双曲线典型例题12例含标准答案

1、双曲线典型例题双曲线典型例题12例典型例题一22例1讨论上1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征.25k9k分析：由于k9,k25,则k的取值范围为k9,9k25,k25,分别进行讨论.解：(1)当k9时，25k0,9k0,所给方程表示椭圆，此时a解：(1)设双曲线方程为-mP、Q两点在双曲线上,旦225m16n256259m25k,b29k,c2a2b216,这些椭圆有共同的焦点(一4,0),(4,0).(2)当9k25时，25k0,9k0,所给方程表示双曲线，此时，a225k,b29k,c2a2b216,这些双曲线也有共同的焦点(一4,0),)(4,0).(3)k25,k9,k25时，所给方

2、程没有轨迹.说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k值，画出具图形，体会一下几何图形所带给人们的美感.典型例题二例2根据下列条件，求双曲线的标准方程.(1)过点P3,Q,5且焦点在坐标轴上.43(2)c庭,经过点(5,2),焦点在x轴上.22(3)与双曲线L1有相同焦点，且经过点372,21解得1m16n9164双曲线典型例题22所求双曲线方程为-y-1169说明：采取以上巧设”可以避免分两种情况讨论，得巧求”的目的.（2）二.焦点在x轴上，cg,22设所求双曲线方程为：1（其中06）6二.双曲线经过点（一5,2）,丝上一165或30（舍去）2所求双曲线方程是土

3、y2-J1后，便有了以上巧妙的设法.164（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面.典型例题三22例3已知双曲线工1的右焦点分别为FF2,点P在双曲线上的左1612支上且|PFjPF232,求F1PF2的大小.分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形.15说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉.22（3）设所求双曲线方程为：-J1016164184二.双曲线过点3%22，.二311644或14（舍）22所求双曲线方程为-X112822说明：（1）注意到了与双曲线L1有公共焦点的双曲线系方程为164双曲线典型例题

4、解：.点P在双曲线的左支上PF1PF2622一“一PF1PF22PF111PF23622PF1PF2100VF1F224c24a2b12100F1PF290说明：(1)巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化.(2)题目的点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为熏P在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索.典型例题四2例4已知F1、52是双曲线y21的两个焦点，点P在双曲线上且满足4F1PF290,求F1PF2的面积.分析：利用双曲线的定义及F1PF2中的勾股定理可求F1PF2的面积.2解：:P为双曲线上y21上的一个点且F1、F2为焦点.4|PF

5、1PF2II2a4,F1F22c2后 F1PF290,222 在RtPF1F2中，PF1PF2F1F220vPF1PF22PF12PF222PF11PF216 .202PF1PF216 PF1PF221.Sfeg|PF1IPF21说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用.双曲线典型例题典型例题五例5已知两点F15,0、F25,0,求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹.分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹.解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线.,c5,a3.b2c2a25232421622所求方程工匕1为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线.916说明：(

6、1)若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算.(2)如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解.典型例题六1一例6在ABC中，BC2,且sinCsinBsinA,求点A的轨迹.2分析：要求点A的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？解：以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则B1,0,C1,0.1 一设Ax,y,由sinCsinBsinA及正弦止理可得：2八1八ABAC-BC12:BC2点A在以B、C为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：22xy，八，八22"1a0,b0ab双曲线典型例题所

7、求双曲线方程为4x2支13vABAC101x2点A的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分典型例题七例7求下列动圆圆心M的轨迹方程：(1)与。C:x2双曲线方程为2x2组1x27(2)v©M与。C1、OC2都外切MC1r1,MC2r2,y22内切，且过点A2,0(2)与。C1:x2y121和。C2:x2y124都外切.(3)与。C1：x32y29外切，且与。C2：x32y21内切.分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离.如果相切的。C1、OC2的半径为1、万且1万，则当它们外切时，|0102r1r2；当它们内切时，|O1O2r1r2.解

