初中数学全全等三角形截长补短知识点总结含答案

1、初中数学全全等三角形截长补短知识点总结含答案一、全等三角形截长补短1.如图，4ABC中，4。之上日之4：,AD是BC边上的高，如果8=“+BD,我们就称ABC为高和三角形请你依据这一定义回答问题：(1)若乙=90c1,n=3炉，则4ABC高和三角形”(填是“或不是”)；(2)一般地，如果4ABC是高和三角形"，则与之间的关系是,并证明你的结ABC30,D是边BC的中点，以AC为边作等边三角形ACE,且4ACE与ABC在直线AC的异侧，连接BE交DA的延长线于点F,连接FC交AE于点M(1)求证：FBFC;(2)求证：FEAFCA;(3)若FE8,AD2,求AF的长.3,已知，POQ9

2、0,分别在边OP,OQ上取点A,B,使OAOB,过点A平行于OQ的直线与过点B平行于OP的直线相交于点C.点E,F分别是射线OP,OQ上动点，连接CE,CF,EF.(1)求证：OAOBACBC；(2)如图1,当点E,F分别在线段AO,BO上，且ECF45'.时，请求出线段EF,AE,BF之间的等量关系式；(3)如图2,当点E,F分别在AO,BO的延长线上，且ECF135',时，延长AC交EF于点M，延长BC交EF于点N.请猜想线段EN,NM,FM之间的等量关系，并证明你的结论.p国II期24.如图，ABC和&BDC是等腰三角形，且ABAC,BDCD,BAC80,BDC1

3、00,以D为顶点作一个50角，角的两边分别交边AB,AC于点E、F,连接EF.DD图图(1)探究BE、EF、FC之间的关系，并说明理由；(2)若点E、F分别在AB、CA延长线上，其他条件不变，如图所示，则BE、EF、FC之间存在什么样的关系？并说明理由.5 .把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作MDN,交边AC,BC于点M,N.(1)如图(1),若ACD30,MDN60,当MDN绕点D旋转时，AM,MN,BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；(2)如图(2),当ACDMDN90时，AM,MN,BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；(3)如图(3),

4、在(2)的条件下，若将M,N分别改在CA,BC的延长线上，完成图(3),其余条件不变，则AM,MN,BN之间有何数量关系(直接写出结论，不必证明).6 .如图，ABC是边长为2的等边三角形，&BDC是顶角为120。的等腰三角形，以点D为顶点作MDN60，点M、N分别在AB、AC上.(1)如图，当MNBC时，则aAMN的周长为;图触图7.数学课上，张老师出示了问题：如图1,四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点./AEF=90,且EF交正方形外角/DCG的角平分线CF于点F,求证：AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证AME0E

5、CF所以AE=EF在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1)小颖提出：如图2,如果把熏E是边BC的中点”改为熏E是边BC上(除B,C外)的任意一点”，其它条件不变，那么结论"AE=EF5然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；(2)小华提出：如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变，结论"AE=EF5然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.8 .如图，在等边4ABC中，BD=CE,连接AD、BE交于点F.(1)求/AFE的度数；(2)求证：AC?DF=BD?BF；1(3)

6、连接FG若CF!AD时，求证：BD=DC.29 .如图所示，平行四边形ABCD和平行四边形CDEF有公共边CD,边AB和EF在同一条直线上，AC±CD且AC=AF,过点A作AHLBC交CF于点G,交BC于点H,连接EG.(1)若AE=2,CD=5,则4BCF的面积为;BCF的周长为;(2)求证：BC=AG+EG10 .已知平行四边形ABCD中，N是边BC上一点，延长DN、AB交于点Q,过A作AMLDN于点M,连接AN,则ADLAN.(1)如图，若tanZADM=-,MN=3,求BC的长；4(2)如图,过点B作BH/DQ交AN于点H,若AM=CN,求证：DM=BH+NH.【参考答案】*

