中考数学压轴题精选含详细答案

1、1.6因动点产生的面积问题例1 2012年荷泽市中考第21题例2 2012年河南省中考第23题例3 2011年南通市中考第28题例4 2011年上海市松江区中考模拟第24题例5 2010年广州市中考第25题例6 2010年扬州市中考第28题例7 2009年兰州市中考第29题1.6因动点产生的面积问题例12012年荷泽市中考第21题如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为4(0,1)、B(2, 0)、0(0, 0)， 将此三角板绕原点0逆时针旋转90°，得到三角形A，B,0.(1) 一抛物线经过点A，、B二B，求该抛物线的解析式；(2)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，

2、是否存在点P，使四边形PB'A'B的面 积是 A，B'0面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下，试指出四边形PB'A'B是哪种形状的四边形？并写出它的两条 性质.图1动感体验请打开几何画板文件名“12菏泽21”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以 体验到，当四边形PB'A'B是等腰梯形时，四边形PB'A'B的面积是4A，B'O面积的4倍.请打开超级画板文件名“12菏泽21”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以 体验到，当四边形PB'A'B是等腰

3、梯形时，四边形PB'A'B的面积是4A，B'O面积的4倍.思路点拨1 .四边形PB'A'B的面积是"'B'O面积的4倍，可以转化为四边形PB'OB的面积是 A，B'O面积的3倍.2 .联结PO,四边形PB'OB可以分割为两个三角形.3 .过点向轴作垂线，四边形PB,OB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形.满分解答(1) AOB绕着原点O逆时针旋转90°,点A'、B的坐标分别为(一1, 0)、(0, 2).因为抛物线与l轴交于A'( 1, 0)、B(2, 0),设解析式为y=

4、a(x +1)(x一2), 代入 B<0, 2),得 a =1.所以该抛物线的解析式为y =-(x +1)(x -2) =- x 2+x+2. S A1B,O=L如果 S 四边形 PB1A1B = 4 S A1B'o = 4，那么 S 四边形 PB1 OB = 3 S A，B'O = 3 .如图2,作PD±OB，垂足为D.设点P的坐标为(x, x2+x+2).S =1 DO(B' O + PD) =1 x(2 - x2 + x + 2) = -1 x3 +1 x2 + 2x .梯形 pb od 2222c 11-、，-13cS = DB x PD = (

5、2 x)(-x2 + x + 2) = x3 x2 + 2 .apdb 2222所以 S四边形PB,AD = S梯形PBOD + SAPDBx" + x+2 .解方程一x 2+2x+2 = 3,得 x 1= x 2= 1.所以点P的坐标为(1, 2).图2图3图4(3)如图3,四边形PB'A'B是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰 梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线. 考点伸展第(2)题求四边形PB'OB的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单.=B' O - x = x 2 x =

6、x -2 尸 2SNPBO=-BO , y = - x 2(x2 + x + 2) = x2 + x + 2 2 p 2所以 S 四边形 PB"。= S APB,O + S *O=f2 + 2 x+2 .甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P ：作A，OB关于抛物线的对称轴对称的 BOE，那么点E的坐标为(1, 2).而矩形EB OD与 A，OB '.BOP是等底等高的，所以四边形EB'A 'B的面积是4 A，B ' O 面积的4倍.因此点E就是要探求的点P.例22012年河南省中考第23题如图1,在平面直角坐标系中，直线y = 2x +1

7、与抛物线y=ax2+ bx3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上的一动点(不与点A、 B重合)，过点P作x轴的垂线交直线AB于点。，作PD±AB于点D.(1)求 a、b 及 sinZACP 的值；(2)设点P的横坐标为m.用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；连结PB，线段PC把PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三 角形的面积比为9 ： 10?若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由.图1动感体验请打开几何画板文件名“12河南23”，拖动点P在直线AB下方的抛物线上运动，可以 体验到，PD随点P运动的图

8、象是开口向下的抛物线的一部分，当C是AB的中点时，PD 达到最大值.观察面积比的度量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是9 ： 10， 也可以是10 ： 9.思路点拨1 .第(1)题由于CPy轴，把ZACP转化为它的同位角.2 .第(2)题中，PD=PCsinZACP，第(1)题已经做好了铺垫.3 .APCD与PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比.4 .两个三角形的面积比为9 ： 10，要分两种情况讨论.满分解答(1)设直线 y = 1 x +1 与 y 轴交于点 E，那么 A(2,0)，B(4,3)，E(0,1). 2在中，OA=2, OE=1,所以 A石二

