北京朝阳区2017-2018学年高二上学期期末考试数学理试题解析版

1、北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高二年级数学理科试卷2018.1(考试时间100分钟满分120分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 .命题“VxER,x十3mx>0”的否定是A.ERB.r1,-1C.r1.二小】°D."ER,.【答案】B【解析】根据全称命题的否定为特称命题，所以命题“VxGR,x+sinx>0”的否定是“叫ER,%+sinx0三。”故选B.2 .设m,n是两条不同的直线，a,p,T是三个不同的平面，则下列命题为假命题.的是A.若山里，m_L%n/%，则

2、mnB.若底,口，&，丁，则的了C.若山,下，m匚ct,则nir7PD.若此，瓦nl(3,则m，n【答案】B【解析】对于A:若山邛，m-La,则m又n/%所以mIn,故A对；对于B:若口1瓦a1y,则M1y或P与y相交，故B错；对于C:若山小，mUct,则m那，故C对；对于D:若口1口，m-La,n_LR,则mln,故D对；故选B.3 .蜕=3”是“直线x-y+4=0与圆(x-a)2I(y疗=S相切”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线x-y7=。与圆(X-a)2-fy-3)2=8相切，则圆心03到直线X-y-4=0的

3、距离|b-3'+4|a卜11yr3或r=-5,故捺=3"是"直线x.厂4=0与圆（x_/+&_3f=8相切”的充分而不必要条件故选A.4 .如图，在三棱锥P-ABC中，D,E,F分别是侧棱PA,PB,PC的中点.给出下列三个结论：BC/平面DEF；平面DEF4；平面ABC；三棱锥P-DEF与三棱锥P-ABC的体积比为1:4,其中正确的个数是A.B.C.1D.【答案】C【解析】在三棱锥P-ABC中，D,E,F分别是侧棱PA,PB,PC的中点，所以EF*BC,EF匚平面DEF,所以BC/平面DEF；故对；同理可得AB。平面DEF,又AB门BC=B,所以平面DEF

4、/；平面ABC;故对；三棱锥P-DEF与三棱锥P-ABC的边长的相似比为1:2,所以体积比为"；故错；故选C.5 .已知圆匚)1：x-Iy2-4x+2y+4=0,圆。2:(x1反+/=4,则两圆的位置关系为A.外离B.外切C.相交D.内切【答案】C【解析】圆:x2+y3-4KI2yi-4=0,即以一2+(yil)2=1,圆口2:(x-I)2+y3=4,圆心距离为l，(2-1+(1-0-=也父3,所以两圆的位置关系为相交；故选C.6 .已知如图为某三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积为A.i+±.十；B."匚*&C.D.-./<【答案】D【解析】将此三视

5、图还原为几何体，如图:底面aABC1为等腰直角三角形，腰长为也,斜边长AC为2,有一条侧棱PB垂直于底面，且PB长为亚，由PB1面ABC,ABLBC可得PB_LAB.PB_LEC,由此可得PA=PC=#,所以$&=1，S&pbc=Sapab=、kWx=7",SaPAC=-x2x2=2所以表面积为I1彳式2+2=3】46；上上上£故选A.7.设F是抛物线C：/=舐的焦点，P是抛物线C上一点，点M在抛物线C的准线上，若11=4而，则直线FP的方程为A=Y'不B.；=：了不.-：C.：.=：I：)D.:：=:'.,，J<<【答案】A【解

6、析】抛物线5=故的焦点F，由p向准线做垂线，垂足为N,则叫=1网，所以|MP|=3|PN|,设直线FP的倾斜角为6,则8拗-0)=-8确=-,-tanO=一现2,即斜率为-2力，根据对称性可知另一条直线的斜率为狙故直线方程为y=±刖区x-2).故选A.点睛：本题中利用向量相等转化到线段长度的等量关系，借助于抛物线的定义转化，利用直角三角形求出关于倾斜角的余弦值，即可得出直线的斜率，利用对称性即得出满足题意的两条直线8.已知点P（7一。），过点Q（1、0）作直线2ax十值十防十2b=。（a,b不同时为0）的垂线，垂足为H,则|PH的最小值为A.B.C.ID.【答案】B【解析】直线2ax