8、题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程.解：设动圆M的半径为r(1) C1与。M内切，点A在。C外MCr及，MAr"MAMC72点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有:2222,c2,bca2双曲线典型例题MC2MC11点M的轨迹是以C2、Ci为焦点的双曲线的上支，且有:a1,c1,b2c2a2324所求的双曲线的方程为：4y24x2(3)v©M与。Ci外切，且与。C2内切.MCir3,MC2r1,MCiMC24点M的轨迹是以Ci、C2为焦点的双曲线的右支，且有:八八222尸a2,c3,bca5所求双曲线方程为：22xyix245说明：(i)谊义法”求动点轨迹是

9、解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法.(2)巧妙地应用巡义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量.(3)通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标.典型例题八3例8在周长为48的直角二角形MPN中，MPN90,tanPMN-,4求以M、N为焦点，且过点P的双曲线方程.分析：首先应建立适当的坐标系.由于M、N为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程.由双曲线定义可知|PM|PN|2a,MN2c,所以利用条件确定MPN的边长是关键.双曲线典型例题解:3MPN的周长为48,且tanPMN-,4设PN3k,PM4k,WJMN5k

10、.由3k4k5k48,得k4.PN12,PM16,MN20.以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，设所求双22曲线方程为=三1(a0,b0).a2b2由PMPN4,得2a4,a2,a24.由MN20,得2c20,c10.22由b2c2a296,得所求双曲线方程为土工1.496说明：坐标系的选取不同，则又曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变.解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷.典型例题九22例9P是双曲线y-1上一点，曰、F2是双曲线的两个焦点，且6436PFi17,求|PF2的化分析：利用双曲线的定义求解.22解：在双曲线1中，a8,b6,故c10.643

11、6由p是双曲线上一点，得|pfJ|pf2|16.PF21或PF233.双曲线典型例题又PF2ca2,得PF233.说明：本题容易忽视|PF2|ca这一条件，而得出错误的结论|PF21或PF233.典型例题十2222例10若椭圆士1(mn0)和双曲线七二1(s,t0)有相同的mnst焦点F1和F2,而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1PF2的值是().122A.msB.-(ms)C.msD.Jm,s分析：椭圆和双曲线有共同焦点，P在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到PF1和|PF2的关系式，再变形得结果.解：因为P在椭圆上，所以|PF1|PF2|2而.又P在双曲线上，所以|PF1|PF2|2V

12、S.两式平方相减，得4PF1PF24(ms),故PFPF2ms.选(A).说明：(1)本题的方法是根据定义找|PF1与PF2的关系.(2)注意方程的形式，m,s是a2,n,t是b2.典型例题十一例11若一个动点P(x,y)到两个定点A(1,0)、A(1,0)的距离之差的绝对值为定值a(a0),讨论点P的轨迹.分析：本题的关键在于讨论a.因AA2,讨论的依据是以0和2为分界点，应讨论以下四种情况：a0,a(0,2),a2,a2.解：|aa|2.当a0时，轨迹是线段AAi的垂直平分线，即y轴，方程为x0.双曲线典型例题22(2)当0a2时，轨迹是以A、A为焦点的双曲线，其方程为与上¥1.

13、aa144当a2时，轨迹是两条射线y0(x1)或y0(x1).(4)当a2时无轨迹.说明：(1)本题容易出现的失误是对参变量a的取值范围划分不准确，而造成讨论不全面.(2)轨迹和轨迹方程是不同的，轨迹是图形，因此应指出所求轨迹是何种曲线.典型例题十二例12如图，圆x2y24与y轴的两个交点分别为A、B,以A、B为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y轴左方的交点分别为C、D,当梯形ABCD的周长最大时，求此双曲线的方程.分析：求双曲线的方程，即需确定a、b的值，而2c4,又c2a2b2,所以只需确定其中的一个量.由双曲线定义|AC|BC2a,又BCA为直角三角形，故只需在梯形ABCD的周长最大时，确定|BC的值即可.22解：设双曲线的方程为4谷1(a0,b0),C(xo,y°)(x00,y00),abBCt(0t2V2).连结A