大学物理误差理论(最新)

1、2022年4月28日星期四1大学物理实验大学物理实验误差理论与数据处理误差理论与数据处理物理实验教学中心物理实验教学中心李敏李敏2022年4月28日星期四2大学物理实验误差理论与数据处理大学物理实验误差理论与数据处理一、绪论一、绪论二、实验误差理论二、实验误差理论三、实验数据处理三、实验数据处理四、实验常用方法四、实验常用方法2022年4月28日星期四3一、绪论一、绪论1.1.物理实验的地位和作用物理实验的地位和作用 近代科学历史表明，自然科学领域内的所近代科学历史表明，自然科学领域内的所有研究成果都是理论和实验密切结合的结晶。有研究成果都是理论和实验密切结合的结晶。随着科学技术的发展，实验也

2、日益广泛和复随着科学技术的发展，实验也日益广泛和复杂，实验的精确程度越来越高，实验环节在科杂，实验的精确程度越来越高，实验环节在科学技术的重大突破中所起的作用也越来越大。学技术的重大突破中所起的作用也越来越大。 物理实验是科学实验的重要组成部分之一。物理实验是科学实验的重要组成部分之一。物理概念的确定，物理规律的发现，物理理论物理概念的确定，物理规律的发现，物理理论的建立都有赖于物理实验。的建立都有赖于物理实验。2022年4月28日星期四42.2. 物理实验的任务和目的物理实验的任务和目的 物理实验是对理工科学生进行科学实验基物理实验是对理工科学生进行科学实验基本训练的一门独立基础必修课，是学

3、生进入大本训练的一门独立基础必修课，是学生进入大学后受到系统实验方法和实验技能训练的开学后受到系统实验方法和实验技能训练的开 始。始。3.3. 物理实验的基本程序物理实验的基本程序 物理实验课的内容：测量某一物理量或物理实验课的内容：测量某一物理量或研究某一物理量随另一物理量变化的规律，研究某一物理量随另一物理量变化的规律，学会正确使用某些仪器设备。学会正确使用某些仪器设备。2022年4月28日星期四5(1)(1)实验课分类实验课分类基本实验基本实验综合性实验综合性实验设计应用性实验设计应用性实验(2)(2)实验程序实验程序预习实验预习实验进行实验进行实验预习实验原理、预习实验原理、要求、方法

4、等要求、方法等回答问题、学习仪器回答问题、学习仪器使用、测物理量等使用、测物理量等实验数据处理实验数据处理误差计算分析误差计算分析15%55%30%研究性实验研究性实验实验报告实验报告(3)(3)评分方法评分方法实验成绩实验成绩=每个实验成绩总和的平均值每个实验成绩总和的平均值2022年4月28日星期四6（3 3）实验报告的撰写：）实验报告的撰写： 主要有四部分内容，用统一实验报告册；主要有四部分内容，用统一实验报告册； 实验预习：实验名称、目的、仪器、原理、实验预习：实验名称、目的、仪器、原理、误差误差(不确定度不确定度)计算等；计算等；数据处理：包括作图，测量值的计算，数据处理：包括作图，

5、测量值的计算，测量的原始数据记录：一般用表格记录；测量的原始数据记录：一般用表格记录；方法等；方法等；小结，回答问题等。小结，回答问题等。2022年4月28日星期四7二、实验误差理论二、实验误差理论1.1.测量测量的定义的定义 测量将待测的物理量与一个选来作为标准的同类测量将待测的物理量与一个选来作为标准的同类量进行比较，得出它们之间的倍数关系。这倍数称量进行比较，得出它们之间的倍数关系。这倍数称为待测量的数值，标准的同类量称为单位。为待测量的数值，标准的同类量称为单位。2.2.测量分类测量分类(1)(1)直接测量：由仪器或量具与待测物进行比较直接直接测量：由仪器或量具与待测物进行比较直接得出

