合情推理与演绎推理高考数学知识点总结高考数学真题复习

1、§11.2合情推理与演绎推理【2014高考会这样考】1.从近几年的高考来看，高考对本部分的考查多以选择或填空题的形式出现，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，试题的难度以低、中档为主；2.演绎推理主要与立体几何、解析几何、函数与导数等知识结合在一起命制综合题.【复习备考要这样做】1.联系具体实例，体会几种推理的概念和特点，并结合这些方法解决一些应用问题；2.培养归纳、类比、演绎的推理思维模式，培养分析、解决问题的能力.基础知识二自主学习I要点梳理I1 .合情推理主要包括归纳推理和类比推理.合情推理的过程从具体问题出发(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某此特

2、征,推出该类事物的全部对象都县直这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.归纳推理的基本模式：a、b、cCM且a、b、c具有某属性，结论：？dCM,d也具有某属性.(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的基本模式：A：具有属性a,b,c,d;B：具有属性a',b',c'结论：B具有属性d'.(a,b,c,d与a',b',c

3、',d'相似或相同)2 .演绎推理：从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.(1) “三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提一一已知的一般原理；小前提一一所研究的特殊情况；结论一一根据一般原理，对特殊情况做出的判断.(2) “三段论”可以表示为大前提：M是P;小前提：S是M;结论：S是P.用集合说明：即若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.难点正本疑点清源1 .在解决问题过程中，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用.合情推理的结论可能为真，也可能为

4、假，结论的正确性有待于进一步的证明.2 .应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的.如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的.3 .演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.I基础自测|1.(2012陕西)观察下列不等式:“131+22'.1,151+邛相<3,11171+2y+/42<4,照此规律，第五个不等式为.依生“1111111答案1+2"+32+$+3+62<万解析观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数

5、的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列.1111111第五个不等式为1+2+摩+不+.x一、2. (2011山东)设函数f(x)=T(x>0),观察：X十2、，Xf1(x)=f(x)=-XI2xf2(x)=f(f1(x)=3,3x4xf3(x)=f(f2(x)=7x8，一一一xf4(x)=f(f3(x)=15x+16'根据以上事实，由归纳推理可得：当nCN*且n>2时，fn(x)=f(fn1(x)=答案x2n1x+2n解析依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15,2,4,8,16,，可推知该数列的通项公式为an=

6、2n-1.又函数结果的分母中常数项依次为x2n1x+2n.故其通项公式为bn=2n.所以当n>2时，fn(x)=f(fn1(x)=3.给出下列三个类比结论：(ab)n=anbn与(a+b)n类比，则有(a+b)n=an+bn;loga(xy)=logax+logay与sin(a+份类比，则有sin(a+3=sinasin3；(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比，则有(a+b)2=a2+2ab+b2.其中结论正确的个数是(A.0B.1C.2D.3y=)答案BB'x是增函数（结论）”，3上面推理的错误在于4, “因为指数函数y=ax是增函数（大前提），而y=是指数函数（

7、小前提），所以函数A.大前提错误导致结论错B.小前提错误导致结论错C.推理形式错误导致结论错D.大前提和小前提错误导致结论错答案A5, （2012江西）观察下列各式：a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,则a10+b10等于（A.28B.76C.123D.199答案C解析观察规律，归纳推理.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10+b10=123.题型分类深度剖析登P免费聆听名师教你解题题型一归纳推理2X【例1】已知函数f(x)=,1+X(1)分别求f(2)+f(2),f(

8、3)+fg；,f(4)+fC产勺值;(2)归纳猜想一般性结论，并给出证明；(3)求值：f(1)+f(2)+f(3)+f(2011)+f(2)+fg)+f(2iii)思维启迪：所求函数值的和应该具有规律性，经观察可发现f(x)+fg；=1.2X解(1).f(x)=2,1+x22,1,+22+22+1'12f,()&尸1+22+1J2=11+211同理可得f(3)+电尸1,f(4)+fj尸1.,一.1(2)由(1)猜想f(x)+f。尸1,证明:1f(x)+fx=3x+1=1.2x2+1+x由(2)可得,原式=f+J(2"6Hf(3计f0+f2011)+骨).14021=f

9、(1)+2010=2+2010=2.探究提高本题实质是根据前几项，归纳猜想一般规律，归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法.变式训练1已知经过计算和验证有下列正确的不等式：3+17<2回，万+y详<2痂，寸8+小十11272<2师,根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m,n都成立的条件不等式.答案若m>0,n>0,则当m+n=20时，有，帚+5<2/0解析观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于2

10、0,不等式的右边都是2v10,因此对正实数m,n都成立的条件不等式是若m>0,n>0,则当m+n=20时，有而十价<2币0.题型二类比推理【例2】在RtAABC中，ABXAC,ADLBC于D,求证：那么在四面体AADABAC-BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由.思维启迪：平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象.解图如图所示，由射影定理知AD2=BDDC

