反常积分的敛散性判定方法

1、内蒙古财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法作者陈志强学院统计与数学学院专业数学与应用数学年级2012级学号122094102指导教师魏运导师职称教授最终成绩75分摘要0.1关键词。.。.。.1引言-2一、预备知识.6。21 .无穷限反常积分。.。022 .瑕积分。.。33。反常积分的性质。.。3二、反常积分的收敛判别法0.41无穷积分的收敛判别.4(1)。定义判别法0。.004(2)。比较判别法。.04(3)。柯西判别法0.5(4) 阿贝尔判别法。6。06(5)。狄利克雷判别法。72瑕积分的收敛判别.。.0-8(1) .定义判别法00。.0.8(2)。定理判别法00.。.9(3) .比

2、较判别法0.9(4)。柯西判别法o.9(5).阿贝尔判别法o。.10(6)。狄利克雷判别法10参考文献。o.11摘要在很多实际问题中，要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性，由此得到了定积分的两种形式的推广：无穷限反常积分和瑕积分。我们将这两种积分统称为反常积分。因为反常积分涉及到一个收敛问题，所以反常积分的敛散性判定就显得非常重要了。本文将对反常积分的敛散性判定进行归纳总结，并给出了相关定理的证明，举例说明其应用，这样将有助于我们灵活的运用各种等价定理判断反常积分的敛散性。关键词：反常积分瑕积分极限敛散性引言近些年以来，一些数学工作者对反常积分敛散性的判别方法做了研究并取得了许多重要的进展

3、.如华东师范大学数学系编，数学分析(上册)，对反常积分积分的定义，性质的运用及讲义其判别收敛性的方法.华中科技大学出版的数学分析理论方法与技巧，也对反常积分敛散性判别做了详细的讲解，还用图形的方法说明其意义.引申出反常积分敛散性的等价定义，并通过例题说明其应用.众多学者研究白内容全而广，实用性很高，尤其是在研究敛散性的判别很明显，这对我现所研究的论文题目提供了大量的理论依据和参考文献，对我完成此次论文有很大的帮助，但绝大多数文献只是对其一种方法进行研究，而本文将对其进行归纳总结，举例说明其应用。i、预备知识1 .无穷限反常积分定义1。1设函数f(x)在a,+oo)有定义，若f(x)在a,A上可

4、积(A>a)A且当A-+8时，Amaf(x)dx存在，称反常积分af(x)dx收敛，否则a称反常积分f(x)dx与f(x)dx发散.a对反常积分f(x)dx与f(x)dx可类似的给出敛散性定义。a注意：只有当f(x)dx和f(x)dx都收敛时，才认为f(x)dx是收敛的.2 .瑕积分定义1：设f(x)在a的任何邻域内均无界，则称a为f(x)的一个瑕点bS定义2：设f(x)在a,b内有定义，且b为唯一瑕点，若limf(x)dx存60ab在，称瑕积分af(x)dx收敛cd定义3：设ca,b且为f(x)的一个瑕点，若f(x)dx和f(x)dx均acb收敛，则称瑕积分af(x)dx3。反常积分的

5、性质(1)Cauchy收敛原理:f(x)dx收敛对£>0,A°a,当Ai>A2>A。a2时，有A1f(x)dx£线性性质：若af(x)dx与g(x)dx者b收敛，则对任意常数女小2,k1f(x)k2g(x)dxk1f(x)k2g(x)dx=k1f(x)dxk2g(x)dxaa,积分区间可加性，若af(x)dx收敛，则ba,bf(x)dx。bf(x)dx=f(x)dxa(4)f(x)dx收敛，则f(x)dxaf(x)dx.二、反常积分的敛散性判别法1。无穷积分的敛散性判别(1)定义判别法设函数f定义在无穷区间a,)上，且在任何有限区间a,u上可积.

6、如果存在极限lim：f(x)dxJ,u则称af(x)dx收敛，否则发放，即相应定积分的极限存在广义积分收敛，定积分的极限不存在广义积分发放例1.1计算无穷积分px,/xedx(p是常数，且p0)解:0xepxdxxpx1pxI-e0-0edxpp1px-2ep12p式中limxexpxlimxpxpe(2) .比较判别法的普通形式：f(x),g(x)在a,有定义，且0f(x)g(x)(xa)(a)ag(x)dxf(x)dx<a(b)f(x)dx=+aag(x)dx=+sinx例1o因为025为收敛,所以根据比较判别法x0,sinx,rdx为绝对1x收敛。(3) .比较判别法的极限形式f(

7、x),g(x)在.f(x).lim-l则xg(x)小a,有定义，且非负，且(a)当l=0时,g(x)dx<af(x)dx<a(b) l+时，ag(x)dx=f(x)dx=a(c) 0<l<时,ag(x)dx,f(x)dx具有相同点敛散性。证：(1)若limxf(x)g(x),由极限的性质，存在常数A(A>a)使得当xA时成立f(x)g(x)<lI1即f(x)<(l十1)g(x)于是由比较判别法，当g(x)dx收敛时af(x)g(x)于是由比较判别法，当g(x)dx发散时f(x)dx也发散aa13x43x35x22x-dx1的敛散性解：limx33x43

