曲边梯形的面积教学案例

1、曲边梯形的面积教学案例八中高中数学组兰北平“曲边梯形的面积”是定积分的内容，定积分在高中的教材里曾经几进几出，原因可能是这部分内容实在是太有用同时又存在不小的难度，就像是一种美味好吃却不易吃，会使人觉得弃之可惜。新课程把其加进来，采用了不同于高等数学的处理方式，即不介绍不定积分，而直接通过一个几何问题和一个物理问题引入定积分的概念。这充分体现新课程返璞归真，回归本质的理念。不过这样无论对学生还是教师，都将是一个不小的挑战。对于本节课的设计，笔者将重心放在如何使新课引入自然以及如何突破难点上。一、对本节课的认识“曲边梯形的面积”是“定积分的概念”的第一课时。定积分的思想方法是高等数学里的重要思想

2、方法，是微积分的重要组成部分，在求解不规则图形的面积，变速运动的路程，变力做功等问题方面有着广泛的应用。而求解曲边梯形面积的过程与思想恰恰是定积分概念的核心内容，所以本节课在定积分的学习中有着至关重要的地位和作用。本节课内容较为单一，目标也比较明确，就是用“以直代曲，无限逼近”的思想求曲边梯形的面积。 然而，这种思想方法给学生带来的理解上的难度却不小，因为要真正理解这种方法必须对极限的思想要有比较清晰的认识。不过，新课程似乎为了避免增加学生的负担，而不要求深入介绍极限的概念，其旨在用最易于让学生接受的手段，使学生获得最有价值的数学知识。这节课亦是如此。基于以上原因，备课时认为本节课有两大难点：

3、一是如何使学生获得“无限分割，以直代曲”的思路；二是对“极限” “无限逼近”的理解，即理解为什么将近似值取极限正好是面积的精确值。二、教学设计I 、教学目标1. 知识与技能：（ 1）了解定积分的实际背景；（ 2）会用分割- 近似代替- 求和 - 取极限的四步曲求曲边梯形的面积；2. 过程与方法：（ 1）体会以直代曲的数学思想方法；（ 2）体会无限逼近的数学思想；3. 情感、态度与价值观：通过以直代曲求曲边梯形面积的过程感受数学化归思想化难为易，化不可计算为可以计算的妙处；II 、重点、难点1. 重点：以直代曲的思想方法；求曲边梯形的四步曲；2. 难点：以直代曲的思想方法；III、教学教法讲授与

4、启发相结合，采用几何画板制作课件IV、教学过程(一)引入问题引入：这是浙江省地图，怎样求其面积?意图：用网格法求面积时边缘往往是不规则的图形，引出曲边梯形及求曲边梯形的面积问题(二)新课问题1:我们会求正方形、三角形、平行四边形、梯形等“直边图形”的面积，现实生活中遇到的 大量“曲边图形”，如何求“曲边图形”的面积？和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形曲边梯形：由曲线x=a,x=b(a?b),y=010问题2:我国古代数学家祖冲之将圆周率精确到小数点后第六位，他是用的什么方法?意图：引出割圆术，无限分割，以直代曲的思想，为求曲边梯形面积做铺垫刘徽说：“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于

5、不可割则与圆合体而无所失矣”-8教学说明：适当介绍一些数学史的知识回答问题1:通过将曲边梯形分割成等宽的多个小曲边梯形，每个小曲边梯形的面积用高为左端 点函数值矩形代替，求和，取极限得到面积例1:如何求直线x=1,y=0与曲线y=xV所围成的曲边图形的面积?黄图：以一个实际简单例子来感受体验“分割一求和一近似一取极限”的方法 教学说明：1、先用几何画板演示当 n无限增大时，矩形的面积和会趋近于曲边梯形的面积，让学 生通过直观感知认识极限；2、板书分割-近似代替-求和-取极限四步曲的详细步骤；3、用几何画板表格展示当 n逐渐增大时，矩形面积和的值的变化趋势，验证计所得结果，并且发现面积和会从小于

6、的方向逐渐接近1/3,思考为什么，引出下面探究问题探究：如果认为y=f(x)在每个小区间上的函数值近似地等于右端点的函数值，是否 也能求出S=1/3?为什么？1-0.21.5教学说明:1、先演示当n越来越大时，阴影部分面积越来越小且接近曲边梯形的面积;2、结合表格数据说明取区间右端点函数值得到的是过剩近似值，是从大于的方向趋近1/3 ;3、进一步说明取区间中的任何一点来近似也是可以的从而得到求面积的一般表达式n .n 1.1S=lm£ f）Ax=lim£ f仁）=为引出定积分的概念做铺垫xy n 3练习：求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x（A2）所围成的曲边梯形的面积

7、Sn上2i； 2=8；+ 1Y1+1vin J n 3 < n 人2n Jn- ' ,Sn >意图：用一个与例题相仿，只是区间不同的例子进一步体验“分割一求和一近似一取极限”的方 法.（三）小结：这节课我们学到了什么？1 .求曲边梯形的面积的方法和步骤是：分割、近似代替、求和、取极限2 .以直代曲，无限逼近的思想V、布置作业作业本 B 本 P51, 1、2、3、4、6、7、10三、教学片断实录及反思片断一：新课的引入师（提出问题）：这是浙江省地图，怎样求其面积？生：思考片刻，有的一脸茫然，有的在迟疑，个别窃窃私语:“用割补法:师：“怎么割补？能否说得具体点?生：不敢说或者不