6、的结果；得出的结果；(2)(2)间接测量：由直接测量的数据，根据一定的关系间接测量：由直接测量的数据，根据一定的关系式，通过运算得出和结果。式，通过运算得出和结果。（一）测量（一）测量2022年4月28日星期四8（二）误差理论（二）误差理论1.1.测量误差的普遍性测量误差的普遍性(1)(1)真值真值A：每个物理量本身的客观实际值，称为真值。：每个物理量本身的客观实际值，称为真值。(2)(2)测量值测量值 x：由仪器或量具等得出的数值。：由仪器或量具等得出的数值。 由于仪器或量具的分辩率、灵敏度、精确度等限制，由于仪器或量具的分辩率、灵敏度、精确度等限制， 测量值不可能绝对准确，与真值有差别。测

7、量值不可能绝对准确，与真值有差别。(3)(3)误差误差 ：,xA称为测量误差。测量误差贯穿称为测量误差。测量误差贯穿于测量过程的始终，误差可以小，但不可能没有。于测量过程的始终，误差可以小，但不可能没有。绝对误差绝对误差相对误差相对误差2022年4月28日星期四92.2.误差分类误差分类系统误差与随机误差，对测量者而言，这二种误差系统误差与随机误差，对测量者而言，这二种误差（1 1）系统误差：）系统误差：误差的大小和符号保持不变，或按一误差的大小和符号保持不变，或按一发现系统误差，减小或修正系统误差发现系统误差，减小或修正系统误差（2 2）随机误差（偶然误差）：）随机误差（偶然误差）： 在多次

8、测量中，物理量的在多次测量中，物理量的但大量的测量值符合一定的但大量的测量值符合一定的（3 3）过失误差：）过失误差：这是人为造成的粗大误差，是要剔除。这是人为造成的粗大误差，是要剔除。都存在。都存在。统计规律，我们就是研究随机误差。统计规律，我们就是研究随机误差。测量值时大时小，是一种随机性的误差，随机误差是测量值时大时小，是一种随机性的误差，随机误差是无法消除，只可能减小。无法消除，只可能减小。是实验中的一个重要技能，既要有经验又要有理论。是实验中的一个重要技能，既要有经验又要有理论。定的规律变化。定的规律变化。2022年4月28日星期四103.3.测量值的有效数字测量值的有效数字 有效数

9、字的组成：把测量结果中可靠的位数加上不有效数字的组成：把测量结果中可靠的位数加上不确定的一位（或是有误差的一位）称为测量结果的有确定的一位（或是有误差的一位）称为测量结果的有效数字。效数字。如：如：0.123，2.475，34.20，5.00等；等；最后的一位是估计位，不确定的；最后的一位是估计位，不确定的；前面的前面的0不是有效位数，后面的不是有效位数，后面的0是有效位数。是有效位数。 （1 1）有效数字的概念与读取）有效数字的概念与读取米尺米尺1. 3 6 2 3游标尺游标尺螺旋测微仪螺旋测微仪指针式表指针式表数字仪表数字仪表2022年4月28日星期四11最后运算结果的有效数字只保留一位估

10、计位；最后运算结果的有效数字只保留一位估计位；由不确定度决定有效数字。由不确定度决定有效数字。（2 2）有效数字运算规则）有效数字运算规则: :1 1）加减运算：有效数字的位数对齐，如：）加减运算：有效数字的位数对齐，如： 24.8+3.96=28.76=28.8， 537-61.28=475.72=476， 规律是规律是其和差值的有效数字位数与参加运算的有效其和差值的有效数字位数与参加运算的有效数字中最后一位在位最高的位数相同。数字中最后一位在位最高的位数相同。 运算中多余的数按尾数凑偶舍入法的规则，运算中多余的数按尾数凑偶舍入法的规则，小于小于5则舍，大于则舍，大于5则入，等于则入，等于5

