油气层渗流力学第二版第二章(张建国版中国石油大学出版社)

1、第二章第二章 油气渗流的数学模型油气渗流的数学模型渗流速度、地层压力、温度、饱和度渗流速度、地层压力、温度、饱和度力学、物理化、学现象的内在联系及规律力学、物理化、学现象的内在联系及规律建立油气数学模型建立油气数学模型模型求解模型求解第一节第一节 建立油气渗流数学建立油气渗流数学模型的原则模型的原则p 渗流数学模型的建立基础渗流数学模型的建立基础p 渗流数学模型的结构渗流数学模型的结构p 建立渗流数学模型的步骤建立渗流数学模型的步骤一、渗流数学模型的建立基础一、渗流数学模型的建立基础 把一定地质条件下油气渗流的力学问题转换为把一定地质条件下油气渗流的力学问题转换为数学问题数学问题，对数学问题利

2、用合适的方法对数学问题利用合适的方法求解求解后，后，运用到油气田开发运用到油气田开发的的实际生产中。实际生产中。 将渗流过程中的各种将渗流过程中的各种力学力学、物理物理、化学化学现象和规律，用数现象和规律，用数学语言进行描述，实际上就是用学语言进行描述，实际上就是用微分方程或微分方程组微分方程或微分方程组对对这些现象和规律加以表达。这些现象和规律加以表达。 渗流的渗流的形态和类型形态和类型不同，它们遵循的力学不同，它们遵循的力学规律规律有差异，伴有差异，伴随渗流过程出现的物理化学随渗流过程出现的物理化学现象现象也不同，因此也不同，因此油气渗流数油气渗流数学模型的类型很多学模型的类型很多。 孔隙

3、结构：与数学模型相对应孔隙结构：与数学模型相对应 边界条件：几何形状、边界性质、参数分布、边界条件：几何形状、边界性质、参数分布、 初始条件：原始状况初始条件：原始状况 实验基础实验基础 利用渗流物理基础实验认识利用渗流物理基础实验认识力学现象和规律力学现象和规律，是建，是建立数学模型的立数学模型的关键关键。 地质基础地质基础 无穷小微元体上：分析力学现象，物理量之间内在联无穷小微元体上：分析力学现象，物理量之间内在联系，建立微分方程（数学模型）。数学模型建立后，用数系，建立微分方程（数学模型）。数学模型建立后，用数学理论论证是否有学理论论证是否有解？连续？唯一解？连续？唯一？ 科学的数学方法

4、科学的数学方法二、渗流数学模型的结构二、渗流数学模型的结构 渗流数学模型要综合反映渗流过程中，各种现象（力渗流数学模型要综合反映渗流过程中，各种现象（力学、物理学、化学及相互作用）的内在联系，其内容包括：学、物理学、化学及相互作用）的内在联系，其内容包括：n 运动方程（必须）运动方程（必须）n 状态方程（弹性）状态方程（弹性）n 质量守恒方程（连续性方程）（必须）质量守恒方程（连续性方程）（必须）n 能量守恒方程（非等温）能量守恒方程（非等温）n 附加方程（如：扩散方程）附加方程（如：扩散方程）n 初始条件和边界条件（必须）初始条件和边界条件（必须）三、建立渗流数学模型的步骤三、建立渗流数学模

5、型的步骤 确定建立模型的目的确定建立模型的目的 研究各物理量的条件研究各物理量的条件 确定因变量（未知量）与其它物理量之间的关系确定因变量（未知量）与其它物理量之间的关系 写出数学模型所需的综合微分方程（组）写出数学模型所需的综合微分方程（组） 量纲分析量纲分析 确定数学模型的适定性确定数学模型的适定性 给出边界条件和初始条件给出边界条件和初始条件数学模型解决的问题有四类：数学模型解决的问题有四类：（1）压力分布，）压力分布，p=f(x,y,z,t)（2）渗流速度分布，）渗流速度分布，v=f(x,y,z,t)（3）饱和度分布，）饱和度分布，S=f(x,y,z,t)（4）界面移动规律，分界面）界

