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文档简介
1、双曲线1.|PF1|PF2|2a2X2.标准方程二a2x1b23.PFi4.点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角5.PT平分PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆,除去实轴的两个端点6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交7.以焦点半径PFi为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切8.设P为双曲线上一点,则4PF1F2的内切圆必切于与P在同侧白顶点.29.双曲线与a2yr1(a0,b0)的两个顶点为A(ba,0),A2(a,0),与y轴平行的直2X线交双曲线于P1P2时A1P1与AaB交点的轨迹万程是a2L1b2.2x10.若P0(X0,y0)在双曲
2、线Fa2X1b2(a0,b0)上,则过F0的双曲线的切线方程是2X11若P0(X0,y0)在双曲线-7a2L1b2(a0,b0)外,则过Po作双曲线的两条切线切点为Pi、P2,则切点弦PiPa的直线方程是X0Xyoy12,21.ab212.AB是双曲线xyay2b1(a0,b0)的不平行于对称轴且过原点的弦,M为AB的中点,则koMb2kAB.a13.若P0(x0,y0)在双曲线2y1(a0,b0)内,则被Po所平分的中点弦的万程b是否a2yyX0b22y。b214.若P0(x0,y0)在双曲线2x2a2*1(a0,b0)内,则过Po的弦中点的轨迹方程是b22216.若双曲线今当1abAxBy
3、1(AB0),则(1)112277AB;(2)2、a4A2b4B2|a2A2b2B2|22xyxoxyoy22-2-12,abab2215.若PQ是双曲线与与1(ba0)上对中心张直角的弦,则ab1111丁丁”1。叫23).ba0)上中心张直角的弦L所在直线方程为2b217.给定双曲线C1:b2x2a2y2a2b2(ab0),C2:b2x2a2y2(2ab)2,ab则(i)对Ci上任意给定的点P(x0,y),它的任一直角弦必须经过C2上一定点2,22,2abab、M(-222x0,2y0).abab.、(ii)C2上任一点P(x0,y)在Ci上存在唯一的点M,使得M的任一直角弦都经过P点.22
4、xy18.设P(x0,y0)为双曲线%1(a0,b0)上一点,PP2为曲线C的动弦,且弦PP,abPR斜率存在,记为k1,k2,则直线P1P2通过定点M(mx0,my0)(m1)的充要条件是.1mb2kk2-.1 ma2 219.过双曲线与纭1(a0,bo)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线ab交双曲线于B,C两点,则直线BC有定向且kBCb2x(常数)aV。22xy20.双曲线22-1(a0,bo)的左右焦点分别为Fi,F2,点P为双曲线上任意一点abFiPF2曲线的焦点角形的面积为SF1PF2b2cot2_a222p(cCbcot2b22221.若p为双曲线x241ab(a
5、0,b0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,PF1F2ca、ca.PF2F1,贝Utancot(或tancotca22ca22a0,bo)的焦半径公式:Fi(c,0)F2(c,0)当M(x0,y)在右支上时,|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.当M(X0,y)在左支上时,|MFi|ex0a,|MF21ex0a.22xy23 .若双曲线1(a0,b0)的左、右焦点分别为abFi、F2,左准线为L,则当1e0,b0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为双曲线左支内一定点,则|AF2|2a|PA|PF1|,当且仅当A,F2,p三点共线且P在左支时,等号成立22xy25 .双曲线1(
6、a0,b0)上存在两点关于直线l:yk(xx0)对称的充要条ab22、2件是2(ab1k0且ka2b2k226 .过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27 .过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.一一,一xasec28 .P是双曲线(a0,b0)上一点,则点P对双曲线两焦点张直角的充要ybtan条件是e2一.1 tan22 2xy29.设A,B为双曲线F22k(a0,b0,k0,k1)上两点,其直线AB与双曲线ab2y21相交于P,Q,则APBQ.b230.22在双曲线与4a2b
7、21中,定长为2m(m0)的弦中点轨迹方程为31.2213上a2b222土上12.2ab支上移(x0)min2.2.2.2acoshtbsinht2,2,22asinhtbcosht2y_b21(a0,b0)动,记|AB|=M(X0,y。),cotht,cotht的通径,1/2(c2eb2,ect.一);当1aayxbxbx,yay定长线段是AB中点,0时t0,0时t0,L的两端点S时,有(x。)min袋弦两端点在两支上弦两端点在同支上A,B在双曲线右S时,有232.双曲线5ab21(a0,b0)与直线AxBy0有公共点的充要条件是22222A2a2B2b2C2.33 .双曲线(xx)a(yy
