利用旋转法解几何最值问题应用举例教师版

1、利用旋转法解几何最值问题应用举例解析一、利用旋转转化为点到直线的距离垂线段最短求最值例1、在平面直角坐标系中，已知点A(4,0),点B为y轴正半轴上一个动点，连接AB,以AB为一边向下作等边ABC,连结OC,则OC的最小值为.解析：如图，将AABO绕点A逆时针旋转60°得4AACM,并延长MC交x轴于点N,则点C在直线MN上运动，当OCLMN时，OC最小，/.OC=-3-AM=2,则OC的最小值为2.2例2、如图，平行四边形ABCD中，/B=60°,BC=12,AB=10,点E在AD上，且AE=4,点F是AB上一点，连接EF,将线段EF绕点E逆时针旋转120得到EG,连接G

2、D,则线段GD长度的最小值为.解析：将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH,连接HG,过点H作HM±AD, .四边形ABCD是平行四边形，./A+ZB=180°,，/A=120°, 将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH,将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG,EF=EG=4,AE=EH,ZAEH=ZFEG=120°, .ZDEH=60°,/AEF=/HEG,且EF=EG,AE=EH,/.AAEFAHEG(SAS) /A=/EHG=120=ZAEH,AD/HG,点G的轨迹是过点H且平行于AD的直线， 当

3、DG,HG时，线段GD长度有最小值，/HEM=60°,EH=4,HM±AD, .EM=2,MH=EM=2B，.线段GD长度的最小值为2/3,例3、如图，正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点，且BE=1,F为AB边上的一个动点，连接EF,以EF为边向右侧作等边4EFG，连接CG,则CG的最小值为.第1页(共11页)解析：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将4EFB绕点E旋转60°,使EF与EG重合，得到EFB叁、EHG,从而可知EBH为等边三角形,点G在垂直于HE的直线HN上，作CMXHN,则CM即为CG的最小值

4、，作EPXCM,可知四边形HEPM为矩形，贝UCM=MP+CP=HE+EC=1+-=-,故答案为二、利用旋转转化为三点共线求最值例4、如图，PA=2,PB=4,将线段PA绕P点旋转一周，D以AB为边作正方形ABCD,则PD的最大值为./I解析：将4PAD绕点A顺时针旋转90°得到P'AB,PD的/最大值即为P'B的最大值，P3PA=PA',ZPAP'=90.PP'=|V2PA=2f2 P'PB中，P'BVPP'+PB,PP=M1pA=2，,PB=4,且P、D两点落在直线AB的两侧，.当P'、P、B三点共线时，P&

5、#39;B取得最大值，此时P'B=PP'+PB=272+4,即P'B的最大值为2日+4.例5、如图，在四边形ABCD中，AB=6,BC=4,若AC=AD,且/ACD=60°,则对角线BD的长的最大值为解析：将AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AK,连接BK、DK,则AK=AB=BK=6,ZKAB=60°,/DAC=/KAB,/DAK=/CAB,rDA=CA在ADAK和4CAB中，ZDAK=ZCAB,DAKCAB(SAS).DK=BC=4,:KA=BADK+KB>BD,DK=4,KB=AB=6当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为D

6、K+KB=10.第2页（共11页）例6、如图，菱形ABCD的边长为4,ZA=60°,E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG,连接BG、CG,则BG+CG的最小值为（四边形ABCD是菱形,H.AD=BD,1.AE=ED,AN=NB,，AE=AN, .ZA=60°,.AEN是等边三角形，./AEN=ZFEG=60°,./AEF=/NEG, EA=EN,EF=EG,AEF0NEG(SAS),/ENG=/A=60°,/ZANE=60°,ZGNB=180-60°-60°=60

7、76;,.,点G的运动轨迹是射线NG,易知B,E关于射线NG对称,.GB=GE,，GB+GC=GE+GC壬C,在RtDEH中，/ZH=90°,DE=2,ZEDH=60°,DH=DE=1,EH=V5,在RtAECH中，EC-2yH2=2斤1-GB+GO/tI，M/BMN=90°,则线段AN的最大值为 .GB+GC的最小值为2/7.故选：B.例7、如图，AB=6,点M为线段AB外一个动点，且AM=2,MB=MN解析：如图，连接BN,二将4AMN绕着点M顺时针旋转90°得到4PBM连接AP,则4APM是等腰直角三角形，MA=MP=2,BP=AN,N，PA=2V

8、2,.AB=6,.线段AN长的最大值=线段BP长的最大值，当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值=AB+AP=6+20.三、利用旋转转化为四点共线求最值例8、如图，ABC中，ZABC=30°,AB=4,BC=5,P>AABC内部的任意一点，连接PA,PB,PC,则PA+PB+PC的最小值第3页（共11页）解析：如图，将4ABP绕着点B逆时针旋转60°,得到ADBE,连接EP,CD,/.ABPADBE./ABP=/DBE,BD=AB=4,ZPBE=60°,BE=PE,AP=DE,BPE是等边三角形，EP=BP，AP+BP+PC=PC+EP+DE,.

