单摆运动的描述

1、单摆运动的描述(1)无阻尼单摆(小角度)2.+-0*sin(u)=0上式中令sln(H)=日602=1得到如下方程:上述方程即为相图的方程,可由此方程画出无阻尼单摆在小角度下的相图:无阻尼小角度单摆运动相图-40角度代码如下：%w0=2%E=2时symsxy;%x表小角度,y表示角速度ezplot('x.A2+4*y.A2-4'),holdon%E=3时symsxy;ezplot(乂人2+4*丫A2-6'),holdon%E=4时symsxy;ezplot(乂人2+4*丫A2-8'),holdon%E=0.5时symsxyezplot(乂人2+4*丫A2-1&#

2、39;),holdonxlabel(ylabel(title(角度)角速度)无阻尼小角度单摆运动相图')上图中不同的同心椭圆表示在不同的能量下单摆的运动相图，在画上图时，令剑=2,改变能量E得到一簇同心椭圆。改变®0会改变椭圆的形状，当m0'时,椭圆变成圆。下面时无阻尼小角度单摆的运动轨迹分析：此时只要求解上述的微分方程，然后改变其中的初始条件(露,。0)即可，其中求%w0=1时%®始角度为pi/4dsolve('D2y+y=0'%®始角度为pi/3时,'y(0)=pi/4,Dy(0)=0'时)%用y表示角度,Dy表

3、示角速度dsolve('D2y1+y1=0'%初始角度为pi/2时dsolve('D2y2+y2=0','y1(0)=pi/3,Dy1(0)=0','y2(0)=pi/2,Dy2(0)=0','t')%t匕时令y1,'t')%t匕时用y3为角度表示角度画图的代码如下:%®始角度为pi/4t=0:pi/50:4*pi;y=(pi*cos(t)/4;plot(t,y),hold%®始角度为pi/3y=(pi*cos(t)/3;on时plot(t,y,'r'),hold

4、%初始角度为pi/2时y=(pi*cos(t)/2;onplot(t,y,xlabel(ylabel(title(legend('g'),hold'时间)角度)on无阻尼小角度单摆在不同初始角度下的运动轨迹'初始角度为pi/4的图，初始角度为pi/3')的图，初始角度为pi/2的图)解微分方程的代码如下:出的图如下:无阻尼小角度单摆在不同初始角度下的运动轨迹时间当初始角度固定不变，改变初始角速度时，也会画出图，此时将初始角度固定为pi/4,画这些图首先需要求解运动方程，求解方法和上述相同，求解微分方程的代码如下：%研究初始角度相同，初始角速度不同的时候单

5、摆的运动轨迹%lt匕时都令初始的角度为pi/4%初始角速度为0时dsolve('D2y+y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=0','t')%用y表示角度，Dy表tk角速度%初始角速度为1时dsolve('D2y+y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=1','t')%用y表示角度，Dy表示角速度%初始角速度为2时dsolve('D2y+y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=2','t')%用y表示角度，Dy表示角速度%初始角速度为3时

6、dsolve('D2y+y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=3','t')%用y表示角度，Dy表示角速度卜面是画图的代码:t=0:pi/50:4*pi;%w0=0y=(pi*cos(t)/4;plot(t,y),holdon%w0=1y=sin(t)+(pi*cos(t)/4;plot(t,y,'r'),holdon%w0=2ony=2*sin(t)+(pi*cos(t)/4;plot(t,y,'g'),hold%w0=3y=3*sin(t)+(pi*cos(t)/4;plot(t,y,'c'

7、;),holdonxlabel('时间')ylabel('角度)title('相同初始角度，不同初始角速度下的运动轨迹')legend('初始角速度为0的图，初始角速度为1的图，初始角速度为2的图，初始角速度为3的图)画出的图如下：时间(2)倒立摆分析倒立摆的方程为0-*二0,和小角度摆相同的是，同样通过求解方程得出运动轨迹,根据上式直接画出相图。画图的代码如下：%倒立摆的运动相图绘制%w0=1symsyx;%E=0时h=ezplot('yA2-xA2'),holdonset(h,'color','c

8、9;)%E=1时ezplot('yA2-xA2-2'),holdon%E=2时h=ezplot('yA2-xA2-4'),holdset(h,'color',"r')%E=3时h=ezplot("yA2-xA2-6"),holdset(h,"color","b")%E=4时h=ezplot("yA2-xA2-8"),holdset(h,"color","k")xlabel("角度")ylab