11、则把尾数凑成偶数。则把尾数凑成偶数。4.327504.328，二条规则二条规则2.2512.3。4.328504.328， 4.237494.23737.8437.8， 2.252.2，2022年4月28日星期四12取有效数字位数最少的位数。取有效数字位数最少的位数。2 2）乘除运算：）乘除运算：1.72 4.1=7.052=7.1， 5.3923=0.234347=0.23，3 3）其它运算：）其它运算： 乘方的有效数字的位数由底数的位数决定。乘方的有效数字的位数由底数的位数决定。如：如：25.362=643.1296=643.1，a）乘方）乘方b）开方）开方开方运算结果的有效数字的位数由其

12、不确定度决定。开方运算结果的有效数字的位数由其不确定度决定。 =36.87 = 6.0720631x12yx1212dyx dx1212 yxx 0.01x 0.00082y = 6.0721 yx13yx2313dyxdx2313yxx 5.164x 1.72847092.y 0.001x 0.00011y 1.7285y2022年4月28日星期四13xyln对数的运算结果的有效数字位数也由其不确定度决定。对数的运算结果的有效数字位数也由其不确定度决定。 95. 3xxxy101. 0 x0025. 0yd）指数）指数374. 1.37372. 1yc）对数）对数指数运算结果的有效数字位数是

13、把指数写成科学表示指数运算结果的有效数字位数是把指数写成科学表示式，其小数点后的位数与指数的小数点后的位数相同。式，其小数点后的位数与指数的小数点后的位数相同。xee4.264.26= 70.80998.= 70.80998.= 7.08= 7.0810102022年4月28日星期四140，N，等不是测量值，一般是比测量值多取一位参加运算。等不是测量值，一般是比测量值多取一位参加运算。4 4）有效数字的其它表示：）有效数字的其它表示：科学表示时，有效数字的位数是底数；科学表示时，有效数字的位数是底数；如：如：5 51.281.281010对参与运算的常数如：对参与运算的常数如：表示表示3 3位

14、有效数字，位有效数字， 不能写成不能写成128000。 e）三角函数）三角函数 三角函数运算结果的有效数字的位数由不确定度决定其位数。三角函数运算结果的有效数字的位数由不确定度决定其位数。 sinsin23 15yxcosyx x sin23.25 0.3947438.10.00029radx 0.00026640.0003sin23.250.3947 2022年4月28日星期四15xyx x100%xxEx4.4.测量结果的表示测量结果的表示（1 1）绝对不确定度绝对不确定度（2 2）相对误差：）相对误差：测量值测量值= =最佳测量值最佳测量值 不确定度不确定度1)A1)A类不确定度：类不确

15、定度：用统计方法评定的不确定度用统计方法评定的不确定度如：如：Ax2)B2)B类不确定度：类不确定度：不能用统计方法评定的不确定不能用统计方法评定的不确定度度如：系统、仪器误差等，如：系统、仪器误差等，BC仪（单位）（单位）不确定度为：不确定度为：22xAB 最佳测量值最佳测量值不确定度不确定度测量值的单位测量值的单位方、和、根方法方、和、根方法2022年4月28日星期四16三、实验数据处理三、实验数据处理最佳测量值最佳测量值= =单次测量值单次测量值（1 1）直接测量）直接测量1 1）单次测量：）单次测量：1.1.测量值的处理测量值的处理不确定度不确定度x 仪yx仪表示为：表示为：2 2）多

16、次测量：）多次测量：= =测量的算术平均值测量的算术平均值niixnx11不确定度为不确定度为22xAB xyx结果表示为：结果表示为：最佳测量值最佳测量值2022年4月28日星期四17（2 2）间接测量）间接测量首先导出不确定度的传递公式首先导出不确定度的传递公式 1 1）单值函数）单值函数)(xfN ,dNfdx,dNf dx其中其中dN是微小量，即是不是微小量，即是不确定度确定度 N， dxx是测量值的不确定度。是测量值的不确定度。是不确定度的传递函数，是不确定度的传递函数，dffdx2 2）多元函数）多元函数dfNxdx为不确定度的传递公式。为不确定度的传递公式。12( ,.)nNf