9、,当点D,点E,点P,点C共线时，PA+PB+PC有最小值CD/ABC=30=/ABP+/PBC,/DBE+ZPBC=30°,，/DBC=90°,CD,例9、如图，矩形ABCD中，AB=271,BC=6,P为矩形内一点，连接PA,PB,PC,贝UPA+PB+PC的最小值是（PB=EF,PA+PB+PC=PA+PF+EF,当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小, .四边形ABCD是矩形，/ABC=90°,z.tanZACB=-,EC3 .ZACB=30°,AC=2AB=4-J1,/BCE=60°,./ACE=90°, AE=J

10、(4巧”46=2d21,故选：B.四、利用旋转转化为圆外一定点与圆上的动点的关系求最值例10、如图，在四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=60°,BC=4i/2,若BD±CD,垂足为点D,则对角线AC的长的最大值为.第4页（共11页）解析：如图，以BC为边作等边三角形BCE,过点E作EFLBC于点F,连接DE, AB=BD,/ABC=/DBE,BC=BE,/.ABCADBE,，DE=AC, 在等边三角形BCE中，EF±BC,BF=-LbC=2/2,，EF=JBF=愿X初=店,以BC为直径作。F,则点D在。F上，连接DF,DF=aBC=/X4/=2/,22 .A

11、C=DEWDF+EF=2而+2找，即AC的最大值为2+2氐.练习1、已知x轴上一点A(1,0),B为y轴上的一动点，连接AB,以AB为边作等边ABC如图所示，已知点C随着点B的运动形成的图形是一条直线，连接OC,则AC+OC的最小值是.解析：将AABO绕点A逆时针旋转60°#AACD,并作直线CD,延长AD交y轴于点A：,等边4ABC、等边AOD,AB=AC,AO=AD,ZBAC=ZOAD=60°/BAC/OAC=/OAD/OAC,/BAO=/CAD第5页(共11页)IAB=ACZbao=ZcadAO=AD,BAOACAD(SAS),./AOB=/ADC-/AOB=90&#

12、176;/ADC=90°,CDLAD,点C随着点B的运动形成的图形是直线CD.ZAOA'=90°,/OAD=60°，/AA'O=30°，OA=LaA'.,.AD=OA=3AA'22.点D是AA'的中点，CDAD,.CD是AA'的中垂线.AC=A'C,.AC+OC=A'C+OC又.点C在直线CD上运动，所以点O、C、A'三点共线时，A'C+OC的值最小，最小值为OA'的长.在R4AOA'中，/AOA'=90°,ZOAD=60°,OA=

13、1,OA'=MOA=、R,.AC+OC的最小值为«.2、已知：AD=2,BD=4,以AB为一边作等边三角形ABC.使C、D两点落在直线AB的两侧.当/ADB变化时，则CD的最大值解析：把ADC绕点A顺时针旋转60°得至UAEB,贝UAE=AD,BE=DC,ZEAD=60°,.ADE为等边三角形，,-.DE=DA=2,ZADE=60°,当E点在直线BD上时，BE最大，最大值为2+4=6,CD的最大值为6.则CD的最小值为解析：将AADC绕点A顺时针旋转90°,得到4ABE.则CD=BE,AADE是等腰直角三角形，ED=106.AE、AD、

14、BD都是定值,当E、B、D三点共线时，BE最小，即CD最小.此时BE最小值为DE-BD=10而-5.故选：A.4、如图，平行四边形ABCD中，/B=60°,BC=6,AB=5,点E在AD上，且AE=2,点F是AB上一点，连接EF,将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG,连接GD,则线段GD长度的最小值第6页（共11页）3、如图，在等腰直角4ABC中，/BAC=90°,点D是ABC所在平面上一点，且满足DB=6,DA=10,解析：将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH,连接HG,过点H作HM±AD,.四边形ABCD是平行四边形，./A+Z

15、B=180°,，/A=120°,将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH,将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG,EF=EG,AE=EH,ZAEH=ZFEG=120°,.ZDEH=60°,/AEF=/HEG,且EF=EG,AE=EH,/.AAEFAHEG(SAS)./A=/EHG=120=ZAEH,AD/HG,点G的轨迹是过点H且平行于AD的直线, 当DG,HG时，线段GD长度有最小值，/HEM=60°,EH=2,HM±AD, .EM=1,MH=3,线段GD长度的最小值为真，5、如图，长方形ABCD中，AB=