11、,ab2=bdbc,AC2=BCDC,1_1AD=BDDC_2/_BC_BC?=BDBCDCBC=AB2AC2.又bc2=ab2+ac2,1AB+ACiiAD_2=ab2ac2=超+e,iiiAD=AB2+AC2-类比ABXAC,ADBC猜想：四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直,上11AEL平面BCD,贝"aE2=AB2+aC2+AD2.图如图，连接BE并延长交CD于F,连接AF.ABXAC,ABXAD,ACAAD=A,.AB,平面ACD.而AF?平面ACD,ABXAF,在RtAABF中，AEXBF,111.AT=A?+后.111在RtACD中，AFXCD,记=后+收.111

12、1后=后+ac7+ad故猜想正确.探究提高(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论.变式训练2已知命题：若数列an为等差数列，且am=a,an=b(mwn,m、nCN*),则am+n="am；现已知等比数列bn(b*0,nCN*),bm=a,bn=b(mwn,m、nCN*),nm若类比上述结论，则可得到bm+n=.nm答案,bm解析等差数列中的bn和am可以类比等

13、比数列中的bn和am,等差数列中的bnam可bnbnam以类比等比数列中的%,等差数列中的可以类比等比数列中的an-m故bm+n=n-mbn题型三演绎推理【例3】数列an的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+i=Sn(neN*),证明:（1）数列侍卜等比数列;(2)Sn+1=4an.思维启迪：在推理论证过程中，一些稍复杂的证明题常常要由几个三段论才能完成.大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括号内，小前提有时也可以省略，而采取某种简明的推理模式.证明(1)an+1=Sn+1Sn,(n+2)Sn=n(Sn+i-Sn),即nSn+i=2(n+1)Sn.Si+1n+1（小前提）是以1为首项，2为

14、公比的等比数列.（结论）（大前提是等比数列的定义，这里省略了）Sn+1Sn1(2)由(1)可知=4一(n>2),n+1n1Snin12,Sn+i=4(n+1),=4,Sni=4an(n>2)(小前提)n1n1又a2=3Si=3,S2=ai+a2=1+3=4=4ai,(小前提)，对于任意正整数n,都有Sn+i=4an.（结论）(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)探究提高演绎推理的一般模式为三段论，应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论.变式训第？已知函数f(x)=/(a>0且awl).证明：函数y=f(x)的图象关于点1,-2

15、，对称；(2)求f(2)+f(1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.(1)证明函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x,y),它关于点名，-2，寸称的点的坐标为(1-x,1y).x_a一一a"，1-y=f(1-x),即函数y=f(x)的图象关于点g,-1，寸称.(2)解由(1)有一1-f(x)=f(1-x),即f(x)+f(1-x)=-1.f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1.则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.易错警示系列13归纳不准确致误典例：(5分)如图所示，坐标纸上的每个单元格的边

16、长为1,由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列an(nN*)的前12项，如下表所示.a1a2a3a4a5a6a7asa9a10ana12X1y1X2y2X3y3X4y4X5y5X6y6按如此规律下去，则a2009+a2010+a2011()B.1005C.1006D.2010易错分析本题中的“按如此规律下去”就是要求由题目给出的6个点的坐标和数列的对应关系，归纳出该数列的一般关系.可能出现的错误有两种：一是归纳时找不准“前几项”的规律，胡乱猜测；二是弄错奇偶项的关系.本题中各个点的纵坐标对应数列的偶数项，并且逐一递增，即a2n=n(nCN*),各个点的横坐标对应数列的

17、奇数项，正负交替后逐一递增，并且满足a4n-3+a4n1=0(nCN*),如果弄错这些关系就会得到错误的结果，如认为当n为偶数时an=n,就会得到a2009+22010+22011=2010的错误结论，而选D.解析a=1,a2=1,a3=1,a4=2,a5=2,a6=3,a7=2,as=4,，这个数列的规律是奇数项为1,-1,2,2,3,，偶数项为1,2,3,，故a2009+a2011=0,a2010=1005,故a2009+a2010+32011=1005.答案B温馨提醒由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验.因此，它不能作为数学证明的工具思想方法：感倏

18、提高方法与技巧1 .合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.2 .演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.3 .合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理形式都正确的前提下）.失误与防范1 .合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明.2 .演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和

19、推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.3 .合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.练出高分A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1,正弦函数是奇函数，f(x)=sin(x2+1)是正弦函数，因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数，以上推理()A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确答案C解析f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数而是复合函数，所以小前提不正确.2.由奈>5，">三，13>白，若a>b>0,m>0,贝Um与b之间的大/、关系为(108111

20、02521a+maA.相等B.前者大C.后者大D.不确定答案B3 .由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则："mn=nm"类比得到"ab=ba""(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)c=ac+bc”;"(mn)t=m(nt)"类比得到"(ab)c=a(bc)”;“tw0,mt=xt?m=x"类比得到"pw0,ap=xp?a=x"“|mn|=|m|n|"类比得到“|ab|=|a|b；以上式子中，类比得到的结论正确的个数是D.4C.3答案B解析正确；错误.4

21、.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cosx)'=-sinx,由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)等于()A.f(x)B.f(x)C.g(x)D,-g(x)答案D解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数.因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(-x)=-g(x).二、填空题(每小题5分，共15分)a2b25 .在RtABC中，若/C=90,AC=b,BC=a,则ABC外接圆半径r=2.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a,b,c,则其外接球的半径R答