8、)2b21(a0,b0)与直线AxByC0有公共点的充要条彳是A2a2B2b22(Ax0By0C)234 .设双曲线今ab21(a0,b0)的两个焦点为F、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在PF1F2中,记F1PF2PF1F2F1F2P,则有since.(sinsin)a22xy35.经过双曲线2T1(a0,b0)的实轴的两端点A和A的切线,与双曲线上任ab2一点的切线相交于Pi和P2,则1PlA|P2A21b.22xV36.已知双曲线2_1(ba0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且OPOQ.1|OQpab1224a2b2,=;(2)|OP|+|OQ|的最小值为-;(3)
9、Sopq的最小b2b2a22,2ab值是二22237.MN经过双曲线与-y-a2b2ba1(a0,b0)过焦点的任一弦(交于两支),若AB是经过双曲线中心O且平行于MN的弦,则|AB|22a|MN|.2238.MN!经过双曲线二2与1(ab0)焦点的任一弦(交于同支),若过双曲线中心Oab的半弦OPMN,则一-一a|MN|1112-2-2|OP|2b2a22X39.设双曲线-2a2y1(a0,b0),M(m,o)为头轴所在直线上除中心,顶点外的任b点,过M引一条直线与双曲线相交于P、Q两点,则直线AP、AQ(A1,A2为两顶点)的交点N2在直线l:Xa-上.m40 .设过双曲线焦点F作直线与双
10、曲线相交P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于MN两点,则MFLNF.41 .过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A、4为双曲线实轴上的顶点,AP和AQ交于点M,A2P和AQ交于点N,则MFLNF.2242 .设双曲线方程今冬1,则斜率为k(kW0)的平行弦的中点必在直线l:Vkx的共abb2轲直线vkx上,而且kk2.ax2v2,43 .设A、BCD为双曲线221(a0,bo)上四点,AB、CD所在直线的倾斜角ab直线AB与CD相交于P,且P不在双曲线上,则2222|PA|PB|b2cos2a2sin2_222-2|PC|PD|bco
11、sasin22XV44.已知双曲线=i(a0,b0),点P为其上一点Fi,F2为双曲线的焦点,F1PF2abRS形成的内(外)角平分线为l,作Fi、F2分别垂直l于R、S,当P跑遍整个双曲线时,222299。一aybxxc的轨迹方程是x2y2a2(c2y2J2-).aybxc45.设ABC三顶点分别在双曲线上,且AB为的直径,l为AB的共轲直径所在的直线,l分别交直线AGBC于E和F,又D为l上一点,则CD与双曲线相切的充要条件是D为EF的中点.x2y246.过双曲线-2彳1(a0,b0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,ab弦MN的垂直平分线交x轴于巳则|PF|e|MN|247.
12、设A(xi,y21)是双曲线三a2yb21(a0,b0)上任一点,过A作一条斜率为b2x12ay1直线L,又设d是原点到直线的距离,ri,。分别是A到双曲线两焦点的距离,则,rr2dab.48.已知双曲线2y_b22,一一x1(a0,b0)和-2a1),一条直线顺次与它们相交于A、D四点,则AB=|CD.49.已知双曲线2yb2(a0,b0),A、B是双曲线上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0)则x02,2ab7或x0a2,2ab250.设P点是双曲线多a2y-1b2(a0,b0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点PF1F2b2cot.2、一2b-记F1PF2,则|
13、PFi|PF?|.(2)S1cos51.设过双曲线的实轴上一点B(m,o)作直线与双曲线相交于P、Q两点,A为双曲线实轴的左顶点,连结MBN90:AP和AQ分别交相应于过22amanmB点的直线MNXn于M,N两点,则22amb(na)22XV52. L是经过双曲线-y_1(a0,b0)焦点F且与实轴垂直的直线,A、B是双曲线a2b2.1arcsin一e1的两个顶点,e是离心率,点PL,若APB,则是锐角且sin1或e(当且仅当|PF|b时取等号)22XV53. L是经过双曲线41(a0,b0)的实轴顶点A且与x轴垂直的直线,E、Fab是双曲线的准线与x轴交点,点PL,e是离心率,EPF,H是
14、L与X轴的交点c11ab是半焦距,则是锐角且sin或arcsin-(当且仅当|PA|时取等号).eec2254. L是双曲线341(a0,b0)焦点F1且与x轴垂直的直线,E、F是双曲线准ab线与x轴交点,H是L与x轴的交点,点PL,EPF,离心率为e,半焦距为c,则一1.1,一.b=2一.一为锐角且sin或arcsin(当且仅当|PF1|-vac时取等号).eec2255.已知双曲线与41(a0,b0),直线L通过其右焦点区且与双曲线右支交于A、像尸(当且仅当ABLaabB两点,将A、B与双曲线左焦点F1连结起来,则|F1A|F1B|轴时取等号)56.设A、B是双曲线2x2ab21(a0,b
