导数(讲课)1deng优秀课件

1、1导数概念一、导数概念的提出和定义 二、根据导数的定义求某些基本初等函数 三、导数运算的基本法则 四、求解导数举例 五、导数的几何意义 2 在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。导数。 本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中两个最重要的基本概念两个最重要的基

2、本概念导数与微分，然后再导数与微分，然后再建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决有关变化率的计算问题。有关变化率的计算问题。3一、问题的提出一、问题的提出1.自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题如图如图,0时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度求求t0t,0tt 的的时时刻刻取取一一邻邻近近于于t, t 运动时间运动时间t tsv 平均速度平均速度00ttss ).(20ttg ,0时时当当tt 取极限得取极限得2t)(tlimv00 gtt瞬瞬时时速速度度.0gt 42.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置5Toxy

3、)(xfy CNM 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线. 极限位置即极限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设0 xx的的斜斜率率为为割割线线MN如图如图,00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿沿曲曲线线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 6二、导数的定义二、导数的定义定义定义,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 记为记为

4、处的导数处的导数在点在点数数并称这个极限为函并称这个极限为函处可导处可导在点在点则称函数则称函数时的极限存在时的极限存在之比当之比当与与如果如果得增量得增量取取相应地函数相应地函数时时仍在该邻域内仍在该邻域内点点处取得增量处取得增量在在当自变量当自变量有定义有定义的某个邻域内的某个邻域内在点在点设函数设函数7三、由定义求导数（三步法）三、由定义求导数（三步法）步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求极极限限8xxxxx202limddxxxxx220limxxxxx202limx21ddnnnxxx9)(

5、 x12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 例例 例 2 求xxf1)(的导数 020111d ()limd1limxxxxxxxxxxxxxx 10 xxxxxxxcoscoslimdcos d0 xxxxx 2sin2sin2lim022sin2sinlim0 xxxxx For triangle functionxsin11cos1sincos1sincos1sinSosintanBy inspectionsincos12tan12112sincos212cossinsincosi.e.(areas)Alternatively 13例例.)1, 0(log的导数的导数求

6、函数求函数 aaxya解解0log ()loglimaaxxxxyx 0log (1)1limaxxxxxx 01lim log (1)xxaxxxx .log1exa 特别地特别地.1)(lnxx 14fg1For function y = f(x), orxyyxdd1ddWe may derive211darcsindxxx there may exist an inverse function x = g(y),三三.导数运算的基本法则导数运算的基本法则15例例1)x1(arcsinxyy求求解：解：arcsinxy sinyx cosy1)(siny1dydx1dxdy22x-11y

7、sin-1116 xuuyxxuyddddddChain ruleFor examplexxxxxxdddsinddsind22222cos2xx17xvxuvuxddddddsum18 xxvxuxxvxxuxuvxuvxx00limlimdd xxuvvxxuxuvx0limd)(d xxvxxuvxuxvudddd xvxxuxvxxuproduct xvxu19例例6sinlnxxyy求求)6(sin)lnxx(y解：解：0)(lnxxlnx)x(x1lnxx2120quotientxvuvxuxvud1d1ddddxvvuvxudd11dd22ddvvuuv21cosxsinxy解：解：xcos)sinx(cosxcosx)(sinx2例例tanx,y y求求已知已知xcosxsinxcos222xs