17、x xx求全微分可得求全微分可得123123.nnffffdNdxdxdxdxxxxx2022年4月28日星期四18123123.nnffffdNdxdxdxdxxxxxnnxxfxxfxxfxxfN.332211即即考虑到考虑到x1、x2、x3相互独立，则方和根值为绝对不确定度。相互独立，则方和根值为绝对不确定度。 2233222211)(.)()()(nnxxfxxfxxfxxfN 对有些函数关系是乘除，可先求相对不确定度，然后再求绝对有些函数关系是乘除，可先求相对不确定度，然后再求绝对不确定度较为方便。对不确定度较为方便。 相对不确定度：相对不确定度： ).,(lnln21nxxxfN

18、2233222211)ln(.)ln()ln()ln(nnxxfxxfxxfxxfNN2022年4月28日星期四19注意：注意：前面式中的前面式中的 x1 1， x2 2， xn n是包括了测量误是包括了测量误最后的最后的 N位数只取一位，且只进不舍。位数只取一位，且只进不舍。2.2.不确定度的计算不确定度的计算（1 1）仪器误差的确定）仪器误差的确定 一般按仪器的规定取，若没规定则有刻度的按最小一般按仪器的规定取，若没规定则有刻度的按最小分度值的一半取，数字仪器若没有规定取最后一个字。分度值的一半取，数字仪器若没有规定取最后一个字。如：米尺取分度值一半；而游标卡尺的最小分度是如：米尺取分度值

19、一半；而游标卡尺的最小分度是0.02mm0.02mm，不确定度也是，不确定度也是0.02mm0.02mm；千分尺的最小分度；千分尺的最小分度是是0.01mm0.01mm，但仪器规定不确定度是，但仪器规定不确定度是0.004mm0.004mm。(B(B类不确定度类不确定度) )差和仪器误差。如果只是单次测量只有仪器误差。差和仪器误差。如果只是单次测量只有仪器误差。2022年4月28日星期四200.0201仪指针式仪表有等级的规定是：指针式仪表有等级的规定是：如：满量程如：满量程Am=100mA100mA，k =1.5=1.5级，则级，则电阻箱的不确定度为：电阻箱的不确定度为：某万用表某万用表 （

20、0.8%0.8% 读数读数+3+3字）字）电表为：电表为：此时就算是测量的值只有此时就算是测量的值只有2 2mA也这个误差。也这个误差。读数读数 级别级别% %数字仪表按规定如：数字仪表按规定如：若读数为若读数为1.3461.346，则结果表示为则结果表示为1.351.35 0.020.02，这是根据不确定度宁大勿小原则，不确定度是只进不舍。这是根据不确定度宁大勿小原则，不确定度是只进不舍。 3B 仪0.011而不是而不是1.351.35 0.010.01%mAk仪100 1.5%1.5mA仪%xk仪2022年4月28日星期四21（2 2）随机误差的确定）随机误差的确定(A(A类不确定度类不确

21、定度) )规定随机误差用标准偏差表示。标准偏差的计算公式为规定随机误差用标准偏差表示。标准偏差的计算公式为211()1nxiixxn2111niixn因为我们用算术平均值来作为最佳值，所以用因为我们用算术平均值来作为最佳值，所以用xxn211(1)niixn n所以默认不确定度为所以默认不确定度为22Bx 算术平均标准偏差算术平均标准偏差 表示。公式为表示。公式为 2022年4月28日星期四22 用游标卡尺对某一尺寸测量用游标卡尺对某一尺寸测量1010次，假定已消除系次，假定已消除系统误差和粗大误差，测得数据如下（单位：统误差和粗大误差，测得数据如下（单位：mm） 75.02 75.02，75

22、.0475.04，75.0675.06，75.0075.00，75.0475.04， 75.0875.08，75.0675.06，75.0275.02，75.0675.06，75.0875.08解：解： 可得平均值为可得平均值为75.046xmm标准偏差为标准偏差为2()1ixxxn0.006440.02710 1mm算术平均值的算术平均值的标准偏差为标准偏差为xxn0.0270.008510mm22Bx 不确定度为不确定度为220.020.00850.022求不确定度。求不确定度。例例1.1.0.03mm 不确定度为不确定度为测量结果为测量结果为xx75.050.03mm2022年4月28日

