和差化积----因式分解的方法专题训练

1、全国名校初二数学优质培优专题学案汇编（附详解）专题04和差化积-因式分解的方法（2）阅读与思考因式分解还经常用到以下两种方法1 .主元法所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幕排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法.2 .待定系数法即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是：（1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待

2、定系数的方程组；（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解.例题与求解【例l】x2yy2z+z2xx2z+y2x+z2y2xyz因式分解后的结果是（）.A.y-zxyx-zB.y-zx-yxzC.yzx-yxzD.yzxyx-z（上海市竞赛题）解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幕排列，改变原式结构，寻找解题突破口.【例2】分解因式：（1） a2+2b2+3c2+3ab+4ac+5bc；（“希望杯”邀请赛试题）32222（2） 2x-xz-4xy+2xyz+2xy-yz.（天津市克赛题）解题思路：两个多项

3、式的共同特点是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑用主元法分解.全国名校初二数学优质培优专题学案汇编（附详解）例3分解因式x3+（2a+1）x2+（a2+2a1）x+a2-1.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：因a的最高次数低于x的最高次数，故将原式整理成字母a的二次三项式.【例4】k为何值时，多项式x2+xy-2y2+8x+10y+k有一个因式是x+2y+2?（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手.【例5】把多项式4x4-4x3+5x2-2x+1写成一个多项式的完全平方式.（江西省景德镇市竞赛题）解题思路：原多项式的

4、最高次项是4x4,因此二次三项式的一般形式为2x2+ax+b,求出a、b即可.【例6】如果多项式x2-（a+5）x+5a-1能分解成两个一次因式（x+b）,（x+c）的乘积（b,c为整数），则a的值应为多少？（江苏省竞赛试题）解题思路：由待定系数法得到关于b,c,a的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，全国名校初二数学优质培优专题学案汇编(附详解)求出b,c,a的值.能力训练A级1 .分解因式：9a2-4b2+4bc-c2=(“希望杯”邀请赛试题)2 .分解因式：x2+5xy+x+3y+6y2_(河南省竞赛试题)3 .分解因式：x2+3(x+y)+3y2+(x-y)=(重庆市竞赛试题)4 .

5、多项式x2+y26x+8y+7的最小值为.(江苏省竞赛试题)5 .把多项式x2-2xy+y2+2x-2y8分解因式的结果是()A.(xy4)(xy+2)B.(x-y-1)(x-y-8)C.(x-y4)(x-y-2)D.(x-y1)(x-y-8)6 .已知x2+ax-12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是().A.3个B.4个C.5个D.6个7 .若3x3-kx2+4被3x-1除后余3,则k的值为().A.2B.4C.9D.10("CASIO杯”选拔赛试题)1一。03.一8.右a+b=,a+3b=1,贝U3a+12ab+9b+的值是().55A.2B.2C.

6、-D.0935(大连市“育英杯”全国名校初二数学优质培优专题学案汇编(附详解)竞赛试题)9.分解因式：(1) 2a2-b2_abbc2ac；(吉林省竞赛试题)(2) (ca)2-4(b-c)(a-b);(昆明市竞赛试题)(3) x3_3x2+(a+2)x_2a；(天津市竞赛试题)(4) 2x27xy+6y2+2xy一12；(四川省联赛试题)12(5) xy(xy1)(xy3)-2(xy)-(x-y-1)2(天津市竞赛试题)10 .如果(xa)(x4)1能够分割成两个多项式x+b和x+c的乘积(b、c为整数)，那么a应为多少？(兰州市竞赛试题)11 .已知代数式x23xy4y2x+by-2能分解

7、为关于x,y的一次式乘积，求b的值.(浙江省竞赛试题)全国名校初二数学优质培优专题学案汇编（附详解）B级1 .若x3+3x23x+k有一个因式是x+1,贝1jk=:（“希望杯”邀请赛试题）2 .设x3+3x2_2xykx4y可分解为一次与二次因式的乘积，则k=:（“五羊杯”竞赛试题）3 .已知x_y+4是x2y2+mx+3y+4的一个因式，贝tjm=L（“祖冲之杯”邀请赛试题）4 .多项式x2+axy+by2_5x+y+6的一个因式是x+y2,则a+b的值为.（北京市竞赛试题）5 .若x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2,贝Ua+b=（）.A.8B,7C,15D.21E.22（美国犹

8、他州竞赛试题）6 .多项式5x24xy+4y2+12x+25的最小值为（）.A.4B.5C.16D.25（“五羊杯”竞赛试题）7 .若M=3x2-8xy+9y24x+6y+13（x,y为实数），贝M的值一定是（）.A.正数B.负数C.零D.整数（"CASIO杯”全国初中数学竞赛试题）8 .设m,n满足m2n2+m2+n2+10mn+16=0,贝（J（m,n）=（）A.（2,2）或（2,-2）B.（2,2）或（2,-2）C.（2,2）或（2,2）D.（2,2）或（一2,2）（“希望杯”邀请赛试题）9 .k为何值时，多项式x22xy+ky2+3x5y+2能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）全国名校初二数学优质培优专题学案汇编(附详解)10 .证明恒等式：a4+b4+(a+b)4=2(a2+ab+b2)2.(北京市竞赛试题)11 .已知