7、十口十b）y十2b=0整理得十力十b（y+2）=0可知直线过定点T2）,所以点H落在以QT为直径的圆上，点H的轨迹为6，+1产=,圆心为CL-）半径为1,|PH的最小值为5一1;故选B.点睛：本题关键是分析出直线过定点，从而利用垂直关系找到垂足的轨迹方程，最后点点距离的最小值转化到点到圆心的距离减掉半彳5,重点是转化的思想二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，答案写在答题卡上.9.在空间直角坐标系。-x”中，点式1,2,三）关于平面xOz对称的点白坐标为.【答案】I一；【解析】设所求点G的坐标为（fz）则点P与点G关于平面x0z对称，可得P,G两点的横坐标和竖坐标相等，而纵坐标互为

8、相反数，即x=l,y=-2,z=3即所求点的坐标为（1一-2,3）;故答案为.一、10 .若直线.一外十5=。与圆工打产=广（Q0）相交于E两点，。为坐标原点，且£AOB=1对，则】的值为【答案】2【解析】若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2（r>0）交于A、B两点，O为坐标原点，且/AOB=120°,则120"I$_1圆心（0,0）至U直线3x-4y+5=0的距离d=rcos1丁=1,即产方=?解得r=2,故答案为2.22xy11 .设双曲线丁W=1gA0,bA0）的一个焦点为F虚轴的一个端点为B如果直线FB与该双曲线的一条渐近a-b-线垂直，那么

9、此双曲线的离心率为.y-b【解析】双曲线:1但则焦点F（c,0）,B（0,b）直线FB：bx+cy-bc=0与渐近线y=f垂直,a2b-a所以上-9=-1.，/=耻所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以e=t由或e=L（舍）；ca22山公田,5+1故答案为12 .如图，已知正方体ABCD-AHCD的棱长为1,E,F,K分别为棱AQ】，CCl和BC的中点，则三棱锥K-EEB的体积为.【答案】【解析】三棱锥K-EFE1的体积与三棱锥E-KPS1的体积相等，S.xix-=-,锥体的占201222228高为点E到面BCCE的距离等于1,所以体积为-x-x1=1；388故答案为.813 .已知平

10、面内圆心为M的圆的方程为（x-3+尸=16,点P是圆上的动点，点A是平面内任意一点，若线段PA的垂直平分线交直线PM于点Q,则点Q的轨迹可能是.（请将下列符合条件的序号都填入横线上）椭圆；双曲线；抛物线；圆；直线；一个点【答案】、【解析】Q是线段PA的中垂线上的点p；.QA=PQ，若A在圆M外部,|QA-QM|=|PQ-QM|=PM=4?MA4，二Q点轨迹是以A，M为焦点的双曲线；（2）若A在圆M上，则FA的中垂线恒过圆心M,即Q的轨迹为点M；（3）若R在圆M内部且不为圆心M,则MA<4，QM+QRQM+QPN点轨迹是以M2为焦点的椭圆；（书若A为圆M的圆心，即A与M重合时,Q为半径PM

11、的中点一飞点轨迹是以M为圆心，以2为半径的圆.综上，Q点轨迹可能是四种情况.故答案为.14 .设平面内到点（L。）和直线x=T的距离相等的点的轨迹为曲线C,则曲线C的方程为；若直线I与曲线C相交于不同两点P,Q,与圆国-+/=J（r>0）相切于点T,且T为线段PQ的中点.在r的变化过程中，满足条件的直线有门条，则口的所有可能值为.【答案】(1).丁=.(2).1,2,4【解析】(1)由抛物线定义知，曲线C是以(1,0)为焦点、x=-1为准线的抛物线，曲线C的方程为：y2=4x;(2)设直线l:x=ky+b,与方程/=可工联立可得y2-4ky-4b=0,设P(x1，y1)，Q(X2,y2)