7、试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1. (1)是(2)上”网；见解析【解析】【分析】(1)在BC上截取RE=4a,根据乙日二60,乙。=30可得4ABE为等边三角形，zF4C=z6,问题得解；(2)在ABC中，在DC上截取DE=BD,由AD是BC边上的高且BD=DE,进而证明=4邑AABDAAED(SA?就可以彳#到结论.【详解】解：(1)如图，RtABC中，z7/1C=9()fl|,上3=601士。=30;,在BC上截取RE=4耳，则ABE为等边三角形，析=蓦=,也.眇=比，.心B=EC/D,Bq,且4ABE为等边三角形，.四力-,H-一：一叫，是高和三角形.(2)£B

8、=2"；证明：如上图，在ABC中，在DC上截取华,C.F_或,?.AD是BC边上的高且BO=DF,.CE=TE,AABDAAED(SAS,才=5上C=.EACjlBEA2zC.W=2七C''【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形，理解高和三角形”的定义是解题关键.2. (1)见解析；(2)见解析；(3)4【分析】(1)利用AD所在直线是BC的垂直平分线，点F在直线AD上即可得出结论.(2)由4ACE是等边三角形，得AC=AE=ABt得ABFFEA.易证ABF且eACF(SSS,ABFFCAFEA即可，(3)延长AD至点P处，使DP=AD,连

9、接CP.先证直角三角形aADCAPDC(SAS,推出ACCPCE,ACDPCD,再证EFCEAC60.求出，FCDFBD30.用ACD表示ECF30ACD,而FCP30ACD,得ECFFCP.可证AECF0占PCF(SAS,可推得AFEFAP即可【详解】(1)证明：.ABAC,D是边BC的中点，AD所在直线是BC的垂直平分线，又.点F在直线AD上FBFC.(2)证明：ZXACE是等边三角形,EACACE60,ACAE. ABAC, ABAE,ABFFEA.由（1）可知，FBFC,又AFAF,ABAC, AABF9dACF（SSS,ABFFCA,FEAFCA.（3）解：如图，延长AD至点P处，使

10、DP=AD，连接CP.ABAC,D是边BC的中点,ADCPDC90ACE是等边三角形，ACCE,EAC60.ADDP,ADCPDC,CDCD, MDCwAPDC（SAS）,ACCPCE,ACDPCD.由（2）可知，FEAFCA, AMCFME,EFCEAC60.由（1）可知，BFCF,BFDCFD18060260,FCD906030.FCAFCDACD,FCA30ACD.ECFECAFCA,ECFECA30ACDECA30ACD30ACD.FCPFCDPCD,FCP30ACD,ECFFCP.FCFC,CECP, AECFaPCF(SAS,FEFP,FEFAAPAF2AD,AFEF2AD822=

11、4.【点睛】本题考查线段垂直平分线性质，等边三角形性质，三角形全等判定与性质，掌握线段垂直平分线性质，等边三角形性质，三角形全等判定与性质，会利用引辅助线构造三角形全等转化线与线关系，角与角关系来解决问题.3. (1)见解析；(2)EFAEBF；(3)MN2EN2FM2,见解析【分析】(1)连接AB,通过POQ90",OAOB得到zkAOB为等腰直角三角形，进而得到OABOBA45”,根据过点A平行于OQ的直线与过点B平行于OP的直线相交于点C,可推出CBA45',BAC45,最后通过证明&AOB/ACB,可以得出结论；(2)在射线AP上取点D,使ADBF,连接CD,

12、通过证明aCADACBF,得到CDCF,ACDBCF,再结合ECF45、ACB90：推导证明正CDAECF,得到EDEF,最后等量代换线段即可求解；(3)延长AO到点D,使得ADBF,连接CD,通过证明aCADACBF,得到CDCF,ACDBCF,再结合ECF135，推导证明&ECD色AECF,得到DCFM,根据DCFB,等量代换可知CFMCFB,又因为AC/OQ,推出MCFCFB,进而得到MCMF,同理可证CNEN,最后根据勾股定理即可求解.【详解】解：(1)证明：连接AB.丁POQ90,OAOB,&AOB为等腰直角三角形，OABOBA45,又/BC/OP,且POQ90,BC