15、0)的长轴两端点,P是双曲线上的一点,PABPBABPAe分别是双曲线的半焦距离心率,则有|PA|2,2ab|cos,222|accos|2.(2)tantan1e.(3)Spabc2122abx2c0tba22xy57.设A、B是双曲线-22r1(a0,b0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦点的ab一,一一一2区域)、外部的两点,且Xa、Xb的横坐标XaXba,(1)若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点,则PBAQBA;(2)若过B引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点,则PBAQBA180,.2X58.设A、B是双曲线彳a2-yT1(a0,b0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦点的b
16、区域),外部的两点,(1)若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点,(若BP交双曲线这一支于两点,则P、Q不关于x轴对称),且PBAQBA,则点AB的横坐标Xa、Xb满足XaXb2a;(2)若过B点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点,且PBAQBA180”,则点A、B的横坐标满足Xa2Xba.22xy59 .设A,A是双曲线-yq1的实轴的两个端点,abQQ是与AA垂直的弦,则直线AQ与AQ的交点2xP的轨迹是双曲线a2L1b2.60 .过双曲线22xy2,2ab(a0,b0)的右焦点F作互相垂直的两条弦ABkCD,则IAB|CD|8ab222IabIIABIICDI2c24aa2261
17、 .至ij双曲线与y-abca1(a0,b0)两焦点的距离之比等于b(c为半焦距)的动点M的轨迹是姊妹圆(xec)2y2(eb)2.2X62 .到双曲线2ab21(a0,b0)的实轴两端点的距离之比等于ca(c为半焦距)b的动点M的轨迹是姊妹圆22,2(xc)yb.22xvca,63.到双曲线-2/1(a0,b0)的两准线和x轴的交点的距离之比为(c为abb半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆(xa)2v2(b)2(e为离心率).e2264.已知P是双曲线勺41(a0,b0)上一个动点,A,A是它实轴的两个端点,ab2,22xbv且AQAP,AQAP,则Q点的轨迹方程是-yV-1.aa65.双曲线的一
18、条直径(过中心的弦)的长,为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比仞中项.2266 .设双曲线与冬1(a0,b0)实轴的端点为A,A,P(xi,火)是双曲线上的点过Pabb2x,作斜率为一的直线l,过A,A分别作垂直于实轴的直线交l于M,M,则(1)aV1|AM|AM|b2.(2)四边形AMAM面积趋近于2ab.xV67 .已知双曲线-y-1(a0,b0)的右准线l与x轴相交于点E,过双曲线右焦点a2b2F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上,且BCx轴,则直线AC经过线段EF的中点.(xa)2v268 .OAOB是双曲线(41(a0,b0,且ab)的两条互相垂直的弦,O为
19、ab2ab2.坐标原点,则(1)直线AB必经过一个定点(下2,0).(2)以OA、OB为直径的两圆的baV2(贽g)2(除原点)。b2a21(a0,b0)上一个定点,PA、PB是互相垂直一、.ab20另一个交点Q的轨迹方程是(x要)2b2a269 .P(m,n)是双曲线(x:)a2b2的弦,则(1)直线AB必经过一个定点2ab2m(b2a2)n(a2b2),22ba,22ba).(2)以PA、PB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是,22,/abam、2/I(X-72.2)(yT-2babb2n2i2)aa2b4i(b/2X,n(ab),,八一工(除P点).22a)70.如果一个双曲线虚半轴
20、长为b,焦点Fi、F2到直线L的距离分别为di、d2,那么(1)did2b2,且Fi、F2在L异侧直线和双曲线相切,或L是双曲线的渐近线.(2)did?2b,且Fi、F2在L异侧直线L2和双曲线相离,(3)did2b,或Fi、F2在l同侧直线L和双曲线相交.2X71.AB是双曲线a2y_b21(a0,b0)的实轴,N是双曲线上的动点,过N的切线与过A、B的切线交于D两点,则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是72.4y2看i(y0).设点P(X0,y0)为双曲线2y,一、i(a0,b0)的内部(b2(含焦点的区域)AB是双曲线过定点P(x0,y0)的任一弦.,则当弦AB垂直于双曲线实轴所在
