初中二年级数学全等三角形证明基本思路

1、证明三角形全等的常见思路全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习.而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等.通过对以下几种证明三角形全的分析，体会常见思路。知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，（对应线段相等）对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等.寻找对应边和对应角，常用到以下方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对

2、应角.（3）有公共边的，公共边常是对应边.（4）有公共角的，公共角常是对应角.（5）有对顶角的，对顶角常是对应角.（6）两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）.要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键.全等三角形的判定方法：（1）边角边定理（SAS）:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.（2）角边角定理（ASA）:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.（3）边边边定理（SSS）:三边对应相等的两个三角形全等.（4）角角边定理（AAS）:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（5）斜边、直角边

3、定理（HL）:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.2.证题的思路：找夹角（SAS）已知两边找直角（HL）找第三边（SSS若边为角的对边，则找任意角（AAS）斤华找已知角的另一边（SAS边为角的邻边找已知边的对角（AAS）找夹已知边的另一角（ASA）已知两角找两角的夹边（ASA）找任意一边（AAS）全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程AB.中，注意有时会添加辅助线.一、已知一边与其一邻角对应相等1 .证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等.例1已知：如图1,点E、F在BC上,BE=CFAB=DC/B=ZC.求证：AF=DE证明BE

4、=CF（B知）,BE+EF=CF+EF即BF=CE.在人85和4DCE中，AABFDCE（SAS）AF=DE（全等三角形应边相等）.2 .证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等.例2已知：如图2,D是ABC的边AB上一点，DF交AC于点求证：AE=CE证明FCIIAB（已知）,/ADEMCFE（两直线平行，内错角相等）.在AD讶口CFE中，AADEiCFE（ASA）.AE=CE（全等三角形又应边相等）3.证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等.例3（同例2）.证明FC/AB（已知），/A=/ECF（两直线平行，内错角相等）.在AD讶口CFE中，AADEiCFE（AAS）.AE=CE（全

5、等三角形应边相等）.二、已知两边对应相等1 .证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等.例4已知：如图3,AD=AE点0E在BC上，BD=CE证：4AB里ACE证明.一/1=/2（已知），/ADB=180-Z1,/AEC=180-/2（邻补角定义）,/ADB=/AEG在AB/口ACE中，AABtDACE（SAS）.2.证第三边对应相等，再用SSS证全等.例5已知：如图4,点A、C、BD在同一直线上，AC=BDAM=CNBM=DN求证：AM/CNBM/DN证明AC=BD（已知）.AC+BC=BD+BCPAB=CD.在ABMCDN43,MB阵CDN（SSS）/A=/NCD/ABM=D（全等三角应角

6、相等）,AM/CNBM/DN（同位角相等，两直线平行）.三、已知两角对应相等1.证两已知角的夹边对应相等，再用ASA证全等.例6已知：如图5,点BF、CE在同一条直线上,ACB4DFE.求证：AB=DE,AC=DF.证明FB=CE（已知）FB+FC=CE+FC即BC=EF,FB=CEAB%DEF（ASA）.AB=DE,AC=DF住等三角形对应边相等）2.证一已知角的对边对应相等，再用AAS证全等.例7已知：如图6,ARCD交于点O,g)&证：ACEE、F为AB上两点，OA=OBOE=OF/A=ZB,/ACE=BDF.求BDF.证明OA=OBOE=OFB知)， .OA-OE=OB-OF即

7、AE=BF,在AC讶口BDF中, AACEiBDF（AAS）.四、已知一边与其对角对应相等，则可证另一角对应相等，再利用AAS证全等例8已知：如图7,在ABC中，B、D、E、C在一条直线上，AD=AE/B=/C.求证：AB¥ACE.证明AD=AE（E知）.Z1=/2（等边对等角）, /ADB=180°-/1,ZAEC=180-/2（邻补角定义），/ADB=AEC在AB/口ACE中，.AB阴ACE（AAS）.全等三角形问题中常见的辅助线一一倍长中线法ABC中,AD是BC边中线方式1:直接倍长（图1）:延长AD至ijE,使DE=AD连接BE方式2:间接倍长1）（图2）作CF&#

8、177;AD于F,作BE!AD的延长线于E,连接BEE2）【经典例题】1、已知，如图ABC中，AB=5AC=3则中线AD的取值范围是.（提示：画出图形，倍长中线AD利用三角形两边之和大于第三边）例2:已知在ABC中，AB=ACD在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F,且DF=EF.求证：BD=CE（提示：方法1:过D作DG/AE交BC于G,证明ADGFACEF方法2:过E作EG/AB交BC的延长线于G,证明AEF®ADFB方法3:过D作DGLBC于G,过E作EFUBC的延长线于H,证明ABDeAECH变式:BE如图，AD为ABC的中线,CFEFDE平分BDA交AB于E,DF平分

9、ADC交AC于F.求证:（提示：方法1：在DA上截取DG=BD连结EGFG,证明ABDEAGDEADC障ADGFW以BE=EGCF=FGRJ用三角形两边之和大于第三边方法2:倍长ED至H,连结CHFH,证明FH=EFCH=BE利用三角形两边之和大于第三边）例4:已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC延长BE交AC于F,求证（提示：方法1:倍长AD至G,连接BG证明ABD8ACDA三角形BEG是等腰三角形。方法2:倍长ED.试一试，怎么证明？）AF=EF例3、如图，ABC中，E、F分别在ARAC上，DELDF,D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.例5、如图，ABC