13、OQCBF90,CBA45',同理，BAC45,在&AOB与ACB中OABCABABAB,OBACBFaAOBAACBASA,AOBACB90，OAOBACBC；国i(2)如图1,在射线AP上取点D,使ADBF,连接CD.尸力、在aCAD与ACBF中CACBCADCBF,ADBFCAD且纥BFSAS,CDCF,ACDBCF,ECF45',ACB90,ACEBCF45,ACEACDECD45,ECDECF,在&ECD与AECF中CDCFECDECFCECEECDAECFSAS,EDEF,又EDADAEBFAE,EFAEBF.(3)MN2EN2FM2.证明如下：如图

14、2,延长AO到点D,使得ADBF，连接CD.CADCBF90,在CAD与CBF中CACBCADCBF,ADBFCADWBFSAS,CDCF,ACDBCF,ACDDCB90',BCFDCB90DCF,FCDBCA90,ECF135,ECD36090135135、ECFECD,在以ECD与AECF中ECECECDECF,CDCFECDAECFSAS,DCFM,CaCADCBF,DCFB,CFMCFB,AC/OQ,MCFCFB,CFMMCF,MCMF,同理可证：CNEN,在MCN中，由勾股定理得：MN2CN2CM2EN2FM2.【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理以及正方形

15、的有关知识，通过添加辅助线构造全等三角形，通过证明全等三角形得到线段之间的关系是解题的关键.4.(1)EF=BE+FC(2)EF=FC-BE【分析】(1)由等腰三角形的性质，解得ABCACB50,DBCDCB40,延长AB至G,使得BG=CF连接DG,进而证明zGBD也FCD(SAS),再根据全等三角形对应边相等的性质解得DGFD,再结合等腰三角形的性质可证明aDEFDGE(SAS),最后根据全等三角形的性质解题即可；(2)在CA上截取CG=BEa接DG,由等腰三角形的性质，可得ABCACB50,DBCDCB40，进而证明aBEDCGD(SAS)得到DGDE,据此方法再证明&EDFaG

16、DF(SA3,最后根据全等三角形的性质解题即可.【详解】(1) ;aABC和&BDC是等腰三角形，ABCACBDBCDCB；BAC80,ABACABCACB50丫BDC100,BDCDDBCDCB40ABDACD90DCF延长AB至G,使得BG=CF连接DGGBD180ABD90在AGBD和&FCD中，BG=CF,GBDDCF,BDFDGBDdFCD(SAS),DGFDCDFBDGEDF50,BDC100BDECDF50丫GDEBDGBDECDFBDE50在&DEF和ADGE中，.DE=DE,EDFGDE,DFGD小DEF-DGE(SAS),EFEGBEGBBECF(2

17、)在CA上截取CG=BE接DGABCACB50BDC100,BDCDDBCDCB40EBDGCD90,CGBE,BDCD在ABED和acgd中，CG=BEEBDGCD,BDCDaBEDdCGD(SAS)DGDE在aEDF和5gdf中，VFD=FD,GDFEDF,EDGDEDFdGDF(SA3EFFGFCCGFCBE【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易,掌握相关知识是解题关键.5.(1)AMBNMN;证明见解析；(2)AMBNMN;证明见解析；(3)补图见解析；BNAMMN;证明见解析.【分析】(1)延长CB到E,使MDNAEDN,推出(2)延长C