9、。5.所以 sin/A石O 二255因为 PQ/EO,所以NACQ=NA£O.因此sin/AC。=壬 5将A(2,0)、5(4,3)分别代入丫=。%2+%3,得4 2b 3 = 0, 16a + 4b-3 = 3.解得a = -， b = - 2211 1(2)由夕(加，一加2m-3)， C(m, m + 1)，222/I 111得尸C = (m + l)-(/n-3)=m2+m + 4 -222所以 PD - PC sin ZACP =PC ( m2 +m + 4)=-(m 1)2.55255所以p。的最大值为后.5当 S#o：S“cb=9：10 时,当q , s口 aPCD &#

10、39; aPCB37=10 ： 9 时，m = 9考点伸展第(3)题的思路是：与。与PC5是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高 ON与5M的比.而 DN = PD cos ZPDN - PD cos ZACP = -x(m2+m + 4)=(m + 2)(m-4) , 5525BM=4m.当 5Ap“： 5ApM=9 ： 10 时，,(m + 2)(m 4) = 2(4 m).解得机=9.pcd apcb5、 八021i n37当 5Ap“： 5A10： 9 时，±0 + 2)(/% 4) =、(4 w).解得机=二pcd apcb5、 八 ,99例32011年南通市中考第28

11、题如图1,直线l经过点A(1,0),且与双曲线y二-(x>0)交于点B(2, 1).过点P(p,p - 1)(p X> 1)作x轴的平行线分别交曲线y二-(x>0)和y=-(x<0)于M、N两点. XX(1)求m的值及直线l的解析式；(2)若点P在直线y=2上，求证： PMBAPNA；(3)是否存在实数p，使得SaAMN=4SaAMP?若存在，请求出所有满足条件的p的值； 若不存在，请说明理由.动感体验请打开几何画板文件名“11南通28”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，当直 线MN经过(0, 2)点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形；AAMN和4AMP是两 个

12、同高的三角形，MN=4MP存在两种情况.思路点拨1 .第(2)题准确画图，点的位置关系尽在图形中.2 .第(3)题把外AMN=4SAMP转化为MN=4MP，按照点M与线段NP的位置关系分 两种情况讨论.满分解答(1)因为点B(2, 1)在双曲线y二m上 x所以m = 2.设直线l的解析式为y=kx + b ,代入点A(1, 0)和点B(2, 1),得<'k + b = 0,2 k + b = 1.解得Jkt.所以直线/的解析式为kx -1 .(2)由点P(p, p - 1)(p>1)的坐标可知点P在直线y二x-1上x轴的上方.如图2,当y=2时，点P的坐标为(3, 2).此

13、时点M的坐标为(1, 2),点N的坐标为(一1, 2). 由P(3, 2)、M(1, 2)、B(2, 1)三点的位置关系，可知 PMB为等腰直角三角形.可知 PNA为等腰直角三角形.由P(3, 2)、N(-1, 2)、A(1, 0)三点的位置关系 所以 PMB s PNA.(3)AMN和AMP是两个同高的三角形 当 S amn =4S amp 时，MN =4MP.底边MN和MP在同一条直线上.如图3,当M在NP上时，xM-xN2、1=4(xp%M).因此 2 - (- 2) = 4 (x -1) - 2 .解得x = 93或x =2如图4 ,1-巨2当M(此时点P在x轴下方，舍去).此时p =

14、 3竺.2在NP的延长线上时，xM - xN = 4(xM -xp).因此=4 -(x-1)解得x =m亘或x =匕巨(此时点P在x轴下方，舍去).此 22考点伸展在本题情景下， AMN能否成为直角三角形？情形一，如图5,ZAMN =90°,此时点M的坐标为（1, 2）,点P的坐标为（3, 2）.情形二，如图6,ZMAN=90°,此时斜边MN上的中线等于斜边的一半.不存在N ANM =90°的情况.图5图6例4 2011年上海市松江区中考模拟第24题如图1,在平面直角坐标系xQy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C 分别在轴、y轴的正半轴上，CBOA