10、中，BD=DC=ACE是DC的中点,求证：AD平分/BAE.（提示：倍长AE至M,连接DM变式一：已知CD=AB/BDAhBADAE是4ABD的中线,求证：/C=ZBAE提示：倍长AE至F,连结DF,证明AAB*AFDE(SAS,进而证明AAD阵AADC(SAS变式二：已知CD=AB/BDAhBADAE是ABD的中线，求证：2AE=AG(提示：借鉴变式一的方法)例6：已知：如图，在ABC中，ABAC,D、E在BC上，且DE=EC过D作DF/BA交AE于点F,DF=AC.求证：AE平分BAC提示：方法1:倍长AE至G连结DG方法2:倍长FE至H,连结CH练习1、在四边形ABCD43,AB/DCE

11、为BC边的中点，/BAE1EAF,AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论提示：延长AE、DF交于G,证明AB=GCAF=GF所以AB=AF+FC2、已知：如图，ABC中，C=90,CMAB于MAT平分BAC交CMTD,交BC于T,过D作DE/AB交BC于E,求证：CT=BE.提示：过T作TN±AB于N,证明ABT阵AECDA-MDBETC3、在MBC中，AD平分/BAGCMLAD于M,若AB=AD求证：2AM=AC+AB=4、ABO43,AD是边BC上的中线，DA!AC于点A,/BAC=120,求证：AB=2BC.5、如图，AB=AEA

12、B±AE,AD=ACAD±AC,点M为BC的中点，求证：DE=2AM全等三角形问题中常见的辅助线一一截长补短法例1、如图，ABC中，AB=2ACAD平分BAC,且AD=BD求证：CDLAC例2、如图，AD/BCAE,BE分别平分/DAB,/CBA例3、如图，已知在VABC内，BAC分别是BAC,ABC的角平分线。求证:40°,P,Q分别在BCCAA上，并且BQ+AQ=AB+BPBBQCD过点E,求证;AB=AD+BC例4、如图，在四边形ABC邛,BOBA,AD=CDBD平分ABC,求证：AC180°例5、如图在ABC中，AB>AC,/1=/2,P为

13、AD上任意一点，求证；AB-AC>PB-PCA例6、已知ABC中，A60°,BD、CE分别平分ABC和.ACB,BD、CE交于点O,试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.例7、如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作DMN60,射线MN与/DBA外角的平分线交于点N,DM与MN有怎样的数量关系？变式练习：如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与/ABC外角的平分线交于点N,MD与MN有怎样的数量关系？例8、如图所示.已知正方形ABCDKM为CD的中点，E为MC上一点，例9、已知：如图，ABCDI正方形，/FAD=/FAE求

14、证：BEfDF=AE例10、如图所示，ABC是边长为2的正三角形,BDC是顶角为120°的等BD且/BAE=2ZDAM求证：AE=BOCE腰三角形，以D为顶点作一个60°的长.MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周变式练习如图所示，ABC是边长为4的正三角形，BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的MDN,点M、n分别在AB、AC上，求AMN的周长.A例11、五边形ABCD中,AB=AEBODBCD/ABG/AED=180,求证：DA平分/CDE例12、如图，在四边形ABC邛,AD/BC,点E是AB上一个动点，若/B=60&

15、#176;,AB=BC且/DEC=60,判断AD+AEWBC的关系并证明你的结论。三角形综合练习题一、选择题1 .下列条件中，不能判定ABCADEF的是（A./A=ZD,/C=ZF,AC=DFB.ZA=ZD,AB=DEBC=EFC.AB=DE,ZA=ZD=80,/B=60,/F=40D./O/F=90,AB=DEBC=EFE、F,那么下列结论中错误的是（）2 .AD是ABC勺角平分线，从D向ABAC两边作垂线，垂足分别为A.DE=DFB.AEAFC.BD=CDD.ZADE:ZADF3.如图2,ABLBC于B,CDLBC于C,AB=BCE为BC的中点，且AELBD于F,若CD=4cm,则AB的长

16、度为()A.4cmB.8cmC.9cmD.10cm4.如图3,已知点E在ABC勺外部D在BC边/1=Z2=Z3AB坐AFDAEBDFC填空题.AC=AE则有()B.AAFEEADCD.AABCADEDE交AC于F.5如图4,在ABCDEF中，AB=DE需要补充的一个条件是.E,6.如图5可£为沿A所叠cm使点D落在BC边上，如果AD=7cm,DM=2cm,/DAIM20/NAM的度数是°.A则AN的长为Dcm7.如图6,四边形/BAG35,则/ABC珅,CB=CD/AB0/ADC90BC*于.，知,在4解答题，知：如图7,口是ABCaAC上的一点，DF交AB于EAD的DE=EF求证：AE=BEOCODAE=BF,EOF10 .已知：如图11-8求证：CE=DF请你判断AD是11 .已知：如图，在ABC43,BE!ADCF，AD且BE=CF,ABCW中线还是角平分线？并说明理由.F.<2_LiJcDEOB=OC12 .已知：如图，ZA=ZD=90,ACBD交于QAC=BD求证:，DE于E,若13 已知，如图，在AABC中，/ACB=90),AC=BCAD±DE于D,BEAD=2厘米，BE=3厘米，求DE的长。BH与AC的数14如图，RtBDA中，/BDA=90,BD=ADRtAHDC/HDC=90,HD=CD请你猜想