12、,则y+y2=4k,2k，x1+x2=4k2+2b,.-M(2k2+b,2k),.AB?koM=-1,，Om=-=,:21?+b=l,，b=12k2,.=16k2+b)2Kb-3BR/鼻>0,.-.0<k2<1,半径r=-j=Rl+k"所以当2MY*?时，直线有4条；当0HY2或入仅三m3时，直线有2条；当r33时直线有1条；故答案为(1).一.(2).1,2,4点睛：本题利用直线与抛物线进行联立，得出中点坐标，利用直线与圆相切得出切点与圆心连线与直线垂直得出所设变量的等量关系，利用判别式大于0得出半径的范围即可得解，注意斜率不存在时的直线符合题意.三、解答题：本大

13、题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 .如图，在四棱锥P-ABUD中，四边形ABCD为菱形，PA1底面ABCD.(I)求证：CP1BD；(n)若E,T分别为线段PA,BC的中点，求证：BE/平面PDT."TC【答案】(I)见解析(n)见解析【解析】试题分析：(I)连结AC,因为四边形ABCD为菱形，所以AC_LBD.因为PA1底面ABCD,所以PALBD,由此可得出线面垂直，从而得出线线垂直；11(n)取PD中点F，连结EF,TF.由中点证出EF.1/AD,EF=-AD,BT/AD,BT=-AD所以EF/ET,EF=BT.£工故四边形BEFT为

14、平行四边形，所以BE4TT,从而可证得EE7平面PDT.试题解析:(I)证明：连结AC,因为四边形ABCD为菱形，所以AC_LHD.因为PA1底面ABCD,所以PA1BD.又因为ACnPA=A,所以BDJ平面PAC.故CP1BD.(n)证明：取PD中点F,连结EF,TF.又因为E为线段P区中点，所以EF/AD,EF=-AD.2因为四边形ABCD为菱形，T为线段BC的中点，所以BT"AD,BT=!aD.所以EF/7ET,EF=ET.故四边形BEFT2为平行四边形，所以BE.7FT.又因为BE仁平面PDT,FT匚平面PDT,所以BE/?.平面PDT.16 .在平面直角坐标系xDy中，设动

15、点P到两定点岫-2,0),ML。)的距离的比值为2的轨迹为曲线C.(I)求曲线C的方程；(n)若直线I过点M,且点N到直线I的距离为1,求直线I的方程，并判断直线I与曲线c的位置关系.【答案】(I)(x疔+y*=4(n)见解析,|PM|【解析】试题分析：(I)设为所求曲线C上任意一点，由题意得，-=2.又他2,。)，WL0),|PN|所以卮亍了=冰.3寸,化简得(x-2yIy2=4,即得出曲线C的方程；(n)当直线I的斜率不存在时，不符合题意.设直线1的方程为y=+2),因为点N到直线I的距离为I,即|k+2k|I"=1,解得k=±褐.即得出直线I的方程，利用圆心C到直线1

16、的距离与半径关系得出直线I与曲线C的位业十I2承置关系.试题解析：一，IPMI一(I)设为所求曲线C上任意一点，由题意得，=2.又地2,0),所以IPNI&x十十y±=2x_十,化简得(x-2)°+/=4.故曲线C的方程为(x-2,+/=4.（II）当直线I的斜率不存在时，不符合趣意.设直线I的方程为V=k仅+21因为点N到直线I的距离为1,即Ik+2kl1I用言=，解得k=土表.所以直线I的方程为V二土嘉（X+2）喇±2必+2=0.因为圆心C到直线I的距离为，2（半径）斯以直线I与曲线C相交，17 .如图1,在AMBC中，BM=2BC=4,BM.LBC,

17、A,口分别为BM,MC的中点.将aMAD沿AD折起到PAD的位置，使4>AB=9（T,如图2,连结PB,PC.（I）求证：平面PAD1平面ABUD;（n）若E为PC中点，求直线DE与平面PBD所成角的正弦值；（出）线段PC上是否存在一点G,使二面角G-AD-P的余弦值为零？若存在，求出祟的值；若不存在，请说明理由.事1【答案】（I）见解析（n）（m）34【解析】试题分析：（I）因为A,D分别为MB,MC中点，所以AD/BC.因为BM_LBC,所以BMAD.所以PA1AD.因为日PAB=90所以PAAB.又因为AB门ADW,所以PA_L平面ABCD,由此可以证明平面PAD1平面ABCD;（