6、面移动规律，分界面t 1确定建立模型的目的确定建立模型的目的（1）过程状况：等温？非等温？）过程状况：等温？非等温？（2）系统状况：油藏？气藏？单组分？多组分？）系统状况：油藏？气藏？单组分？多组分？（3）相态状况：单相？多相？混相？）相态状况：单相？多相？混相？（4）流态状况：线性渗流？非线性渗流？非牛顿渗）流态状况：线性渗流？非线性渗流？非牛顿渗流？物理化流？物理化 学渗流？学渗流？ 2研究各物理量的条件研究各物理量的条件（1）渗流速度与压力梯度：写出运动方程）渗流速度与压力梯度：写出运动方程（2）物性参数与压力：写出状态方程）物性参数与压力：写出状态方程（3）渗流速度或饱和度与时间：写出

7、连续性方程）渗流速度或饱和度与时间：写出连续性方程（4）其它物理化学作用的函数关系：能量转换方程、扩散方程）其它物理化学作用的函数关系：能量转换方程、扩散方程, , ,iidpvfA Bio w gdL iiiiAfpBfp, , , , ,vf x y z t A B, , , , ,Sf x y z t A B 3确定未知量与其它物理量之间的关系确定未知量与其它物理量之间的关系连续性方程作为综合方程，其它方程代入连续性方程，连续性方程作为综合方程，其它方程代入连续性方程，得到描述渗流过程全部物理现象的统一微分方程。得到描述渗流过程全部物理现象的统一微分方程。量纲分析可以检验所建数学模型是否

8、正确。检查所量纲分析可以检验所建数学模型是否正确。检查所建数学模型量纲是否一致，是否是齐次的。建数学模型量纲是否一致，是否是齐次的。 4数学模型所需的综合微分方程（组）数学模型所需的综合微分方程（组） 5量纲分析量纲分析数学模型建立后，用数学理论论证是否有解？连续？唯一？数学模型建立后，用数学理论论证是否有解？连续？唯一？ 6确定数学模型的适定性确定数学模型的适定性 7给出边界条件和初始条件给出边界条件和初始条件第二节第二节 运动方程运动方程一、运动方程一、运动方程油气渗流速度与孔隙压力之间关系方程，描述渗流过程中力学规律油气渗流速度与孔隙压力之间关系方程，描述渗流过程中力学规律 ijkxyz

9、 哈密尔顿算子哈密尔顿算子第三节第三节 状态方程状态方程 描述由于弹性而引起力学性质随状态而变化的方程式称描述由于弹性而引起力学性质随状态而变化的方程式称为为状态方程状态方程 1LpLdVCVdp 式中：式中：Cp液体弹性压缩系数，液体弹性压缩系数，MPa-1VL液体的绝对体积，液体的绝对体积，m3dVL压力改变压力改变dp时相应液体体积的变化量，时相应液体体积的变化量，m3液体状态方程液体状态方程弹性压缩或膨胀时液体质量弹性压缩或膨胀时液体质量M是不变的，即是不变的，即微分得到：微分得到：1LpLdVCVdp 密度弹性压缩系数密度弹性压缩系数LVM dMdVL2 dpdC 1 代入代入取取C

10、为常数，并设为常数，并设pp0，0，pp，积分法定，积分法定按麦克劳林级数展开（只取前两项）按麦克劳林级数展开（只取前两项）p0大气压力，大气压力，MPa0大气压下液体的密度，大气压下液体的密度，kg/m3任意压力下液体密度，任意压力下液体密度，kg/m3)(1 ooppC)(oppCoe)(lnooppC dpdC 1 实际实际C是变量，它随温度和压力不同略有改变：是变量，它随温度和压力不同略有改变：水温度从水温度从1515增至增至115115时，时，C值开始降低，然后值开始降低，然后增加，变化幅度可达增加，变化幅度可达1010压力从压力从0.7MPa0.7MPa变到变到42.2MPa42.