21、直线时(IPA|PB|)min222222(bX0ay)ab(2)如AB平行(或重合)于双曲线实轴所在直线时,(IPA|122|PB|)min(X-22、2,2ay。)ab73 .双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切74 .双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点75 .双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c与c-a.76 .双曲线焦三角形的非焦顶点到其旁切圆的切线长为定值c-a.77 .双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别
22、称为内、外点.78 .双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.79 .双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项80 .双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81 .双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82 .双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83 .双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足的距离为双曲线实半轴的长.84
23、 .双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点85.双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86 .双曲线焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线87 .双曲线焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线88 .双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点2X89.已知双曲线,a2当1(a0,b0)上有一点P,过P分别引其渐近线的平行线,分别b2交x轴于M,N,交y轴于R,Q,O为原点,则:(1)|OM|ON|
24、a2;(2)2|OQ|OR|b.bb90.过平面上的P点作直线l1:yx及l2:yx的平行线,分别交x轴于M,N,交aa2y21(a0,b0).(2)b2y轴于R,Q.(1)若|OM|ON|a2,则P的轨迹方程是与a2242_xy若|OQ|OR|b,则P的轨迹方程是-241(a0,b0).ab2291 .点P为双曲线与二1(a0,b0)在第一象限的弧上任意一点,过P引x轴、y轴abb的平行线,父y轴、x轴于M,N,父直线ybx于Q,R,记OMQ与ONR的面a积为S1,S2,则:|S1S2|ab.292 .点P为第一象限内一点,过P引x轴、y轴的平行线,交y轴、x轴于M,N,交直bab.线yx于
25、Q,R,记OMQ与ONR的面积为S3S2,已知|S1S219一,则P的a22222xVVx轨迹万程是-2。i(a0,b0)或。-y1(a0,b0)abba双曲线性质92条证明1.双曲线第一定义。2.由定义即可得双曲线标准方程。3.双曲线第二定义。4 .设P(x0,y)在第一象P切线PT(即l)的斜率为k,PFi所在直线li斜率为ki,PF2所在直线I2斜率为k2,PFi与PT的夹角为“,PF2与PT的夹角为3。由两直线夹角公式tan匹上除|i3.2V。bX0tan三赤|ikki|i”0V0a2V0X0ctankk2ikk22bx0V02ay0%c2bxVo2ay0%c,2222.2bx0ay0
26、bx0c222aX0V0aCV0b%y0,2222.2bxaybxc22.2aX0V0acyb%丫02. 2ab2c%y0.2bcx02acy02.22abbc%22cX0V0acy0b22ac%cy02ac%22bac%2cyac%b2cV。,0同理可证其它情况。故切线PT平分点P处的内角。25 .不妨设P在第一象PMo作F2关于切线PT的对称点M由4可知M在PFi上,则FiMFiMPFiPF22a,垂足H为F2M的中点,则OH=-a,同理可证其它情况。射2影H的轨迹是以实轴为直径的圆除去两端点。6.设巳Q两点到与焦点对应的准线的距离分别为dild2,以PQ中点到准线的距离为d,PFFQ2e
27、r一r,故以PQ为直径的圆与e以PQ为直径的圆的半径为r,则dd-d22对应准线相交。7.如图,两圆圆心距为dOMPF22aPF1PFi-ar,故两圆外切。8.如图,由切线长定理:FS|FT|PFi|PF2El2a2c,|F1SF1Tac而F1T,T与A2重合,故内切圆与x轴切于右顶点,同理可证p在其他位置情况。9.Piasec,btan,P2asecbtanAP:ybtanasecbtan,A2P2:y-a1sec则xPacos,ybsin2x,p点的轨迹方程为a2幺1b210.P0(x0,y0)在双曲线2x2ab22X02a2近1b2,22工工22ab1求导得:2x2ab2x-2aV。切线
