中考数学平行四边形-经典压轴题附答案

1、一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.如图1,正方形ABCD的一边AB在直尺一边所在直线MN上，点O是对角线AC、BD 的交点，过点O作OELMN于点E.（1）如图1,线段AB与OE之间的数量关系为.（请直接填结论）（2）保证点A始终在直线MN上，正方形ABCD绕点A旋转0 （0090）,过点B作 BFMN 于点 F.如图2,当点O、B两点均在直线MN右侧时，试猜想线段AF、BF与OE之间存在怎样 的数量关系？请说明理由.如图3,当点O、B两点分别在直线MN两侧时，此时中结论是否依然成立呢？若成 立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明.当正方形ABCD绕点A旋转到

2、如图4的位置时，线段AF、BF与OE之间的数量关系 为.（请直接填结论）【答案】（1） AB=2OE；（2）AF+BF=2OE,证明见解析;AF-BF=2OE证明见解析;BF -AF=2OE, 【解析】试题分析：（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；（2）过点B作BHOE于H,可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得 EF=BH, BF=HE,根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB, N AOB=90,再根 据同角的余角相等求出N AOE=N OBH,然后利用“角角边证明 AOE和 OBH全等，根据 全等三角形对应边相等可得OH=AE, OE=BH,再根

3、据AF-EF=AE,整理即可得证；过点B作BHOE交OE的延长线于H,可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等 可得EF=BH, BF=HE,根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB, N AOB=90, 再根据同角的余角相等求出N AOE=N OBH,然后利用“角角边证明 AOE和 OBH全等， 根据全等三角形对应边相等可得OH=AE, OE=BH,再根据AF-EF=AE,整理即可得证； 同的方法可证.试题解析：（1） ; AC, BD是正方形的对角线， OA=OC=OB, N BAD=N ABC=90,; OEAB,1一 OE二 AB,2. AB=2OE,(2)AF+BF=2

4、OE证明：如图2,过点B作BHOE于点H3/N图2. N BHE=N BHO=90; OEMN, BFMN. N BFE=N OEF=90 四边形EFBH为矩形. BF=EH, EF=BH丁四边形ABCD为正方形. OA=OB, N AOB=90. N AOE+N HOB=N OBH+N HOB=90. N AOE=N OBH. AEO OHB (AAS). AE=OH, OE=BH. AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE.AF - BF=2OE证明：如图3,延长OE,过点B作BHOE于点HACN图3. N EHB=90. N AEO=N HEF=N BFE=90

5、 四边形HBFE为矩形. BF=HE, EF=BH丁四边形ABCD是正方形. OA=OB, N AOB=90. N AOE+N BOH=N OBH+N BOH. N AOE=N OBH. AOE OBH (AAS). AE=OH, OE=BH,. AF - BF=AE+EF - HE=OH - HE+OE=OE+OE=2OEBF - AF=2OE,如图4,作OGBF于G,则四边形EFGO是矩形，. EF=GO, GF=EO, N GOE=90,. N AOE+N AOG=90.在正方形 ABCD 中，OA=OB, N AOB=90,. N AOG+N BOG=90,. N AOE=N BOG.

6、; OGBF, OEAE,. N AEO=N BGO=90. AOE BOG (AAS),. OE=OG, AE=BG, AE - EF=AF, EF=OG=OE, AE=BG=AF+EF=OE+AF,. BF - AF=BG+GF -(AE - EF) =AE+OE - AE+EF=OE+OE=2OE,. BF - AF=2OE.2.如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点(不与点B、C重合)，连接DE、点C 关于直线DE的对称点为。，连接AC并延长交直线DE于点P, F是A。的中点，连接DF.(1)求N FDP的度数；(2)连接BP,请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系

7、，并证明；(3)连接八C,若正方形的边长为石，请直接写出ACC的面积最大值.【答案】 45； (2) BP+DP=2AP,证明详见解析；(3) JI - 1.【解析】【分析】1(1)证明N CDE=N CDE 和N ADF=N CDF,可得/ FDP=万N ADC=45；(2)作辅助线，构建全等三角形，证明BAP空 DAP CSAS),得BP=DP,从而得小P是等腰直角三角形，可得结论；(3)先作高线CG,确定 AC。的面积中底边AC为定值2,根据高的大小确定面积的大 小，当C,在BD上时，CG最大，其AC。的面积最大，并求此时的面积.【详解】(1)由对称得：CD = CD, Z CDE=Z