11、2MPa是，是，C约减少约减少1212地下渗流，油气层温度大致不变，整个渗流过程看地下渗流，油气层温度大致不变，整个渗流过程看成等温成等温一般把一般把C看成常数，在看成常数，在1010-4-4MPaMPa-1-1数量级数量级 岩石状态方程岩石状态方程压力变化会引起孔隙大小发生变化压力变化会引起孔隙大小发生变化孔隙大小变化引起渗透率的变化孔隙大小变化引起渗透率的变化岩石压缩性用压缩系数表示：岩石压缩性用压缩系数表示：dpdVVC 1 dpdC 1 因为因为C岩石压缩系数岩石压缩系数V 岩石孔隙体积岩石孔隙体积所以所以dpdC 1 分离变量，分离变量，并在并在pp0， 0，pp， 条件下条件下积分

12、积分)(oppCoe 按麦克劳林级数展开（只取前两项）按麦克劳林级数展开（只取前两项）)(1ooppC 式中：式中：p0大气压力；大气压力； 0大气压力下岩石的孔隙度；大气压力下岩石的孔隙度； 任一压力任一压力p时岩石的孔隙度。时岩石的孔隙度。弹性介质的状态方程弹性介质的状态方程弹性介质的状态方程弹性介质的状态方程描述了孔隙介质在符合弹性状态变化范围内，孔隙度描述了孔隙介质在符合弹性状态变化范围内，孔隙度的变化规律。的变化规律。当压力降低时，孔隙缩小，将孔隙中部分流体排挤出当压力降低时，孔隙缩小，将孔隙中部分流体排挤出去，而成为驱动流体的弹性能量。去，而成为驱动流体的弹性能量。owCCC压缩系

13、数：压缩系数：第四节第四节 质量守恒方程质量守恒方程 在地层中任取一个微小在地层中任取一个微小的单元体，在单元体内若没的单元体，在单元体内若没有源和汇存在，那么包含在有源和汇存在，那么包含在单元体封闭表面内的流体质单元体封闭表面内的流体质量变化应等于同一时间间隔量变化应等于同一时间间隔内流体流入和流出质量之差。内流体流入和流出质量之差。质量守恒定律（连续性原理）：质量守恒定律（连续性原理）：渗流过程中渗流过程中常见的连续性方程常见的连续性方程都遵守质量守恒原理。都遵守质量守恒原理。在渗流数学模型中，用它来描述渗流过程各种力学规律和在渗流数学模型中，用它来描述渗流过程各种力学规律和物理化学规律之

14、间的内在联系，通过把物理化学规律之间的内在联系，通过把运动方程运动方程、状态方程状态方程和和其它方程其它方程在在质量守恒定律质量守恒定律上联系起来，成为一个描述渗流过程上联系起来，成为一个描述渗流过程全部力学过程的微分方程组。全部力学过程的微分方程组。 描述运动要素（描述运动要素（速度速度、密度密度、饱和度饱和度、浓度浓度）随时间和坐）随时间和坐标的变化关系，在标的变化关系，在稳定渗流稳定渗流时则是描述这些要素和坐标之间的时则是描述这些要素和坐标之间的变化。变化。l 微分法建立连续性方程微分法建立连续性方程l 积分法建立连续性方程积分法建立连续性方程常见连续性方程常见连续性方程l 单相流体连续

15、性方程单相流体连续性方程l 两相流体连续性方程两相流体连续性方程l带传质扩散过程的连续性方程带传质扩散过程的连续性方程连续性方程建立方法连续性方程建立方法渗流系统渗流系统渗流环境渗流环境控制体控制体控制体元控制体元xyz(x)v(x) 微分法建立连续性方程微分法建立连续性方程xyzvx2xxvdxvx2xxvdxvx2xxvdxvdydzdtx2xxvdxvdydzdtx2xxvdxvdydzdtx2xxvdxvdydzdtx流入质量流入质量流出质量流出质量单元体内质量增量单元体内质量增量xvdxdydzdtx在地层中取微小六面体单元，其中在地层中取微小六面体单元，其中M点质点质量速度在各坐标

16、上分量为量速度在各坐标上分量为x 、 y、zp 质量守恒方程质量守恒方程 微分法建立连续性方程微分法建立连续性方程xyz同理同理y方向增量方向增量yvdxdydzdtyyvdxdydzdtyz方向增量方向增量zvdxdydzdtz微元体内总质量流量差微元体内总质量流量差yxzvvvdxdydzdtxyzp 质量守恒方程质量守恒方程 微分法建立连续性方程微分法建立连续性方程微元体内流入与流出的差别，是由于岩石和流体的弹性微元体内流入与流出的差别，是由于岩石和流体的弹性六面体内的孔隙体积：六面体内的孔隙体积：六面体内的流体质量：六面体内的流体质量：单位时间内流体质量变化率：单位时间内流体质量变化率