18、B到E,使MDNAEDN,推出BE=AM,证DAM0DBE,推出/BDE=/MDA,DM=DE,证MN=NE即可；BE=AM,证DAM0DBE,推出/BDE=/MDA,DM=DE,证MN=NE即可；(3)在CB截取BE=AM,连接DE,证DAM0DBE,推出ZBDE=ZMDA,DM=DE,证MDNAEDN,推出MN=NE即可.【详解】(1) AMBNMN.证明如下：如图，延长CB到E,使BEAM,连接DE.ACBD90,AEBD90."ADC*BDC,ADBD.在ADAM和&DBE中,AMBEADBE,ADBD&DAMjDBESAS,BDEMDA,DMDE.；MDNA

19、DCBDC,ADMNDCBDE,MDCNDB,MDNNDE.在AMDN和AEDN中，DMDEMDNEDN,DNDNMDNzXEDNSASMNNE.；NEBEBNAMBN,AMBNMN；(2) AMBNMN,证明如下：如图，延长CB到E,使BEAM,连接DE.ACBD90,ADBE90./aADCWBDC,ADBD,ADCCDB.在ADAM和aDBE中，AMBEADBE,ADBDBDEMDNNDMADMDAMjDBESAS,MDA,DMDEACD90,ACDADC90,ADCADCCDB,CDNBDE,CDMNDB,MDNNDE.在AMDN和AEDN中,DMDEMDNEDN,DNDNMDNEDN

20、SAS,MNNE.,NEBEBNAMBN,AMBNMN；(3)补充完成题图，如图所示.BNAMMN.证明如下：如上图，在CB上截取BE=AM,连接DE./CDAACD90,MDNACD90,MDNCDA,MDACDN.;BCAD90,BDAM90.在ADAM和&DBE中，AMBEDAMDBE,ADBDDAMjDBESAS,BDEADMCDN,DMDE丫ADCBDCMDN,ADNCDE,MDNEDN.在AMDN和AEDN中，DMDEMDNEDN,DNDNMDNEDNSAS,MNNE./NEBNBEBNAM,BNAMMN.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作出辅助线构造全等三

21、角形是解题的关键.6.(1)4;(2)见解析【分析】(1)首先证明BDMCDN,进而得出4DMN是等边三角形，ZBDM=ZCDN=30,NC=BM=一DM=一MN,即可解决问题；22(2)延长AC至点E,使得CEBM，连接DE,首先证明zBDMACDE,再证明AMDNiAEDN,得出MNNE,进而得出结果即可.【详解】解：(1)aABC是等边三角形，MN/BC,AMNABC60,ANMACB60AMN是等边三角形，AMAN,则BMNC,&BDC是顶角BDC120的等腰三角形,DBCDCB30,DBMDCN90,在aBDM和4CDN中，BMCN,MBDDCN,BDCD,BDMACDNSA

22、S,DMDN,BDMCDN,MDN60,DMN是等边三角形，BDMCDN30,11.NCBM-DMMN,MNMBNC,22aAMN的周长ABAC4.(2)如图，延长AC至点E,使得CEBM，连接DE,&ABC是等边三角形，aBDC是顶角BDC120的等腰三角形,ABCACB60,DBCDCB30,ABDACD90,DCE90,在aBDM和CDE中，BDCD,MBDECD,BMCE,BDMACDESAS,MDED,MDBEDC,MDE120MDBEDC120,MDN60,NDE60,在AMDN和AEDN中，MDED,MDNNDE60,DNDN,MDNAEDNSAS.MNNE,又NENCC

23、ENCBM,BMNCMN.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定，等边三角形及等腰三角形的性质是解题的关键.7. (1)正确.证明见解析；(2)正确.证明见解析.【分析】(1)在AB上取一点M,使AMEC,连接ME,根据已知条件利用ASA判定至ME二3ECF,因为全等三角形的对应边相等，所以AEEF.(2)在BA的延长线上取一点N,使ANCE,连接NE,根据已知利用ASA判定- ANE二¥CF,因为全等三角形的对应边相等，所以AEEF.【详解】解：(1)正确.证明：在AB上取一点M,使AMEC,连接ME.BMBE,BM