8、CDE,在正方形 ABCD 中，AD = CD, AADC=90,.AD = CD,F是八C的中点，DFAC, Z ADF=4 CDF,1Z FDP=Z FDC+N EDC=-ZADC=45；2(2)结论：BP+DP= VIAP,理由是：如图，作AP_L4P交叩 的延长线于P,Z PAP = 90,在正方形八BCD 中，DA = BA, Z BAD = 90, Z DAP = N BAP,由(1)可知：N FDP=45丁 N DFP=90 . N APD = 45,. N P=45,. AP=AP,在 BAP 和 DAP中，BA = DA. /BAP = /DAP , AP = AP p BA

9、P DAP1 (SAS),. BP=DP, DP+BP=PP=五 AP ；1(3)如图，过 C1 作 C1GAC 于 G，则 SAACC = - AC C1G,RtA ABC 中，AB = BC = -2 , 二 AC= v;2)2 + (-)2 = 2，即 AC 为定值，当C1G最大值， ACC的面积最大，连接BD，交AC于。，当C在BD上时，C1G最大，此时G与。重合，1 CD = C D = 72 , OD = ACC =1,乙 二 CG = J- - 1,1 1 S ACC = - AC CG =-义 2a 2 1) = v2 -1.【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角

10、三角形的判定和性质、全等三角形的判 定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.3.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, AO=CO, BO=DO,且N ABC+N ADC=180.(1)求证：四边形ABCD是矩形.(2)若N ADF： N FDC=3： 2, DFAC,求N BDF 的度数./ 7c【答案】（1）见解析；（2） 18.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出N ABC=90,根据矩形 的判定得出即可；（2）求出N FDC的度数，根据三角形内角和定理求出N DCO,根据矩形的性质得出 OD=OC，

11、求出N CDO,即可求出答案.【详解】（1）证明：: AO=CO, BO=DO 四边形ABCD是平行四边形，. N ABC=N ADC, N ABC+N ADC=180,. N ABC=N ADC=90, 四边形ABCD是矩形；（2）解：./ ADC=90, N ADF： N FDC=3： 2,. N FDC=36,; DFAC,. N DCO=90 - 36=54,丁四边形ABCD是矩形，. OC=OD,. N ODC=54. N BDF=N ODC - N FDC=18.【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推 理是解此题的关键，注意：矩形的对

12、角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形.4.在正方形ABCD中，点E, F分别在边BC, CD上，且N EAF=N CEF=45.（1）将4 ADF绕着点A顺时针旋转90,得到 ABG（如图），求证： AEGM AEF；若直线EF与AB, AD的延长线分别交于点M, N（如图），求证：EF2=ME2+NF2；将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图），请你直接写出线段EF, BE, DF之间的数量关系.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） EF2=2BE2+2DF2.【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG, N EAF=N GAE=45,故可证 AE

13、GM AEF； （2）将4 ADF绕着点A顺时针旋转90，得到 ABG，连结GM.由（1）知 AEGM AEF,则EG=EF.再由 BME、 DNF、 CEF均为等腰直角三角形，得出 CE=CF, BE=BM, NF=、, ：DF,然后证明N GME=90, MG=NF,利用勾股定理得出 EG2=ME2+MG2,等量代换即可证明EF2=ME2+NF2;（3）将4 ADF绕着点A顺时针旋转90,得到 ABG,根据旋转的性质可以得到 AD碎 ABG,则U DF=BG,再证明 AEGM AEF,得出 EG=EF,由 EG=BG+BE,等量代换 得到 EF=BE+DF.试题解析：（1） : ADF绕着

14、点A顺时针旋转90,得到 ABG,. AF=AG, N FAG=90, . n EAF=45,. N GAE=45,在 AGE与 AFE中， AG-AFLGAE = FAE = 45、 AE - AE ，(2)设正方形ABCD的边长为a.将 ADF绕着点A顺时针旋转90,得到 ABG,连结GM.则4 AD碎 ABG, DF=BG.由(1)知4 AEGU AEF,. EG=EF. N CEF=45, . BME、 DNF、 CEF均为等腰直角三角形，. CE=CF, BE=BM, NF= JDF,. a - BE=a - DF,. BE=DF,. BE=BM=DF=BG,. N BMG=45,.

15、 N GME=45+45=90, EG2=ME2+MG2,; EG=EF, MG=jBM=DF=NF, EF2=ME2+NF2;(3) EF2=2BE2+2DF2.如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将 ADF绕着点A顺时针旋转90,得到 AGH,连结HM, HE.由(1)知4 AEHM AEF,则由勾股定理有(GH+BE) 2+BG2=EH2,即(GH+BE) 2+ (BM - GM) 2=EH2又，EF=HE, DF=GH=GM, BE=BM,所以有(GH+BE) 2+ (BE - GH) 2=EF2, 即 2 (DF2+BE2) =EF2图考点：四边形综合题5 .（