8、x35x22x1歹亍dx收敛,xf(x)dx也收敛f(x)(2)若limr<=l>0,由极限的性质，存在常数a(aa),xg(x)使得当xA时成立其中0<l<lf(x)>lg(x)1所以13/432dx收敛1 3'x43x35x22x1总结：使用比较判别法，需要一个敛散性判别结论明确，同时又形成简单的函1数作为比较对象，在上面的例子中我们都是取下为比较对象的，因为它们正好x能满足这俩个条件(4)。柯西判别法:设f(x)在a,有定义，在任何有限区间a,u上可积，且,imxpfx入则有：当p1,0入时，f(x)dx收敛a当P1,时，.f(x)dx发散a(5)。

9、阿贝尔判别法：f(x)g(x)dx满足：a(a) f(x)单调有界(b)g(x)dx收敛贝Uf(x)g(x)dx收敛a证：由于存在M>0,使f(x)M(xa)再由(2)可知,A2对Ve>0,A。a,当A2,人>A0时，有Af(x)g(x)dx<£A1又A2(A2f(x)g(x)dx=f(Ai)g(x)dxf(A2)g(x)dxmAiAi(e+e)=2Me再次由柯西准则知Abel定理成立.sinx一例4证i丁arctanxdx(。<入1)收敛sinx,利用阿贝尔判别法，因为1一丁dx收敛，又arctanx在1,上1x、.一sinx单调有界，故arctanx

10、dx是收敛的1x(b) .Dirichlet判别法：f(x)g(x)dx满足a(1) f(x)单调且趋于0(x0)A(2)g(x)dx有界(a>A)a则f(x)g(x)dx收敛。aAA证：由于存在m>0,g(x)dx有界，所以有g(x)dxM又由于7a7af(x)0(x)故对对£0,A0a,当&>白>A0时，有If(A1)V£，所以f(A2)f(A1)|<£即f(A2)<£,A2f(x)dxg(x)dxg(x)dx2M同理有Ai工g(x)dxA2A12M故当A2,Ai>A0f(x)g(x)dxf(A2)s

11、inx5证积分1证:sinAsinxdxDirichletsinxg(x)dxadx收敛，但不绝对收敛cosAcos1_2sinx.sinxf(A1)sinx,dx收x1cos2xAcos12xdx1sin2A2sin1cos2x一1，也收敛，而12xdx发散,16积分0xpdx的敛散性当p0时是可积的；当pV0数在A1Ig(x)dx时趋于0,2x2x1二一单调趋于2xAsinxdx1时，它是不可积的,0,1上无界。但作为反常积分，当p>1时收敛;1散；因为当p1时有ljmxdxlim00001Sp1发散因为这时被积函1/p1若p，若p<-1时发而当p=1时有lims011.1.x

12、dxlimS0ln1ln8例1。7积分0xpdx作为反常积分，当p<1时它收敛；当p时它发散为当p1时1-limxpdxlim60sSSp111/p1，若p1，若p>-1而当p=-1时有lim01dxlimS0ln8In12.瑕积分的收敛判别(1)定义判别法设函数f定义在无穷区间(a,b上，在点a的任一右邻域!无界，但在任何内闭区间有限区间u,b(a,b上有界且可积.如果存在极限limuf(x)dxJ,ua则称反常积分af(x)dx收敛.，否则发放例2.1计算瑕积分0_x_dx的值-1x2x解：被积函数f(x),x在0,1)上连续，从而在任何0,u0,1)上可积,1x2x0为其瑕点

13、.依定义求得0/x2dxUm0/x2dx!in?(1J1u2)11x1x(2)定理判另肽(柯四I攵敛则理)b瑕积分af(x)dx(瑕点为a)收敛的充要条件是：任给£>0,存8>0u1u2a,aU1f(x)dxbf(x)dxU2U2U1f(x)dx=0<&(3)。比较法则如果设f(x)定义于a,b,a为其瑕点，且在任何u,ba,b上可积,limxx0f(x)当p1,0入时，f(x)dx收敛a当p1,0入时，f(x)dx发散a(4)。柯西判别法、一一一.一.一c设x=a是f(x)的瑕点，如果f(x)pc0,p1那么xaf(x)dx绝对收敛；如果|f(x)1那么f

14、(x)dx发散-dx例2-2讨,仑0e再n工的敛散性(p解：x=0是其唯一奇点.1p.当0cp<1时，取qp,1limx0xqxplnx0,由柯西判别法知dxe0xplnx收敛类似的，1p,当p>1时，取q2-1,pxim0xqxplnx由柯西判别法知,dx0xplnx发散当p=1时，可以直接用Newton-leibniz公式得到-dxe0xplnxlimlnlnx00因此，当0<p<1时，反常积分-dxe.0p,收当敛；当p0xlnx1时，反常积dxxpInx发散(5) o阿贝尔判别法b设f(x)在x=a有奇点，f(x)dx收敛，g(x)单调有界，那么积ab分f(x)g(x)dx收敛a(6) .狄利克雷判别法b设f(x)在x=a有奇点，f(x)dx是刀的有界函数，atg(x)单调且当xa时趋于零，那么积分f(x)g(x)dx例2。3讨论积分,1sin一dxx的收敛情形<1.1sinxrx,积分绝对收敛，又1112sindxnxxcosi1cos.1sin一