9、el("角速度")title("倒立摆的相图")legend("E=0的图"，"E=1的图画出的图如下：ononon"E=2的图","E=3的图","E=4的图")倒立摆的相图6420-4-Q-6*4-20246角度其中E=0的图表示渐近线。下面分析倒立摆的运动轨迹：<1>固定初始角速度为0,改变初始角度求解微分方程代码如下：%倒立摆的运动轨迹求解%初始角速度为0,改变初始角度%®始角度为pi/4dsolve("D2y-y=0&quo

10、t;,"y(0)=pi/4,Dy(0)=0","t")%®始角度为pi/3dsolve('D2y-y=0','y(0)=pi/3,Dy(0)=0','t')%®始角度为pi/6dsolve('D2y-y=0','y(0)=pi/6,Dy(0)=0','t')画图的代码如下：%初始角速度为0%®始角度为pi/4t=0:0.01:2;y=(pi*exp(t)/8+(pi*exp(-t)/8;plot(t,y),holdon%®

11、;始角度为pi/3y=(pi*exp(t)/6+(pi*exp(-t)/6;plot(t,y,'r'),holdon%®始角度为pi/6y=(pi*exp(t)/12+(pi*exp(-t)/12;plot(t,y,'g')xlabel('时间')ylabel('角度)title('倒立摆在不同初始角度下的运动轨迹')legend('初始角度为pi/4的图，初始角度为pi/3的图，初始角度为pi/6的图)画出的图如下：倒立摆在不同初始角度下的运动轨迹时间<2>固定初始角度为pi/4,改变初始角

12、速度求解微分方程代码如下：%初始角度为pi/4,改变初始角速度%角速度为1dsolve('D2y-y=0'%角速度为2dsolve('D2y-y=0'%角速度为3dsolve('D2y-y=0'画图的代码如下:%®始角度为pi/4,'y(0)=pi/4,Dy(0)=1','y(0)=pi/4,Dy(0)=2','y(0)=pi/4,Dy(0)=3'改变初始角速度't')'t')'t')%w0=1t=0:0.01:2;y=exp(t)*(pi/

13、8+1/2)+exp(-t)*(pi/8-1/2);plot(t,y),holdon%w0=2y=exp(t)*(pi/8+1)+exp(-t)*(pi/8-1);plot(t,y,'r'),holdon%w0=3y=exp(t)*(pi/8+3/2)+exp(-t)*(pi/8-3/2);plot(t,y,'g')xlabel('时间')ylabel('角度)title('倒立摆在不同初始角速度下的运动轨迹)legend('角速度为1','角速度为2','角速度为3')画出的图如下

14、：创立摆在不同初始角速度下的运动轨迹时间(3)有阻尼单摆有阻尼单摆的运动方程为：”2*一:*口+1=0其中0是阻尼系数。有阻尼单摆分为三种情况，若阻尼，临界阻尼和过阻尼，下面画图来显示这三种情况的轨迹：画运动轨迹就是求解上述微分方程的问题，代码如下：%阻尼单摆的运动轨迹绘制%若阻尼下，阻尼系数为0.1dsolve('D2y+0.2*Dy+y','y(0)=pi/4,Dy(0)=0')t=0:0.01:60;y=(pi*exp(-t/10).*cos(3*11A(1/2)*t)/10)/4+(11A(1/2)*pi*exp(-t/10).*sin(3*11A(1/

15、2)*t)/10)/132plot(t,y),holdon%阻尼系数逐渐增大，到临界阻尼状态，阻尼系数为1dsolve('D2y+2*Dy+y','y(0)=pi/4,Dy(0)=0')y=(pi*exp(-t)/4+(pi*t.*exp(-t)/4;plot(t,y,'r')%阻尼系数逐渐增大，到过阻尼状态，阻尼系数为2dsolve('D2y+4*Dy+y','y(0)=pi/4,Dy(0)=0')y=exp(t*(3A(1/2)-2)*(pi/8+(pi*3A(1/2)/12)+(3A(1/2)*pi*exp(

16、-t*(3A(1/2)+2)*(3(1/2)-2)/24;plot(t,y,'g')xlabel('时间')ylabel('角度)title('有阻尼单摆在不同阻尼系数下的运动轨迹')legend('弱阻尼下的运动轨迹，临界阻尼下的运动轨迹，过阻尼下的运动轨迹')画出的图如下：时间下面是相图绘制，相图就是绘制0的一阶导和0的关系式。以初始角度为pi/4,初始角速度为0的单摆运动为例，求出其运动轨迹后再画出相图，其中画相图的代码如下：symsty1y;y=dsolve('D2y+0.2*Dy+y','y(0)=pi/4,Dy(0)=0')y1=diff(y,t,1);