16、问题情境）在 ABC中，AB = AC,点P为BC所在直线上的任一点，过点P作 PDAB, PE,AC,垂足分别为D、E,过点C作CFLAB,垂足为F.当P在BC边上时（如 图 1）,求证：PD+PE = CF.证明思路是：如图2,连接A，由4 ABP与 ACP面积之和等于 ABC的面积可以证得： PD+PE = CF.（不要证明）（变式探究）（1）当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3）,试探索PD、PE、 CF之间的数量关系并说明理由；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：（结论运用）（2）如图4,将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点 C处，点P为折痕E

17、F上的任一点，过点P作PGBE. PHBC，垂足分别为G、H，若AD = 16, CF = 6,求 PG+PH 的值.（迁移拓展）（3）在直角坐标系中，直线11： y=-4x+8与直线l2： y=-2x+8相交于点A,直线11、12与x轴分别交于点B、点C.点P是直线12上一个动点，若点P到直线11的距离为2.求点P的坐标.【答案】【变式探究】证明见解析【结论运用】8【迁移拓展】（-1, 6）,（1, 10）【解析】【变式探究】连接AP,同理利用 ABP与 ACP面积之差等于 ABC的面积可以证得；【结论运用】过点E作EQLBC,垂足为Q,根据勾股定理和矩形的性质解答即可；【迁移拓展】分两种情

18、况，利用结论，求得点P到x轴的距离，再利用待定系数法可求出P的坐标.【详解】变式探究:连接AP,如图3：; PDAB,PEAC，CAB，且 abc = S. acpS ABP，111 一ABCF= -ACPE- - ABPD. 222; AB = AC,. CF = PD - PE；结论运用:过点E作EQBC,垂足为Q,如图，丁四边形ABCD是长方形，. AD = BC,乙 C = N ADC = 90.; AD = 16, CF = 6,. BF = BC - CF = AD - CF = 5,由折叠可得：DF = BF, N BEF = Z DEF. DF = 5.; N C = 90,二

19、 DC=、D2 CF2 = ；102 62 =8.; EQBC, N C = N ADC = 90,. N EQC = 90 = N C = N ADC.四边形EQCD是长方形.EQ=DC = 4. AD II BC,. N DEF = N EFB.丁 N BEF = N DEF,. N BEF = N EFB. BE = BF,由问题情境中的结论可得：PG+PH = EQ. PG+PH = 8. PG+PH的值为8；迁移拓展:如图，由题意得：A (0, 8), B (6, 0), C (-4, 0) AB= v62 + 82 =10, BC = 10. AB = BC,(1)由结论得：P1D

20、1+P1E1 = OA=8= P1D1=1 = 2,=P1E1 = 6即点P1的纵坐标为6又点P1在直线l2上，. y=2x+8=6,. x=- 1,即点P1的坐标为(-1, 6)；(2)由结论得：P2E2 - P2D2 = OA=8= P2D2 = 2,二p2E2 = 10即点P1的纵坐标为10又点P1在直线12上，. y=2x+8=10,. x=1,即点P1的坐标为(1, 10)【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理等知识点，利用面积 法列出等式是解决问题的关键.6 . AABC 为等边三角形，AF = AB. /BCD =/BDC = ZAEC.(1)求证：

21、四边形ABDF是菱形.若BD是NABC的角平分线，连接AD,找出图中所有的等腰三角形.【答案】(1)证明见解析；图中等腰三角形有 ABC, BDC, ABD, ADF, ADC, ADE.【解析】【分析】(1)先求证BDIIAF,证明四边形ABDF是平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四 边形是菱形即可证明；(2)先利用BD平分N ABC,得到BD垂直平分线段AC,进而证明 DAC是等腰三角形，根据BDAC,AFAC,找到角度之间的关系，证明 DAE是等腰三角 形，进而得到BC = BD = BA= AF = DF,即可解题，见详解.【详解】(1)如图 1 中，: N BCD = N BDC

22、,. BC = BD, ABC是等边三角形，. AB = BC,; AB=AF,. BD=AF,丁 N BDC =N AEC,. BD H AF, 四边形ABDF是平行四边形，; AB=AF, 四边形ABDF是菱形.解：如图2中，: BA = BC, BD平分N ABC, BD垂直平分线段AC,. DA = DC, . DAC是等腰三角形， AF H BD, BD AC. AFAC,. N EAC=90,丁 N DAC=N DCA, N DAC+N DAE=90, N DCA+N AEC=90,. N DAE=N DEA,. DA = DE, . DAE是等腰三角形，, BC = BD = B