15、, OC=4, BC=3, OA=5,点D在边OC上，CD =3,过点D作DB的垂线DE，交轴于点E.(1)求点E的坐标；(2)二次函数y =-%2+bx+c的图象经过点B和点E.求二次函数的解析式和它的对称轴；如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足SCEM =2晨ABM，求点M的坐标.动感体验请打开几何画板文件名“11松江24”，拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察面积 比的度量值，可以体验到，有两个时刻，面积的比值等于2.思路点拨1.这三道题目步步为赢，错一道题目，就要影响下一道的计算.2点M在抛物线的对称轴上且位于x轴上方，要分两种情况讨论，分别为点M在线 段FB和FB的延长线上.因

16、为用点M的纵坐标表示“BM的底边长，因点M的位置不同 而不同.满分解答(1)因为BC/OA，所以BC±CD.因为CD = CB=3,所以 BCD是等腰直角三角形.因 此NBCD=45°.又因为BC±CD,所以NODE=45° .所以ODE是等腰直角三角形， OE = OD =1.所以点E的坐标是(1, 0).1-9 + 3 b + c = 4,(2)因为抛物线y =- x 2+bx+c经过点(3,4)和点£( 1,0),所以 4 , 八 1-1 + b + c = 0.I b = 6,解得t二-5.所以二次函数的解析式为y=-x 2+6x-5,

17、抛物线的对称轴为直线x=3.如图2,如图3,设抛物线的对称轴与x轴交于点F点M的坐标为(3, %).8 CEMS 梯形 0Fmc ' KMEFO COE=i(4 +1) x 3- -x 2 x t- - x 1x 4 = + 4 . 2222(i)如图2,当点M位于线段BF上时，S= i(4 -1) x 2 = 4 -1 .解方程OABM 2t .、8 8+ 4 = 2(4 -1 ),得t =彳.此时点M的坐标为(3,).(ii)如图3,当点M位于线段FB延长线上时，S= 1(t - 4) x 2 = t - 4 .解方OABM 2程+ 4 = 2( t - 4),得t = 8 .此时

18、点M的坐标为(3, 8).考点伸展对于图2,还有几个典型结论：此时，C、M、A三点在同一条直线上；4CEM的周长最小.4,8可以求得直线AC的解析式为y = -5x+4，当x=3时，y = 5.8因此点M (3, 5 )在直线AC上.因为点A、E关于抛物线的对称轴对称，所以ME+MC=MA+MC.当A、M、C三点共线时，ME+MC最小， CEM的周长最小.例52010年广州市中考第25题如图1,四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3,0）, （0,1）.点D是线段BC上 的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y = -1X + b交折线OAB于点E.（1）记4ODE的面积为S，求S

19、与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形01A1B 1c 试探究四边形01A1B 1cl与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠 部分的面积；若改变，请说明理由.动感体验请打开几何画板文件名“10广州25”，拖动点D由C向B运动，观察S随b变化的函 数图象，可以体验到，E在04上时，S随b的增大而增大；E在AB上时，S随b的增大而 减小.双击按钮“第（3）题”，拖动点D由C向B运动，可以观察到，E在0A上时，重 叠部分的形状是菱形，面积不变.双击按钮“第（2）题”可以切换.思路点拨1.数形结合，用b表示线段0E、CD、AE、

20、BE的长.2fA0DE的面积，要分两种情况.当E在0A上时，0E边对应的高等于0C；当E 在AB边上时，要利用割补法求40DE的面积.3 .第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形.4 .图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理.满分解答1如图2,当E在0A上时，由y = -x + b可知，点E的坐标为（2b,0）, 0E=2b.此时 S=S/DE=10E - 0C =1 x 2b x1 = b .1如图3,当E在AB上时，把y =1代入y = -X + b可知，点D的坐标为(2b2,1),1- 3、CD=2b2, BD=52b.把 x=3 代入 y = - x + b 可知，

21、点 E 的坐标为(3,b -) , AE73_57=b , BE= - -b .此时22S=S 矩形 0ABCS 0AE S BDE S 0CD=3 -1 x 3(b - 3) - 1(1 - b )(5 - 2 b) -1 x1x (2 b - 2)222 22=-b 2 + b .2(2)如图4,因为四边形01A1B1C1与矩形0ABC关于直线DE对称，因此DM=DN,那 么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形.作 DH±0A，垂足为 H.由于 CD = 2b2, 0E=2b，所以 EH =2.设菱形DMEN的边长为m.在 母 DEH中，DH =1, NH =2