24、E45,AME=135，；CF是外角平分线，DCF45,ECF135,；Ame=ecf,么EBIBAE=90'，AEBCEF90,BAECEF,二Mme'ecf(asa),AEEF.(2)正确.证明：如图示，在BA的延长线上取一点N,使ANCE,连接NE.BNBE,二小一NEC45°,；CF平分DCG,."./FCE-45°,- -N=ECF,r四边形ABCD是正方形，ADZ/BE,./DAE=/BEA,即,DAEI900=BEA+90”,/NAE=/CEF,- -aANE“eCF(ASA),AEEF.【点睛】此题主要考查了正方形的性质，角平分线的

25、性质及全等三角形的判定方法，熟悉相关性质是解题的关键.8. (1)60。；(2)证明见解析；(3)证明见解析【分析】(1)证明AABDABCE(SAS,得出/BAD=/CBE贝U/BFD=/AFE=/ABC=60°ABBD(2)证明ADBsBDF,得出=,由AB=AC可得出结论；BFDF(3)延长BE至H,使FH=AF,连接AH,CH,证明BABCAH(SA。，得出/ABF=,一BFBD1ZACH,CH=BF,可证明AF/CH,得出=一,进而即可得出答案.FHCD2【详解】解：(1)4ABC是等边三角形，.AB=AC=BC,/ABD=/BCE=60°,在ABD和BCE中,A

26、BBCABD=BCE,BDCE2 .ABDABCE(SAS,/BAD=/CBE,3 /ADC=/CBE-+ZBFD=/BAD+/ABC,/BFD=/AFE=/ABC=60-(2)证明：由(1)知/BAD=/DBF,又/ADB=/BDF,4 .ADBABDF,ABBD=,BFDF又AB=AC,ACBD=,BFDF5 .AC?DF=BD?BF；(3)证明：延长BE至H,使FH=AF,连接AH,CH,由(1)知ZAFE=60°,/BAD=/CBE.AFH是等边三角形，/FAH=60；AF=AH,/BAC=/FAH=60°,ZBAC-/CAD=/FAH-/CAD,即/BAF=/CA

27、H,在BAF和ACAH中，ABACBAF=CAH,AFAH .BAFACAH(SAS,./ABF=/ACH,CH=BF,又./ABC=/BAC,/BAD=/CBE /ABC-/CBE=/BAC-/BAD,即/ABF=/CAF/ACH=/CAF, .AF/CH, ./AFC=90；/AFE=60°,.-.CF±CH,ZCFH=30°, .FH=2CH,.FH=2BF,1. FD/CH,BFBD1=-FHCD2'1 .BD=DC.2【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定及其性质、相似三角形的判定及其性质，解题的关键熟练掌握全等三角形的判定方法和相似

28、三角形的判定方法.9.(1)3,23亚>/34;(2)见解析【分析】(1)根据平行和垂直的特点求出BF,AF,再根据勾股定理求出CD,根据FP与BA的比值求出面积，再根据勾股定理求CF,BC即可得到周长.(2)在AD上截取AM=AG,连接CM,证FA84CAM；证EF84DCM.【详解】解：(1)面积为3；周长为23五J34 四边形ABCD和四边形CDEF都是平行四边形， .EF=CDAB=CD,AB/CDEF=AB=CD=5.AE=EF-AE=5-2=3BF=5-3=2过F作FP±BC8P/c贝UFP：AH=BF：AB=2：5,SBCF:S-BCAFP:AH2:5, .ACXCD,AB/CD, .ABLAC,即/BAC=90,.AC=AF=3,CF=j32323显，BC=j3252用,S2s、BCF_0-BCA521-八-CDAC352.AD/BC,AD=BC.AHXBCADXAH/DAH=90°3 /BAC=90°/DAH=ZBAC4 /DAH-ZCAH=/BACZCAH/BAH=ZCAD5 .AF=AC6 .FAGACAMFG=CM,/