17、：dt时间流体质量的总变化：时间流体质量的总变化：p 质量守恒方程质量守恒方程 微分法建立连续性方程微分法建立连续性方程微元体内流入与流出的差与质量变化相等微元体内流入与流出的差与质量变化相等()()()()yxzvvvdxdydzdtdxdydzdtxyzt()()()()yxzvvvxyzt 单相均质可压缩流体在弹性介质中渗流的质量守恒方程单相均质可压缩流体在弹性介质中渗流的质量守恒方程（连续性方程）（连续性方程）p 质量守恒方程质量守恒方程 微分法建立连续性方程微分法建立连续性方程微元体内流入与流出的差与质量变化相等微元体内流入与流出的差与质量变化相等()()()()yxzvvvxyzt

18、0)()(vt散度散度p 质量守恒方程质量守恒方程 微分法建立连续性方程微分法建立连续性方程0)()(vt 如果不可压缩流体（如果不可压缩流体（=常数）在刚性介质中流动（常数）在刚性介质中流动（=常常数），则连续性方程为：数），则连续性方程为：物理意义：物理意义：六面体流出流入质量差为零，即流入六面体的质六面体流出流入质量差为零，即流入六面体的质量与流出的质量相等，它仍然是一个质量守恒方程式量与流出的质量相等，它仍然是一个质量守恒方程式稳稳定渗流的连续性方程。定渗流的连续性方程。p 质量守恒方程质量守恒方程 积分法建立连续性方程积分法建立连续性方程 ,M tM t dVdVdV体积内的质量体积

19、内的质量整个整个S表面的流量体的表面的流量体的质量质量dSnvsp 质量守恒方程质量守恒方程 积分法建立连续性方程积分法建立连续性方程 ,X t v X t n x dVvndVdS发现方向流过截面的流量发现方向流过截面的流量整个整个体积内体积内的流体质量的流体质量dVp 质量守恒方程质量守恒方程 积分法建立连续性方程积分法建立连续性方程t到到d+dt时刻弹性作用，时刻弹性作用，dV质量变化质量变化dVtdt)(t到到d+dt通过通过S表面的质量流量表面的质量流量dSnvdts质量守恒得质量守恒得dVtdt)(dSnvdtsp 质量守恒方程质量守恒方程 积分法建立连续性方程积分法建立连续性方程

20、t到到d+dt时刻弹性作用，时刻弹性作用，dV质量变化质量变化dVtdt)(t到到d+dt通过通过S表面的质量流量表面的质量流量dSnvdts质量守恒得质量守恒得dSnvdtdVtdts)(p 质量守恒方程质量守恒方程 积分法建立连续性方程积分法建立连续性方程根据奥高定律根据奥高定律dSnvdtdVtdts)(dvvdSnvs)(的任意性假定被积函数在的任意性假定被积函数在连续，单相渗流的连续性方程为连续，单相渗流的连续性方程为)()(vt0)()(vt第五节第五节 典型油气渗流微分典型油气渗流微分方程的推导方程的推导一、单相不可压缩性液体稳定渗流微分方程一、单相不可压缩性液体稳定渗流微分方程

21、 假设单相液体在均质介质中的渗流为满足假设单相液体在均质介质中的渗流为满足线性渗流规律线性渗流规律的的等温稳定渗流等温稳定渗流过程，不过程，不考虑多孔介质及流体的压缩性考虑多孔介质及流体的压缩性。连续性方程连续性方程pKv0)(v0)(pK运动方程运动方程K/是常数是常数0)(pK0zpzypyxpx0222222zpypxp单相不可压缩液体在均质地层中稳定渗流的数学模型单相不可压缩液体在均质地层中稳定渗流的数学模型0222222zpypxp02 p 2222222zyx拉普拉斯算符拉普拉斯算符 单相不可压缩性液体稳定渗流微分方程单相不可压缩性液体稳定渗流微分方程各种坐标系下的拉普拉斯算子的表