18、n）因为PA1AB,PA_LAD,占PAB=9伊,所以AP,AB,RD两两互相垂直.以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,得出平面PBD的一个法向量n=L2D,设直线DE与平面PBD所成角为6,则51no=|cos<DE,n>|=（出）假设线段PC上存在一点G,使二面角G-AD-P的余弦值为一.设=入（0£柒三）,得10PC,出6（2兀2工2-端，AD=®I，AG=/兀"淘.易得平面PAD的一个法向量为=（1,0,0）,求出平面ADG的一个法向量=则有=,即f、=工,解得A的值，即得.11-1hINiodio解.试题解析：（I）证：因

19、为A,D分别为MB,MC中点，所以ADBC.因为BM_LBC,所以BMLAD.所以PA1AD.因为£PAB=9伊，所以PALAB.又因为ABCAD=A,所以PA1平面ABCD.又因为PAu平面PAD,所以平面PAD1平面ABCD.（n）解：因为PAAB,PA1AD,ZPAB=90。，所以AP,AB,AD两两互相垂直.以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,依题意有A(OQO),BQ&0),CQ20),DLO),晔,E(LL1).贝底=Q2=2),DE-(lAl)，阮一2,醒=(0，靠=020)，&=QQQ).设平面PBD的一个法向量11二（均,打，4）,

20、-2%一力=0,人、a|1十1|由7+J_n令Vi=2得$=1,%=1.所以口=口21).设直线DE与平面PBD所成角为6,则51no=|cos<DE,n>|=故直线DE与平面PBD所成角的正弦值为也（出）解：假设线段PC上存在一点G,使二面角G-AD-P的余弦值为千.PG设况小¥口），=X（0<<1）,则即晶=（飞，¥0向-2）=族二=（2gA-%.所以，.，.一一一二.易得平面PAD的一个法向量为=（1,0,0）.设平面ADG的一个法向量%=（均.力,少,则有力=0,12双-2电+-2a)z;=0.令4=工，则n广（入_L6%）若二面角G-.AD

21、-P的余弦值为年,10回西二生，即hilhlioA-1解得，X.=-,互=一.又因为口EX三1,所以兀=-.244故线段PC上存在一点G,使二面角G-AD-P的余弦值为，且巴=110PC4点睛：本题利用空间直角坐标系来解决立体中的线面角及存在性问题，关键是求对平面的法向量，对学生的计算水平要求较高18.已知椭圆C:.l(a>bA0)的右焦点为离心率为也.过定点式0,2)的直线I交椭圆C于不同的两点A,B(点E在点A,P之间).(I)求椭圆C的方程;(n)若糜=1感,求实数i的取值范围;(出)若射线BO交椭圆C于点M(0为原点)，求AABM面积的最大值.2=1(II)gl)(出)&

22、又因【解析】试题分析：(I)设椭圆C的半焦距为由题意，c=1由M=解得t?=i.即得出椭圆C的方程;(n)当直线I斜率不存在时，其方程为x=0,由pfe=AP3，得入=§,当直线I斜率存在时，设其为k,则直线I方程为y=代十20).由匣=m，可得卜_丁薪12)1(均+f(贝晨+=-2(1)由xlx2y+y=l得(II2k3)x21-Skx+6=0,判另1J式A=64k，=2.1+2k3)>。，解得把韦达定理的式子带入(1)得出ZJ32k'32I+22号(ID)由椭圆的对称性可知,旧O|=|OM|,aabm-23aacb,“熊3(1I2k2)-十J_J一，由屋孑即可得出实数A的取值范围;设点。到直线I的距离为d,由(n)可知k2>-,£.且-2416k2-241.16,利用基本不等式可求得%a侬的最大值即可得出AABM面积的最大x(2k-3)-F-+8J2k-3值.试题