判定平行四边形的五种常用方法专项训练

1、第18章平行四边形专项训练专训1.判定平行四边形的五种常用方法名师点金：判定平行四边形的方法通常有五种，即定义和四种判定定理，选择判定方法时，一定要结合题目的条件，选择恰当的方法，从而简化解题过程.利用两组对边分别平行判定平行四边形1 .如图，在？ABCLfr,E,F分别为ARBC上的点，且BF=DE,连接AF,CE,BE,DF,AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点.求证：四边形FMEN为平行四边形.（第1题）利用两组对边分别相等判定平行四边形2 .如图，已知ABDABCEEACFffi是等边三角形.求证：四边形ADEF平行四边形.（第2题）利用一组对边平行且相等判定平行四边形3 .已知

2、：如图，在四边形ABCm，AB/CDE,F为对角线AC上两点，且AE=CF,DF/BE.求证：四边形ABC师平行四边形.（第3题）利用两组对角分别相等判定平行四边形4 .如图，在？ABCLfr,BE平分/ABC交AD于点E,DF平分/ADG交BC于点F,那么四边形BFDE1平行四边形吗？请说明理由.AEDBFC（第4题）利用对角线互相平分判定平行四边形5 .如图，？ABCDK点O是对角线AC的中点，EF过点0,与ADBC分别相交于点E,F,GH±点0,与AB,C吩别相交于点G,H,连接EGFGFHEH.（1）求证：四边形EGFK平行四边形；（2）如图，若EF/AB,GHBC,在不添加

3、任何辅助线的情况下，请直接写出图中与四边形AGHM积相等的所有平行四边形（四边形AGH除外）.（第5题）专训2.构造中位线的方法名师点金：三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系.因此，当题目中给出三角形两边的中点时，可以直接连出中位线；当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线.连接两点构造三角形的中位线1 .如图，点B为AC上一点，分别以AB,BC为边在AC同侧作等边三角形ABD?口等边三角形BCE点P,MN分别为ACAD,CE的中点.（1）求证：PM=PNfc（2）求/MPN勺度数.（第1题）利用角平分线+垂直构造中位线2 .如

4、图，在ABC中，点M为BC的中点，AD为4ABC的外角平分线，且AD，BD若AB=12,AO18,求DM勺长.（第2题）3 .如图，在ABC中，已知AB=6,AO10,AD平分/BACBDLAD于点D,点E为BC的中点，求DE的长.（第3倍长法构造三角形的中位线4 .如图，在ABC中，/ABC=90°,BA=BCBEF为等腰直角三角形,1一_/BE已90,M为AF的中点，求证：ME=2CF（第4题）已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线5 .如图，在四边形ABCL,MN分别是ADBC的中点，若AB=10,CD=8,求MNK度的取值范围.回NC（第5题）6 .如图，在ABC中，Z

5、C=900,CA=CB,E,F分别为CACB上一点,C已CF,MN分别为AF,BE的中点，求证：A已也MN.心川.7A（第6题）已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线7 .如图，在ABC中，AB=ACADLBC于点D,点P是AD的中点，延长BP1一父AC于点N,求证：AN=-AC.3答案专训11 .证明：:四边形ABC北平行四边形，D&BF,；DE统BF.四边形BFD助平行四边形.BE/DF.同理，AF/CE.四边形FMENfc平行四边形.2 .证明：:ABDABCEEACF®是等边三角形，BA=BDBOBE,/DBA=/EBC=60°.丁./EBC-/EBA

6、=/DBA-/EBA ./ABC=/DBE.AB登ADBE. .AF=AODE.同理，可证AB登AFEC .AD-AB=EF. 四边形ADEF平行四边形.3,证明：.AB/CD；/BAE=/DCF. .BE/DF,/BE已/DFE. AE氏/CFD.在AEBffiCFD中，B/BAE=/DCFA已CF,/AE氏/CFD .AEBACFD.AB=CD.又.AB/CD:四边形ABC北平行四边形.4.解：四边形BFD段平行四边形.理由：在？ABCD,/ABC=/CDA/A=/C.vBE平分/ABCDF平分/ADC/-1,/一/1/，一,丁./ABE=/CBE=2/ABC/CD曰/AD已金/ADC/-

7、/ABE=/CBE=/CDF=/ADF./DF氏/C+/CDF/BED-/AB曰/A,./DF氏/BED.；四边形BFDE平行四边形.5. (1)证明：二四边形ABC北平行四边形， .AD/BCOAOC /EAO/FCO.在OAEWAOCF中，/EA&/FCOOA=OC.ZAOE=/COF .OAEAOCFOE=OF.同理OGOH一四边形EGFK平行四边形.(2)解：与四边形AGHD0积相等的平行四边形有？GBCH?ABFE?EFCD?EGFH.专训211.(1)证明：如图，连接CDAE.由二角形中位线定理可得PM-CEDPN一1统AE.ABD和4BCE是等边二角形，.AB=DB,BE

8、=BC/AB氏/CBE=60°,./ABE=/DBC.AB草ADB(C .AE=DC；PM=PN.(2)解：如图，设PgAE于F,PN交CDTG,AE交CDTH.由(1)知AABEDBC/BAE=/BDC. /AH氏/AB氏60°, ./FHG=120°.易证四边形PFHGJ平行四边形， ./MPN=120°.2.解：如图，延长BD,CA交于N.在ANDffiABD中，/NA氏/BADAD=ADZADN=/ADB=90°,.AN*AABDAS/>.DN=DBAN=AB.1-1_1八DIVhNC=2（AN+AC）=2（AB+AC）=15.3

9、.解：如图，延长BD交AC于点F,（第3题）.AD平分/BAC丁/BA氏/CAD,.BD±AR./ADB=/ADF又.AD=AD,.AD皆AADFASA. .AF=AB=6,BD=FD.Ag0,CEACAF=106=4. E为BC的中点，.二DE是ABCF的中位线.一1.一八 DE="CF=二X4=2.2214,证明：如图，延长FE至N,使EN=EF,连接BNAN.易得ME=-AN.EF=EN/BE已90°,.BE垂直平分FN.；BF=BN.丁./BN曰/BFNJ2BEF为等腰直角三角形，/BE已90°,.BF+45°./BN已450,./FB

10、*90°,即/FBA/ABN90°.又:/FBA/CB已90°,丁BF=BN丁./CB曰/ABN在BCF和BAN中，彳/CB已/ABNBOBA.BC/ABAN.11.M是AD的中点,P是BD的中点,.PM®MBD的中位线，1 PM=2AB=5.1_同理可得PN=2c54.在“乂前，.PM-PN<MN<PMPN .1<MN<9.1_16 .证明：如图，取AB的中点H,连接MHNH则Mhk2BF,N+AE.,.CE=CF,CA=CBaAE=BF. M生NH. 点M,H,N分别为AF,AB,BE的中点，MH/BF,NH/AE. /AH阵/ABC/BHN=/BAC. /MH仲180°-(ZAHIM-ZBHN>180°-(ZABC/BACA90°.2NH=-MN.2 .AE=2N+2X乎MN=2mN.n%（第6题）H。（第7题）7