22、达式各种坐标系下的拉普拉斯算子的表达式坐标系坐标系三维问题三维问题一维问题一维问题直角坐标直角坐标(x,y,z)圆柱坐标圆柱坐标(r,z)球坐标球坐标(r,z)线性渗流、多孔介质和液体可压缩、等温不稳定渗流线性渗流、多孔介质和液体可压缩、等温不稳定渗流pKv运动方程运动方程状态方程状态方程)(1 ooppC)(1 ooppC弹性孔隙介质弹性孔隙介质弹性液体弹性液体质量守恒方程质量守恒方程状态方程状态方程)(1 ooppC)(1 ooppC弹性孔隙介质弹性孔隙介质弹性液体弹性液体0)(vt运动方程、质量守恒方程得运动方程、质量守恒方程得()0vtpKv()0Kpt 状态方程得状态方程得)(1 o

23、oppC)(1 ooppC020oooopoopCCppC Cpp 0oooopCCpp tC0ooootCpp ootpCtt ()0Kpt ootpCtt ()ootpKCpt ()()()()KKpKpKppxxyyzz00()()CppKpKpexxxx00()CppKpexx00()CppKeCxx00(1()()CppKCxx0()CpKCxx00()()CpKKpCxxxx20ootKpCpt 22220000222KKKKppppxyz20oKppCt二、二、 单相可压缩性液体不稳定渗流微分方程单相可压缩性液体不稳定渗流微分方程20oKppCt0oKC导压系数，单位时间压力传播

24、的面积导压系数，单位时间压力传播的面积单相可压缩流体渗流微分方程单相可压缩流体渗流微分方程二阶抛物线方程，又称热传导方程二阶抛物线方程，又称热传导方程数理方程中称为扩散方程数理方程中称为扩散方程稳定渗流是不稳定渗流的特例稳定渗流是不稳定渗流的特例第五节第五节 数学模型的边界条数学模型的边界条件和初始条件件和初始条件定解条件：边界条件和初始条件定解条件：边界条件和初始条件边界条件：在研究区域上，对物理过程空间位置状况的规边界条件：在研究区域上，对物理过程空间位置状况的规定条件。这类问题称为定条件。这类问题称为“边值问题边值问题”。初始条件：在研究区域上，对物理过程开始瞬间状况的规定初始条件：在研

25、究区域上，对物理过程开始瞬间状况的规定条件。即初始条件是对时间而规定的条件，这类条件。即初始条件是对时间而规定的条件，这类问题称为问题称为“初始值问题初始值问题”。如开始状况的压力分。如开始状况的压力分布、饱和度分布等。布、饱和度分布等。p渗流数学模型的三种边界条件渗流数学模型的三种边界条件压力表示的边界条件压力表示的边界条件边界所有点的压力（直接给出边界上的压力或势值）边界所有点的压力（直接给出边界上的压力或势值）),(),(tzyxfpzyxfp或),(),(tyxfpyxfp或三维情况三维情况二维情况二维情况p渗流数学模型的三种边界条件渗流数学模型的三种边界条件以压力表示的边界条件以压力

26、表示的边界条件 当遇到这类边界条件时，流动域无论何时都是相邻连续当遇到这类边界条件时，流动域无论何时都是相邻连续液体的一部分。特殊情况：界面上的压力为常数，即：液体的一部分。特殊情况：界面上的压力为常数，即：p=常常数（定压边界）数（定压边界）。 在偏微分方程理论中，这类边界条件问题称为在偏微分方程理论中，这类边界条件问题称为“第一类第一类边值问边值问”，又称，又称狄里赫利（狄里赫利（Derichlet）问题。）问题。p渗流数学模型的三种边界条件渗流数学模型的三种边界条件以流动速度表示的边界条件以流动速度表示的边界条件),(),(tzyxfvzyxfv或),(),(tzyxgnpzyxgnp或p渗流数学模型的三种边界条件渗流数学模型的三种边界条件以流动速度表示的边界条件以流动速度表示的边界条件流动流动：沿着这类边界上各点的法线方向。：沿着这类边界上各点的法线方向。稳定流动稳定流动：用位置函数来描述边界上所有点的流动。：用位置函数来描述边界上所有点的流动。不稳定流动不稳定流动：用位置及时间函数来边界上所有点的流动。：用位置及时间函数来边