xtf xdtf x dxt 设设，计计算算解解 00)()(dxxfxxfx原原式式 0sindttt 0sindxxxx 0sin)(dxxxx 0sin xdx2 6.00sinsinxxxdxdxxx 3417. 设设( )( ) , ,f xg xC a b ，证明：证明：试证试证 : 222( ) ( )( )( )bbbaaaf x g x dxfx