初中数学猜想题的几种解法

1、初中数学猜想题的几种解法吴贵兴摘要：猜想试题近年考试所占的比例越来越高，猜想是学习数学极其重要的思维方法，而掌握猜想方法要有一定的技巧，掌握常见的等差型、等比型、平方型等题型的解题技巧，对猜想思维的提高有很大帮助。本文通过例说实践与探索，总结猜想思维能力题的某些特殊规律，掌握其中解猜想题的技巧，从而促进猜想思维能力的提高，培养学生分析问题、解决问题的能力，开发学生智能，达到培养学生正确认识数学观点和掌握数学方法，提高学生解猜想题、应用数学的能力。关键词：开放性、猜想、解题、方法、技巧、等差型、等比型。在实施素质教育的今天，猜想试题近年考试所占的比例越来越高，猜想是学习数学极其重要的思维方法。因

2、此，现在我们更加注重猜想思维的培养和应用，特别是用于评价学生的思维能力。近年来，求解猜想题在各类考试中随处可见；而教材中却没有专门涉及到猜想题的内容，这让部分教师非常的苦恼。据统计，在考试中能做对这类题的学生仅有百分之十四左右（在我的两个教学班中统计），且花时间比较多。我们如何解决这个问题，让普遍的学生能做猜想题，提高猜想思维能力。为此，笔者总结猜想思维的特征，研究关于“猜想”的辅助课如下：n个图案需要用白色棋子等差型（kn+a型）问题：用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第枚数为（用含n的代数式表示）14枚，因此第4个的白棋图形序号第1个第2个第3个第4个,第n个白

3、棋枚数81216,第二个）第三个）,（第n个）(（第一个）分析：观察上表得出特征：第一个以后的每一个图案的白棋枚都比它前一个图案的白棋多数应为16+4=20枚。那么，第n个图案的白棋数呢？请观察：(1)4X1+4=8(2)4X2+4=12(3)4X3+4=16(4)4X4+4=20由此看出，第n个图案的白棋数为：4n+4枚。般地，如果数列后一个数总比前一个数大k（等差数列），则第n个数为kn+a（a为待定的已知数）例1:用黑白两种颜色的正方形纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案如下:111-111,1111111_1（第1个）1_11_1(第2个)(1_II_II_1第3个),(1)第4个图案中有

4、白色纸片张(2)第n个图案中有白色纸片张（用含n的代数式表示）解：数出图案的白色纸片张数如下图形序号第1个第2个第3个第4个,第n个白纸张数4710,有：7-4=310-7=3,因为，后一个图案的白色纸片纸张数总比前一个图案的白色纸片张数大3,即k=3o所以，第4个图案有白色纸片10+3=13张。第n个图案有白色纸片3n+a张，而当n=1时,3n+a=4,解得，a=1.即第n个图案有白色纸片（3n+1）张检验：当n=2时,3n+1=3X2+1=7;当n=3时,3n+1=3X3+1=10均满足题意。所以第n个图案有白色纸片（3n+1）张。第n个图形需要火柴的根数是根（用含n的代数式表示）解：依次

5、数出火柴棒的根数如下:图形序号第1个第2个第3个第4个,第n个火柴根数3579,因为有：5-3=2,7-5=2,9-7=2所以，k=2.因此猜想第n个图案的火柴棒根数为（2n+a）.当n=1时，2n+a=2+a=3,解得a=1.检验：当n=2时,2n+1=2X2+1=5.满足题意。所以，第n个图形需要火柴的根数是（2n+1）根。试试:1.如下图，正方形通过多次划分，得到若干个正方形，请你通过观察猜想，第n次划分图中得到的正方开形的个数为（用含n的代数式表示）图形序号第一次第二次第三次,第n次正方形个数5913,4n+1所以，第个n次划分图中得到的正方形的个数为（4n+1）n（n>1）有盆

6、花，每2,下列每个图案是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）个图案花盆的总数是Son=2,s=3n=3n=4按此规律推断，s与n的关系式是3n2345,ns36912,3n-3所以,S=3n-3.n+a.、等比型（k型）问题：如图是一幅“五角星图”，第一行有1个，第二行有2个，第三行有4个,，你是否发现五角星的排列规律？猜猜看，第十行有个五角星。行数第1行第2行第3行第4行,第n行五角星数1248,此时,差不再相等；而有：2+1=2,4+2=2,8+4=2,也就是说，后一行的五角星数总是前一行的五角星数的2倍.请观察：（1）20=1即2（1-1）=1（2） 21=2即2（2

7、-1）=2（3） 22=4即2（3-1）=4（4） 23=8即2（4-1）=8n-1.所以，第n行的五角星数为:2个。一般地，如果数列后一个数总是前一个数的k倍（等比数列），则第n个数为kn+a（a为待定的已知数）例3:下面规律排列的数：1,2,4,8,16,第2007个数应是解：列表序号12345,n序列数124816,有：2+1=24+2=28+4=216+8=2,即k=2.于是，猜想第n个数为2n+a,而当n=1时，kn+a=2n+a=2a+1=1.解得，a=-1.即第n个数为2n-1.检验：当n=2时,2n1=221=2,当n=3时,2”=2=22=4，均能成立.因此，第n个数为2n”