22、案,a2+b2+c2解析通过类比可得R=2二证明:作一个在同一个顶点处棱长分别为a,b,c的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是a2+b2+c2,故这个长方体的外接球的半径是一a2+b2+c2,这也是所求的三棱锥的外接球的半径.6 .在平面内有n(nN,n>3)条直线，其中任何两条不平仃，任何二条不过同一点，右这,f(n)的表达式是n条直线把平面分成f(n)个平面区域，则f(5)的值是,n+n+2答案16f(n)=-2一，-nfn+1n+n+2解析由题忌，n条直线将平面分成七一+1个平面区域，故f(5)=16,f(n)=27 .仔细观察下面。和的排列规律：OeOOeOOOOOOOOOO

23、OOOOOOOO若依此规律继续下去，得到一系列的。和，那么在前120个。和中，的个数是答案14解析进行分组|。|OOO>|OOOO>|OOOOO>|OOOOOO>|则前n组两种圈的总数是f(n)=2+3+4+(n+1)=n(n+3)-2,易知f(14)=119,f(15)=135,故n=14.三、解答题(共22分)8 .(10分)已知函数y=f(x),满足：对任意a,bR,a”都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a),试证明：f(x)为R上的单调增函数.证明设x1,x2cR,取x1cx2,则由题意得xf(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2

24、f(x1),x1f(x1)f(x2)+x2f(x2)f(x1)>0,f(x2)f(x1)(x2x1)>0,x1<x2,1.f(x2)f(x1)>0,f(x2)>f(x1).所以y=f(x)为R上的单调增函数.9.八1(12分)f(x)=3T3,先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想性结论，并给出证明.11解f(0)+f(1)=+-rz11,31.3=-+-=厂-+-="V,1+V3V3(1+V3)V3(1+V3)V3(1+V3)3同理可得：f(1)+f(2)=半，f(2)+f(3)=申.33一3由此猜想f(x

25、)+f(1x)=苛.3证明:f(x)+f(1-x)=-x+xp.3+V33十43xx1+3_1+33x+V33+V33x3x+3V3(V3+3x)V3+3x_由33+3x3.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)选择题(每小题5分，共15分)定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(1)1*1=1,(2)(n+1)*1=n*1+1,则n*1等于2A.nB.n+1C.n1D.n答案A解析由(n+1)*1=n*1+1,得n*1=(n-1)*1+1=(n2)*1+2=1*1=1,n*1=n.2.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定

26、原信息为a0aia2,aiC0,1(i=0,1,2),传输信息为h0a0aia2hi,其中h0=a0D。+ai,hi=h0DO+a2,DO+运算规则为0DO+0=0,0DO+1=1,1DO+0=1,1D。+1 =0.例如原信息为111,则传输信息为01111,信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是()A.11010B,01100C.10111D,00011答案C解析对于选项C,传输信息是10111,对应的原信息是011,由题目中运算规则知h0=0DO+1=1,而hi=h0DO+a2=1DO+1=0,故传输信息应是10110.13.(2012课标全国)设点P在曲

27、线y=ex上，点Q在曲线y=ln(2x)上，则|PQ|的最小值为()A.1-ln2B.2(1-ln2)C.1+ln2D.V2(1+ln2)答案B1 V.解析由题意知函数y=ex与y=ln(2x)互为反函数，其图象关于直线y=x对称，两曲11v线上点之间的最小距离就是y=x与y=2ex上点的最小距离的2倍，设y=ex上点(x°,11x.y0)处的切线与y=x平仃，有ex0=1,x0=ln2,y0=1,，y=x与y=2e上点的取小距,1.2离是2(1-ln2),，所求距离为兴1ln2)X2=V2(1-ln2).二、填空题(每小题5分，共15分)4.给出下列命题:1命题1：点（1,1）是直

28、线y=x与双曲线y=-的一个交点；x命题2:点（2,4）是直线y=2x与双曲线y=8的一个交点；x27命题3:点（3,9）是直线y=3x与双曲线y=27的一个交点；请观察上面命题，猜想出命题n（n是正整数）为.3答案点（n,n2）是直线y=nx与双曲线y=n的一个交点x解析观察题中给出的命题易知，命题n中交点坐标为（n,n2）,直线方程为y=nx,双曲线方程为y=n".故猜想命题n：点（n,n2）是直线y=nx与双曲线y="的一个交点.xx5. （2012湖北）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个，11

29、,22,33,，99.3位回文数有90个：101,111,121,，191,202,，999.则（1）4位回文数有个；（2）2n+1（nN+）位回文数有个.答案909X10n解析（1）4位回文数有：1001,1111,1221,，1991,10个2001,2112,2222,，2992,10个9009,9119,9229,，9999,10个共90个.（2）5位回文数有:10001,10101,10201,一，10901,10个11011,11111,11211,11911,10个12021,12121,12321,一，12921,10个>100个19091,19191,19291,一，19991,10个，90009,90109,90209