吉林舒兰第一中学高中数学人教A版必修三23变量间的相关关系导学案

1、第一章2.3变量间的相关关系编号015【学习目标】1 .了解相关关系、线性相关、回归直线、最小二乘法的定义.2 .会作散点图，并能利用散点图和定义判断两个变量之间是否具有相关关系.3 .会求回归直线方程，并能用回归直线方程解决有关问题.【学习重点】变量间的相关性与回归直线方程【基础知识】(1)定义：如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的性，那么这两个变量之间的关系，叫做相关关系.(2)两类特殊的相关关系：如果散点图中点的分布是从角到角的区域，那么这两个变量的相关关系称为正相关，如果散点图中点的分布是从角到角的区域，那么这两个变量的相关关系称为负相关.归纳总结两个变量间的

2、关系分为三类：一类是确定性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关系就是相关关系，例如，某位同学的物理成绩”与“数学成绩”之间的关系，我们称它们为相关关系；再一类是不相关，即两个变量间没有任何关系.【做一做1】下列图形中具有相关关系的两个变量是CD2.线性相关(1)定义：如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致在一条附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做.(2)最小二乘法：求线性回归直线方程y=bx+a时，使得样本数据的点到它的最小的方法叫做最小二乘法，其中a,b的值由以下公式给

3、出:“3(xi-xIyLy)3xyinxyb=nZZ=_nZZ,'31(K-xm1x-nx2a1 a=,其中，b是回归方程的,a是回归方程在y轴上的.,省师点拨,线性回归分析涉及大量的计算，形成操作上的一个难点，可以利用计算机非常方便地作散点图、回归直线，并能求出回归直线方程.因此在学习过程中，要重视信息技术的应用.【做一做2】某单位为了解用电量y(千瓦时)与气温x(C)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温/C1813101用电量/千瓦时24343864由表中数据得线性回归方程y=bx+a中b=2,则a.重难点突破：1.相关关系与函数关系的异同剖析：相同

4、点：两者均是指两个变量的关系.不同点：函数关系是一种确定的关系.如匀速直线运动中时间t与路程s的关系；相关关系是一种非确定的关系.如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系.函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，可能是伴随关系.2 .线性回归直线方程的性质剖析：(1)回归直线过样本数据的中心.所谓样本数据的中心，对于单变量样本数据而言，平均数是样本数据的中心；对于以(Xn,yn)为样本数据而言，(7,7)为样本点的中心，根据最小二乘法原理，回归直线一定过样本点的中心.(2)回归直线的单调性与样本数据的相关性.如果样本数据对应的点具有线性相关关系，从回归直线方程来看，当系数b>0

5、时，直线单调递增，此时这两个变量正相关；当b<0时，直线单调递减，此时这两个变量负相关.【例题讲解】【例题1设对变量x,y有如下观察的数据：x151152153154156157158159160162163164y40414141.54242.5434445454645.5(1)画出散点图.(2)判断变量x,y是否具有相关关系？如果具有相关关系，那么是正相关还是负相关？【例题2】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；AAA(2)请根据上表提供的数据，用最小

6、二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？(参考数值：3X2.5+4X3+5X4+6X4.5=66.5)【例题3】下列变量之间的关系属于相关关系的是（）A.圆的周长和它的半径之间的关系B.价格不变的条件下，商品销售额与销售量之间的关系C.家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势D.正方形面积和它的边长之间的关系【达标检测】1.（2011北京丰台二模，文7）已知x,y的取值如下表：x0134y2.24.34.86.7从散点图可以看出y与x线性相

7、关，且回归方程为y=0.95x+a,则a=（）A.3.25B,2.6C,2.2D,02.某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调查，y与x具有相关关系，回归方程为y=0.66x+1.562.若某城市居民人均工资为9000元，则其居民人均消费水平为千元.3.某商店统计了最近6个月某商品的进价x与售价y（单位：元）的对应数据如下：x3528912y46391214_66贝Ux=,y=,Zx：=,Z为yi=,回归直线方程为i1i14.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如下的统计资料:使用年限x23456维修费用y2.23.85.5

8、6.57.0若由资料知y对x成线性相关关系.试求：(1)线性回归方程y=bx+a的回归系数b与a；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？【问题与收获】基础知识答案：1.(1)随机(2)左下右上左上右下【做一做1】CA项中显然任给一个x都有唯一确定的y和它对应，是一种函数关系；B项也是一种函数关系；C项中从散点图可以看出所有点看上去都在某条直线附近波动，具有相关关系，而且是一种线性相关关系；D项中所有的点在散点图中没有显示任何关系，因此变量间是不相关的.2.(1)直线回归直线(2)距离的平方和7-b7斜率截距,18+13+101C24+34+38+64【做"做260x=4=10

9、,y=4=40,则2=ybx=40+2X10=60.例题答案：【例题1】解：(1)画出散点图.斗46-.45”4443-*42-.*41一40-限.0150152154156158160162164X(2)具有相关关系.根据散点图，左下角到右上角的区域，变量x的值由小变大时，另一个变量y的值也由小变大，所以它们具有正相关关系.【例题2】解：(1)散点图，如图所示.能耗o343352.51.504.3.2Lo.量产M84(2)由题意，得iXiyi=3X2.5+4X3+5X4+6X4.5=66.5,3+4+5+6X=4.5,42.5+3+4+4.5=35y=4一.，4Ex2=32+42+52+62

10、=86,i=1则b=66.54X4.5X3.566.5-6386-81=0.7,a=ybx=3.50.7X4.5=0.35,故线性回归方程为y=0.7x+0.35.（3）根据线性回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7X100+0.35=70.35,故消耗能源减少了90-70.35=19.65（吨）.【例题3】正解：因选项A,B,D中的两个变量间都有唯一确定的关系，因而它们都是函数关系；而选项C中家庭收入会对消费支出产生一定的影响，但高收入未必有高消费，因而选项C中的关系才是相关关系.故选C.达标检测答案：1.B线性回归方程一定经过样本取值的平均数点（X,y）,由取值表可计算X=0+1+3+4=2,y=Z2+4.3+46+6.7=9,知回归方程为y=0.95x