28、方程为yV。b2X02ayqx0即X0Xy0yb22X。ay011.设RXi,yi,F2X2,V2,10得:X0X1aVoVi1,直线PP2上,且同时满足方程X0X-Tay0y1,所以PP2:X0X2aX0X-Tay0y2丁y0y至12.X。,y。2则有勺a211,2ayfb2F,P2在2X222%丫20b2X1X2X1X22ay1V2bkABjX1X2b22aX1X2b2X。y1y22ayqb2akOMkABkOM13.由12可得:yV。b2X0av。2ay0y22aV0,2.22bXXbX0,22bX0Xay0yb22X02V0X0X-2ayVy014.由12可得:yVoXX2a2ay0y
29、222bXbx0x015.2X0X2X2a2yb2XX-2ab2asec,btan,Qasec,btan,-2,btanbtan,akOPkOQ1sinsin2asecasecb1221-2acos122JTT2asecbtan2.22bsincos122222asecbtan_2222acosbsin2cos一2,22absin2cos2cosb2sin2一44.2.2absinsina2b2sinsin222222aasinbsin1sin2a2sin2b2sin21sin22a4a2b2sin2sin222_2.2.22abasinsin2b2sin2sin22a2b2a2b2b29.9
30、.9asinsin2a42.2.2,2absinsin4,22ab2.4.2,2absinsin222ba2a2.2.2bsinsina2b22a2b2sin2sin216.将直线AB代入双曲线方程中得:B2b2A2a2X22Aa2Xa21B2b202222,2224aBbBbAaAB2ab、,A2B2B2b2A2a2设AXi,y1,BX2N2贝Ux1X2_22Aa22-,X1X2B2b2A2a2a21B2b2mEm,OAOB22XX2y1y20baA222-2B2A2B2AB2abA2B2&2/八22B2b2A2a2.Aa1222,2222、,baBbAa1B2b2A2a242.42.222
31、22aBbabABba2A2a4B2b417.b2B2b2A2a2B2b2设双曲线内直角弦AB的方程为:kxkp。2.2ak2a2kqkp2kpb2x,y1,BX2,得X12a2kX2b2qkp2.2ak,X1X2kpa2k2b2X0X1X0X2V。V1y。y22k1X1X2kqk2pky0X。X1X22X。、2kpV。-2,,2akqkpkq12口1kpky。X02qkpb2b22.2akx2b22,2akqkpy(_222akqkp_222aky。kp2,2akx0qkp2.2ak2.2.22abbx02,2akx0q212ak2x02b2kpaqkpkp2y。222bkx。2.22aky
32、。22ay。212akq2,22akx。kp2kp22kp222abk2a2k2y。22by。bqkpkp22by。qkp2a2k2px022by。b2.2.22bkp2b2qy。2,22akpb2k22x。2,22akx02a2kpq2a2kqx02.2bkpy。_22bkpq22aV。2apqb2x02bpq2y。qx02q即直线AB过定点也过G上的定点。由上可知Ci和18.必耍性:b2k2xix2k1k2b212x02bpy。2y。b27Tx0,bb22aa2ab2bb2ax0V07-22y0ba此点在G上。当直线斜率不存在时,直线。上点由此建立起一种一一对应的关系,设P1P2:yx22
33、a2km22amy。即证。AB下2kx0my。kV。kx0x2,V22a2b2y。V1y。y2x。xx。x22m2km%y。k12kx1x2mxo。k存在时,代入双曲线方程中得:V。a2b20x22a2kmy0kx0b22.2akkmy0mkx0V0xx2x1x222x。m1y。m1xxix2my0mkx0x。V。一222a1m2kmx)y0kx0m1y;m1b2-2ak不存在时,P1P2:x=mx)则yk1k2,b-2-22y+gjmXoa22b222yomXoaa2.2Xo1mb2X2122.aXo12m2mb22a必要性得证。充分性:设PlP2过定点p,q,PB:ykXkp。代入双曲线方
34、程得:b22a2kqkp2kpa22b2oxi,yi,P2X2,y2得XiX22,2akqkpb22.2ak,X1X222aqkp则k1k2yiyoy2yo,2kX1X2kqkpyoX1X2X2XoX1X2XoX1X2b2q-2Xo2kpyo2.2ak2kp2,2,22,2,2,22,2abk2akqkpqkpyoqkpyobaka2qkpa2lb22a2kXoqkpX2b22.2ak,2,2bqkpyo2yoqkp22kXo2kXo,2,bqkpyokXoqkpy0y。qkpkXoyoqkpkXokXo,2.bkpyokXokpV。qyokXokpmXoqmyom%验证k不存在的情况,也得到此结论。l过定点m%,myomyo19.设AB:yyoXo即ykXyokXoykXyokXo2yb2b22.2akXoXb同理C2a2kb2,2akyoy。kXoqkp2a1,充分性得证。mXomyo2.2akyokXoyo22kXoboyokXo271akXb2a2kyoa2k2Xob2Xo2.2.2akXobXoa2.2kyob2a2k2b2b2yo2.2ak2a2kyoa2k2Xob2Xoa2k2yob2a2k2b2kXo2b22.2akb2yoa2k24b2kXo4a2ky0b2Xoa2y020.PF14a2SF1
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