22、m, DN = m，所以12+55(2m)2=m2.解得m = -.所以重叠部分菱形DMEN的面积为了.44考点伸展把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5）, 那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为3，如图7所示.例62010年扬州市中考第28题如图1,在"5。中，NC=90°, AC=3, BC=4, CD是斜边AB上的高，点E在斜 边AB上，过点E作直线与ABC的直角边相交于点区设AE=x,AAEF的面积为y.（1）求线段AD的长；（2）若EF±AB，当点E在斜边AB上移动时，求y与l的函数关系式（写出自变量的

23、取值范围）；当取何值时，y有最大值？并求出最大值.（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问， 是否存在直线EF将ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF,求出的值；若不存 在直线EF,请说明理由.备用图动感体验请打开几何画板文件名“10扬州28”，拖动点E在AB上运动，从y随变化的图象可 以体验到，当F在AC上时，y随的增大而增大；当F在BC上时，y随变化的图象是 开口向下的抛物线的一部分，y的最大值对应抛物线的顶点.双击按钮“第（3）题”，我们 已经设定好了 EF平分 ABC的周长，拖动点E,观察图象，可以体验到，“面积AEF”的 值可以等于3,也就是说

24、，存在直线EF将ABC的周长和面积同时平分.双击按钮“第（2） 题”可以切换。思路点拨1 .第（1）题求得的AD的长，就是第（2）题分类讨论的临界点.2 .第（2）题要按照点F的位置分两种情况讨论.3 .第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的情况作出判断.满分解答(1)在 Rt ABC 中，一，一 ，八 3AD = AC cos A = 3 x 5,AC = 3 , BC = 4 ,所以 AB = 5 .在 Rt ACD 中9八 9，4(2)如图 2,当 F 在 AC 上时，0 < x < .在 RtAEF 中，EF = AE tan A = 3

25、 x .9 -_ 3 一、如图 3,当 F 在 BC 上时，一Wx < 5 .在 RtBEF 中，EF = BE tan B = -(5 - x).54315X 2 + X .八 9当o < x < 5时，82，54y = x2的最大值为；J315X2 + X =883,57575-&(x -不)2 +不' 的最大值为三. 8232325 因此，当x =-时，（3）ABC的周长等于12,面积等于6.先假设EF平分 ABC的周长，那么AE=x, AF=6 x, x的变化范围为3VxW5.c 1， 1 ”、 42 ,八2 ,，、八此 S = AE AF sin A

26、 = x (6 - x) x =- x (x - 6) .解方程 一一x (x - 6) = 3 ,EF 22555x = 3 + %： 6 . 2因为x = 3 + 1c6在3W x W5范围内（如图4）,因此存在直线EF将 ABC的周长和面 积同时平分.考点伸展如果把第（3）题的条件“点F在直角边AC上”改为“点F在直角边BC上”，那么就 不存在直线EF将ABC的周长和面积同时平分.先假设EF平分 ABC的周长，那么AE=x, BE=5 x, BF=x +1.c1一 . c 1 一 333 ,_、因此S = BE BFsinB = (5一x)(x + 1)x = 一(x2 4x-5).ge

27、f 225103解方程一 10(x2一4x-5)= 3 .整理，得x2-4x + 5 = 0 .此方程无实数根.例72009年兰州市中考第29题如图1,正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为(0, 10), (8, 4),点C在第一象限.动 点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A一B一C一D匀速运动，同时动点Q以相同速 度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为Z秒.(1)当户点在边AB上运动时，点Q的横坐标x (长度单位)关于运动时间t (秒)的 函数图象如图2所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在(1)中当t为何

28、值时，OP。的面积最大，并求此时P点的坐标.(4)如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿A一B一C-D匀速运动时，OP与 PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由.动感体验请打开几何画板文件名“09兰州29”，拖动点Q在x轴上运动，可以体验到，点Q运 动的起点为(1, 0)；当P在AB上时，OPQ的面积随x变化的图象是开口向下的抛物线 的一部分；观察点P与OQ的垂直平分线的位置关系，可以体验到，有两个时刻，PO=PQ.双 击按钮"PO=PQ, P在AB上”和“PO=PQ, P在CD上“，可以准确显示PO=PQ.思路点拨1 .过点B、C、P向轴、y轴作垂线段，就会构造出全等的、相似的直角三角形，出 现相等、成比例的线段，用含有t的式子表示这些线段是解题的基础.2 .求点C的坐标，为求直线BC、CD的解析式作铺垫，进而为附加题用两点间的距离 公式作准