8、.当n=2007时,2n-1=22007-1=22006所以，第2007个数应为22006。例4:有人编了条手机短信：“鬼节快到了，壹福、贰禄、叁寿、伍财、陆路妖怪都来保佑你。你要转给六个好友，两天后定有好运临头，如删除或是不发背运一年！发吧，不发被逼哦！”发给了一个朋友，这位朋友不想被诅咒，于是就转发给了6个朋友，这6个人又各转发给6位朋友,，假设收到此短信的人都各转发给6位朋友；那么，第一次转发共发6条，第二次转发共转发6X6=36条，第三次转发共发36X6=216，第10次转发共发条短信，第n次呢？解：列表表示转发次数与短信条数的关系如下转发次数1234,n短信条数636216216X6

9、,有：36+6=6216+6=6(216X6)-6=6,即=6,于是猜想第n次共转发6n+a条短信，当n=1时，6n+a=61+a=6,解得，a=0.即第n次转发的短信条数共6n条.检验：当n=2时，62=36;当n=3时，63=216符合要求.所以，第n次转发的短信条数共为6n条.当n=10时，6n=610=60466176条，第十次转发共发60466176条。三、平方型(n2+a型)1+3+5,问题：如图，第(1)个图形的点数是1，第(2)个图形的点数是1+3,第(3)个图形的点数是那么第(n)个图形的点数是(3)(1)(2)分析：数出图形点数如下表序号第1个第2个第3个第4个,N点数11

10、+3=41+3+5=91+3+5+7=16,根据等差型，得到第个图的点数为：1+3+5+,+(2n-1)请看,(1):12=1(2):22=4(3):32=9(4):42=162因止匕，猜想(n):1+3+5+,+(2n-1)=n证明：1+3+5+7+,+(2n-1)=1+3+5+,+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1)=(1-1)+(3-3)+(5-5)+,+(2n+2n+,2n)0.5n个2n=2nX0.5n2=n2所以，第(n)个图形的点数是n点。观察数列1,4,9,16,4比1多3,9比4多5,16比9多7,又观察数列0,3,8,15,24,3比0多3,8比3多5,15比8多7,且

11、有(3)32-1=8,(4)42-1=15,猜想第n个数为n2-10一般地，如果数列后一个数与它的前一个差逐渐大2,那么,可猜想这排列的第数).:(1)12-1=0,(2)22-1=3,n个为n2+a(a为待定的已知例5:如图是由一个三角形，连结各边的等分点而得到的小三角形，根据下列图形的变化规律，求得第个图形中共有个最小三角形.解：数出图中的小三角形,第一个图有1个小三角形，第二个图有4个小三角形，第三个图有9个小三角形,3,5,7,是一列相差2的奇数,可以画出第四个图形数出有16个小三角形，观察，有:4-1=3,9-4=5,16-9=7,于是猜想第n个图形中共有(n2+a)个最小三角形.当

12、n=1时，n2+a=1,解得,a=0.当n=2时，当n=3时经检验成立，2.一所以第n个图形有n个最小三角形。试试:；第38下表是由自然数组成的金字塔式的排列，先观察其规律，再猜测第25行右往左第26个数是行有个数.图12345678910111213141516171819202122232425，分析：通过观察数表发现：第二行最右边数4=2：第三行最右边数9=3：第四行最右边数16=42,第五行最右边数25=52,从而可知，第n行最右边数为n2.其实，本题最右和最左都满足平方型。第n行最右边的数必为n2,从而第25行最右边数秘为252=625,向左第26个数为600,第38行最右边数为38

13、2,第37行最右数为372,其差为382-372=75,所以第38行数目个数为75个。四、大胆猜想型问题：借助计算器在草稿上计算下列式子：旧十42,J332+442,73332+4442,仔细观察结果。试猜想J333.32+44.42=分析：在草稿上算出：，32+42=5,J332+442=55,73332+4442=555,，观察抽象出计算结果各位上的数字都是5,且其位数与左边两个幕的底数位数都相同，所以猜想J333.32+44.42=55,5。像这样的题型就得仔细观察并抽象出特征，大胆的猜想出其结论。一般地，在初中阶段大多猜想结论是无法证明的，但我们可以仔细的观察并抽象出特征，从而大胆的猜

14、想出其结论。例6:请观察思考下列计算过程：因为112=121,所以，7121=11;同样，：因为，1112=12321,所以，712321=111;,由此猜想：12345678987654321=。解：观察并抽象出被开方数为自然数先升高后降低，其结果每位数都是1,共有位数和最大的自然数相同，从而大胆猜想.12345678987654321=1111111112.试试:1 .研究下列等式，你会发现彳f么规律？(1)1X3+1=4=2(2)2X4+1=9=3(3)3X5+1=16=Z(4)4X6+1=25=5请你将第n个等式用公式表示为.2参考答案；n(n+2)+1=(n+1)通过这种训练，进一步

15、确信了猜想作为一种思维思维方法的正确性。同时，也进一步激发了学生对猜想思维方法实践的兴趣。由上看出，凡考察猜想方面的问题，均先要给出一些具体有限的事物，通过对这些具体有限的事物进行观察，并抽象出特征，观察问题不但要深刻、透彻；而且角度大都不是唯一的，除了上述个绍的方法外，对于每个题目大都有其特殊性，根据这种特殊性往往也能方便、快捷地达到所要完成的效果。例如对例2除上述解答外，还可以从给出图形中观察出另一特征：每两个相邻三角形有一个公共边，且公共边的条数比三角形的个数少1,因此猜想出第n个图形的火柴棒数是3n-(n-1)=2n+1。又如例5中的数列1、4、9、16,可直接扑看出:12=1、22=4、32=9、42=16,因此抽象出第n个数是n2.参考文献：1 .周安平.名校中考数学.M西南师范大学出版社，贵州人民出版社.2