8、知道，不能给出答案 师：有一种近似求不规则图形面积的方法一一“网格法”，接着介绍这种方法的具体做法。师：（提出新的问题） 不规则图形的边缘处与正方形网格相交会形成一些有一边是曲线的小的不规则图形，如何精确计算其面积呢？从而引出曲边图形及曲边梯形的概念，引出课题。【反思】对于引入这个环节，笔者原本打算采用开门见山的方式直接引入的，但是后来考虑到新课程提倡“强调发展学生的数学应用意识”，便设计了这个求地图面积的问题。数学知识的价值以往总会 被人曲解。学数学到底有什么用？很多人都会认为没有什么用，只是应付考试而已。多数人的脑子 里会把知识的价值仅仅局限在其应用价值上，只有能吃，能喝，能用的才叫有用。

9、实际不然，有些 知识的价值是隐形的，比如说数学，数学中有很多内容虽然我们发掘不了其作为解决实际问题的工 具的作用，但是其在培养人的逻辑、思维品质方面的功能却是存在的，比如几何证明等。我们把这 称为是数学知识的功能性价值。但是毕竟知识的应用价值更易于被人们接受，所以千方百计发掘数学知识的应用价值是非常有意义的。那么该问题是否太难？笔者曾经在小学的与数学有关的书本上看到过网格分割求不规则图形 面积近似值的方法，所以对于高中生来说不会太难。可能存在的问题是该问题有点偏。事实证明， 对于不常用到的知识，大部分学生是记不住的。所以当听到有的学生窃窃私语：“用割补法”，笔者窃喜：莫非所谓“割补法”便是“网

10、格法”？因为这两种方法的原理是相仿的，如果真是这样那么 下面的引出问题就顺畅了。遗憾的是在追问下却没有得出下文，这个遗憾给课堂造成了一点不顺畅的状况。课后笔者又有另外一种想法，难道我们必须要让学生对所有的知识都经历发现的过程吗？这个 问题布鲁纳与奥苏伯尔已经各持己见的阐述过自己的观点。布鲁纳的“发现式学习”对知识的掌握 效果是好的，但太费时间，有时会得不偿失。而我们普遍接受的是奥苏伯尔“有意义的接受学习” 理论，其优点是效率高。所以如果把这个引入问题改成不是问题，而是介绍这种网格法，可能就不 会造成不顺畅的结果了。片断二：分割求和，以直代曲的思想方法师（提出问题）：我国古代数学家祖冲之将圆周率

11、精确到小数点后第六位，他是用的什么方法？生：一部分学生回答“将圆切割”.师：对，他采用的方法我彳门称之为“割圆术”.我们知道圆周长公式是什么？生：周长=2叮.师：根据这个公式如何求 n ?生：兀=周长/直径.师：对了，所以关键的问题在于如何计算圆周长，那么祖冲之是如何利用割圆术求出圆的周长呢？估计学生答不上来， 介绍刘徽割圆术的思想， 并用几何画板展示分割越细则内接正多边形周长越接近圆周长的过程。师：求曲边梯形面积时，是否也可以用“无限分割，以直代曲”的思想方法？生：能。师：具体如何做？生：(不能说出具体做法)师：讲授求曲边梯形的面积的基本思路。【反思】本环节教学设计了一个中国古代数学史上一个

12、比较经典的例子“割圆术”，主要作用有：(1)引出“无限分割，以直代曲”的思想，为类比得到曲边梯形面积的求法提供了条件。(2)渗透数学文化的内容。 新课程的十大基本理念之一就是“体现数学的文化价值”，为此普通高中数学课程标准强调了数学文化的重要作用，要求将其尽可能与高中数学课程内容“有机结 合”。数学文化的呈现方式应该是多种多样的，可以是集中介绍，比如“数学史选讲”专题，也可以是合理渗透，特别是后者，如果能将数学文化“合情合理”地穿插在日常教学中，可以取得事半功倍的效果。这里“合情合理”的具体体现为：1.该书学文化内容与常规内容是有关联的；2.该数学文化内容对常规内容的理解是有帮助的。本环节兼具

13、以上两点，所以是合情合理的。(3)提高学生的学习兴趣，将枯燥的数学内容变得充实丰满。对于用割圆术类比出求曲边梯形面积的方法的可行性，笔者事先是这样考虑的：两者都需要等分，都需要以直边代替曲边，所以其原理是基本一致的，唯一不同的是一个求周长，另一个求的是面积。那么这个不同会不会给学生进行类比带来困难呢？从结果来看，可能存在这样的问题。 实际上这里可以有一个改进的办法，应该在“割圆术”用正多边形周长逼近圆周长之后，再介绍同样可 以用正多边形面积逼近圆的面积。这样相似性更强，更易于类比出结论。片断三：对矩形面积和的极限值就是曲边梯形的面积真实值的理解n增大时，矩形面积和的值的变化趋师：步骤一、计算前先用几何画板动态演示当n增大时矩形面积和与曲边梯形面积逼近情况。步骤二、计算出结果后再用几何画板以表格的形式计算当 势。【反思】步骤一发生在计算前主要是先让学生从图形上直观感知“分割一近似一求和一取极限”的必要性和可行性，从而尽可能消除学生的顾虑；