23、A = AF = DF,： BCD, ABD, ADF都是等腰三角形，综上所述，图中等腰三角形有 ABC, BDC, ABD, ADF, ADC, ADE.【点睛】本题考查菱形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，属于中考常考题 型，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.7.在平面直角坐标系中，O为原点，点A (-6, 0)、点C (0, 6),若正方形OABC绕 点O顺时针旋转，得正方形OABC,记旋转角为a：(1)如图，当a=45时，求BC与AB的交点D的坐标；(2)如图，当a=60时，求点B的坐标；(3)若P为线段30的中点，求AP长的取值范围(直接写出结果即可).图图【答案

24、】(1) (6 6v2,6) ； (2) (373 3,3 + 3肉；(3) 32 3AP 32 + 3.【解析】【分析】(1)当 a=45时，延长 OA,经过点 B,在 R3 BAD 中，N OBC=45, A/B= 62 6，可 求得BD的长，进而求得CD的长，即可得出点D的坐标；(2)过点U作x轴垂线MN,交x轴于点M,过点B作MN的垂线，垂足为N,证明 OMC CNB,可得C,N = OM= 33 , 8同=0乂 = 3,即可得出点B7的坐标；(3)连接OB, AC相交于点K,则K是OB的中点，因为P为线段30的中点，所以PK=15OC,=3,即点P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，即

25、可得出AP长的取值范围.【详解】解：(1) A (- 6, 0)、C (0, 6), O (0, 0), 四边形OABC是边长为6的正方形，当a=45时，如图，延长OA经过点B,; OB = 6 J2 , OA = OA=6, N OBC = 45, AB= 6；2 - 6 , 二 BD=( 62 -6 ) x*；2 = 12-62 , . cD=6-(12-62 ) = 6V,2 -6 , BC与AB的交点D的坐标为(6- 6姮,6)；图(2)如图，过点C作x轴垂线MN,交x轴于点M,过点B作MN的垂线， N OCB=90,. N OCM = 90 - N BCN = N CBN,丁 OC

26、= BC, N OMC = N CNB = 90,. OMCe CNB (AAS),当a = 60时， N AOC=90, OC=6,. N COM = 30,. CN = OM= 3* , BN = CM = 3垂足为N,点B的坐标为、马-3,3 + 33 .图(3)如图，连接OB, AC相交于点K, 则K是OB的中点，. pK= 1 OC=3,2. P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，; ak=3%：2 , Ap最大值为3V2 + 3, AP的最小值为32 -3 , . AP长的取值范围为3q3cAP w32 + 3.5【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理.（

27、3）问解题的关键是 利用中位线定理得出点P的轨迹.8 .如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，AFAE交CB的延长线于F.求证：AE=AF.【答案】见解析 【解析】【分析】根据同角的余角相等证得N BAF二N DAE,再利用正方形的性质可得AB=AD,N ABF=N ADE=90,根据ASA判定 ABFM ADE,根据全等三角形的性质即可证得AF=AE.【详解】; AFAE,. N BAF+N BAE=90,又 N DAE+N BAE=90,. N BAF=N DAE,丁四边形ABCD是正方形，. AB=AD, N ABF=N ADE=90, 在 ABF和 ADE中，|FZaBF=ZADE

28、所必 ， ,ZBAF=ZDAE. AB碎 ADE (ASA), . AF=AE.【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，证明 ABF ADE是 解决本题的关键.9 .正方形ABCD的边长为1,对角线AC与BD相交于点O,点E是AB边上的一个动点 (点E不与点A、B重合)，CE与BD相交于点F,设线段BE的长度为x.(1)如图1,当AD=2OF时，求出x的值；(2)如图2,把线段CE绕点E顺时针旋转90,使点C落在点P处，连接八，设4 APE 的面积为S,试求S与x的函数关系式并求出S的最大值.【答案】(1)x=-1； 111(2) S=-(x)2+ (0x1),1

29、1当x=:时，S的值最大，最大值为二.【解析】试题分析：(1)过O作OM II AB交CE于点M,如图1,由平行线等分线段定理得到CM=ME,根据三角形的中位线定理得到AE=2OM=2OF,得到OM=OF,于是得到BF=BE=x,171-x 戊 X +=求得OF=OM= 解方程 二 二，即可得到结果；(2)过P作PGAB交AB的延长线于G,如图2,根据已知条件得到N ECB=N PEG,根据1全等三角形的性质得到EB=PG=x，由三角形的面积公式得到S=： (1-x)x,根据二次函数 的性质即可得到结论.试题解析：(1)过O作OM II AB交CE于点M,如图1,; OA=OC,. AE=2OM=2OF,. OM=OF,OM OF ， BF=BE=x,1 - x OF=OM=二，; AB=1,(2)过P作PGAB交AB的延长线于G,如图2,丁 N CEP=N EBC=90, N ECB=N PEG,; PE=EC, N EGP=N CBE=90,