16、3,BC=4,E为BC上一点，且BE=2,F为AB边上的一个动点，连接EF,将EF绕着点E顺时针旋转45倒EG的位置，连接FG和CG,则CG的最小值为.解析：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将4EFB绕点E旋转45°,使EF与EG重合，得到EFBEHG,从而可知EBH为等腰直角三角形，点G在垂直于HE的直线HG上，作CM±HG,则CM即为CG的最小值，作ENXCM,可知四边形HENM为矩形，则CM=MN+CN=HE+EC=13、.226、如图，菱形ABCD的边长是6,/A=60°,E是AD的中点，F是AB边上一个

17、动点，EG=EF且/GEF=60°,则GB+GC的最小值是第7页（共11页）解析：取AB的中点H,连接HG、HE、HG、BE、CEMUAEF04HEG,./GHE=/A=60,HG/AD,可知BHGEHG,.BG=GE,.CE的长就是GB+GC的最小值；在RtaEBC中，EB=3网，BC=6,.EC=3G，GB+GC的最小值用.7、如图，平行四边形ABCD中，ZB=60°,BC=6,AB=5,点E在AD上，且AE=2,点F是AB上一点，连接EF,将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG,连接GD,则线段GD长度的最小值为.解：将线段AE绕点E逆时针旋转120,得

18、到EH,连接HG,过点H作HMLAD,四边形ABCD是平行四边形，ZA+ZB=180；z.ZA=120； .将线段AE绕点E逆时针旋转120得到EH,将线段EF绕点E逆时针旋转120得到EG,EF=EG=4,AE=EH,ZAEH=ZFEG=120,ZDEH=60；ZAEF=ZHEG,且EF=EG,AE=EH,.AE图HEG(SASZA=ZEHG=120=ZAEH,AD/HG,.点G的轨迹是过点H且平行于AD的直线， 当DGLHG时，线段GD长度有最小值，ZHEM=60；EH=2,HMXAD,EM=1,MH=“，.线段GD长度的最小值为V3,8、如图，AB=8,点M为线段AB外一个动点，且AM=

19、4,MB=MN,ZBMN=90,则线段AN的最解析：如图，连接BN,将AAMN绕着点M顺时针旋转90°得至连接AP,则AAPM是等腰直角三角形，MA=MP=4,BP=AN,PA=W2,vAB=8,线段AN长的最大值=线段BP长的最大值， 当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值=AB+AP=8+M.9、如图，在4ABC中，ZABC=60,AB<AC,点P是4ABC内一点，AB=6,BC=8,则PA+PB+PC第8页（共11页）的最小值是解析：如图，将APBF绕点B逆时针旋转60°得至iJBFE,作EH±CB交CB的延长线于H./ABC=60

20、6;,/PBF=60°,ABP=/EBF,./EBF+/BC=60°,/EBC=120°,.PB=BF,ZPBF=60°,.PBF是等边三角形，PB=PF,.PA=EF,PA+PB+PC=CP+PF+EF,根据两点之间线段最短可知，当E,F,P,C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值=EC的长,在RtAEBH中，./EBH=60°,EB=6,BH=BE?cos60=3,EH=EB?sin60=3/3,.CH=BH+CB=3+8=11,ec=Vch2+eh2=10、如图，菱形ABCD的边长为4,/ABC=60°,在菱形ABCD内部有

21、一点P,当PA+PB+PC值最小时PB的长为D3CDr连接PE、DE,则当B、P、E、D四点共线时,解析：将APC绕点C顺时针旋转60°,得到DEC,PA+PB+PC值最小，最小值为BD.将4APC绕点C顺时针旋转60°,得到DEC,APCADEC,，CP=CE,/PCE=60°,.PCE是等边三角形，PE=CE=CP,ZEPC=ZCEP=60°.菱形ABCD中，/ABP=ZCBP=ABC=30°,.PCB=ZEPC-ZCBP=30°,./PCB=/CBP=30°,BP=CP,同理，DE=CE,，BP=PE=ED.连接AC,

22、交BD于点O,贝UAC±BD.在RtABOC中，/BOC=90°,/OBC=30°,BC=4,即当PA+PB+PC值最小时BO=BC?cosZOBC=4XPB的长为更，.,BD=2BO=4g,BP=BD=11、如图，四边形ABCD中,AB=3,BC=2,AC=AD,ZACD=60°,则对角线BD长的最大值为（）A.5B.C.2.'：第9页（共11页）D.1解析：如图，在AB的左侧作等边三角形ABK,连接DK.则AK=AB=BK=3,/KAB=60/DAC=/KAB,/DAK=/CAB,rDA=CA在ADAK和4CAB中，*/DAK=/CAB,/DAKCAB(SAS),，DK=BC=2,JA二BA DK+KB>BD,DK=2,KB=AB=3, 当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB=5.故选：A.12、如图，在四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=60°,BC=46,若对角线BDCD于点D,则