23、星期四23高高h=2.575 0.004cm，则金属环的体积的测量结果。则金属环的体积的测量结果。 例例2 2： 已知金属环的外径已知金属环的外径D=3.600 0.004cm，内径，内径d=2.800 0.004cm，解：解：体积的公式为体积的公式为)(422dDhVDdh2213.14162.575(3.6002.800 )439.436cm不确定度为不确定度为 V，因为是间接测量，所以要应用因为是间接测量，所以要应用2222123123lnlnlnln()()().()NnnffffxxxxNxxxx22lnlnlnln()4VhDd2022年4月28日星期四24二边微分得二边微分得22

24、221220ddVDddhdDdVhDdDd22221220VhDdDdVhDdDd 22lnlnlnln()4VhDd2222222122()()()VxhDdDdEVhDdDd可得相对不确定度可得相对不确定度0.081若结果是若结果是0.073360.07336也取也取0.080.08。绝对不确定度为绝对不确定度为VxE V30.081 9.4360.076430.08cm结果表示为结果表示为: :39.440.08Vcm2022年4月28日星期四253.实验数据处理基本方法实验数据处理基本方法 表格一般没有统一的格式，可以自行设计。用来记表格一般没有统一的格式，可以自行设计。用来记录测量

25、的数据，直接测量计算的平均值及不确定度，录测量的数据，直接测量计算的平均值及不确定度，某些中间结果。要求有名称、单位等。某些中间结果。要求有名称、单位等。（2）作图法）作图法 用作图法可研究物理量之间的变化规律，可求得物用作图法可研究物理量之间的变化规律，可求得物理量的数值，发现系统误差，作修正曲线或校准曲线，理量的数值，发现系统误差，作修正曲线或校准曲线，提高计算效率等内容。它不光是一种处理数据的方法，提高计算效率等内容。它不光是一种处理数据的方法，而且也是实验方法的一个不可分割的内容。而且也是实验方法的一个不可分割的内容。（1）列表法列表法2022年4月28日星期四26 测量的数据标在图上

26、，或是计算后的数据标在图上，常用有等测量的数据标在图上，或是计算后的数据标在图上，常用有等作图法的优点是直观、方便、有取平均的效果。作图法的优点是直观、方便、有取平均的效果。例例3 3： 已知在温度已知在温度t=0t=0 1010 C C的区间内，水的饱和蒸气压的区间内，水的饱和蒸气压PW的数值的数值如下表所示，求如下表所示，求7.77.7 C C下下水的饱和蒸气压。水的饱和蒸气压。t( C)012345678910PW(mmHg)4.584.935.295.696.106.547.017.518.058.619.21表表 水的饱和蒸气压随温度的变化水的饱和蒸气压随温度的变化（1 1）作图必须

27、用坐标纸）作图必须用坐标纸（2 2）标明轴、数值、单位）标明轴、数值、单位（3 3）标明数据点）标明数据点（4 4）连线要光滑，数据点）连线要光滑，数据点()WPmmHg()tC02468104567897.77.90分线性和对数坐标的图。分线性和对数坐标的图。 要分列在连线二侧。要分列在连线二侧。2022年4月28日星期四27（3）逐差法）逐差法 自变量按等间隔变化，且自变量的误差远小于自变量按等间隔变化，且自变量的误差远小于因变量的误差时。因变量的误差时。1 1）条件：）条件： 当自变量与因变量成一多项式关系；当自变量与因变量成一多项式关系；2 2）分类：）分类：一次一次逐差，即线性关系逐差，即线性关系01yaa x二次二次逐差，逐差，2012yaa xa x还有三次还有三次逐差等，也可经过变换后应用逐差法逐差等，也可经过变换后应用逐差法如：如：2/Tm k224Tmk1a m0tAA e0lnlnAAt2022年4月