全国卷历年高考解析几何真习题归类分析20某

1、全国卷历年高考解析几何真题归类分析（含答案）（2015年-2018年共11套）解析几何小题（共23小题）一、直线与圆（4题）1.（2016年2卷4）圆的圆心到直线 的距离为1，则a=（ ）（A） （B） （C） （D）2【解析】圆化为标准方程为：，故圆心为，解得，故选A2.（2015年2卷7）过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则=（ ）（A）2 （B）8 （C）4 （D）10【解析】选C.由已知得kCB=2-(-7)4-1=3,所以kABkCB=-1,所以ABCB,即ABC为直角三角形,其外接圆圆心为(1,-2),半径r=5,所以外接圆方程为(x-1)2

2、+(y+2)2=25,令x=0得y=26-2,所以|MN|=46.3.（2016年3卷16）已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则_.【解析】取AB的中点E,连接OE,过点C作BD的垂线,垂足为F,圆心到直线的距离d=,所以在RtOBE中,BE2=OB2-d2=3,所以d=3,得m=-,又在CDF中,FCD=30,所以CD=4.4.（2018年3卷6）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A. B. C. D. 【解析】A，直线分别与轴，轴交于，两点,则点P在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P到直线的距离的范围为则二、椭圆（4题）1.（2015年

3、1卷14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .【解析】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.2.（2107年3卷10）已知椭圆的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（ ）.ABCD【解析】因为以为直径的圆与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，又因为，则上式可化简为.因为，可得，即，所以.故选A.3.（2016年3卷11）已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（ ）（A）（B）（C）（D）【解析】选A.由题意可知直线A

4、E的斜率存在,设为k,直线AE的方程为y=k,令x=0可得点E坐标为,所以OE的中点H坐标为,又右顶点B(a,0),所以可得直线BM的斜率为-,可设其方程为y=-x+a,联立可得点M横坐标为-,又点M的横坐标和左焦点相同,所以-=-c,所以e=.4.（2018年2卷12）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，则的离心率为A. B. C. D. 【解析】D，因为为等腰三角形，所以PF2=F1F2=2c,由斜率为得，由正弦定理得,所以，三、双曲线（10题）1.（2015年1卷5）已知M（）是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）（A）（

5、-，） （B）（-，） （C）（，） （D）（，）【解析】由题知，所以= =，解得，故选A.2.（2016年1卷5）已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是（A） （B） （C） （D）【解析】选A.表示双曲线,则(m2+n)(3m2-n)0,所以-m2n3m2,由双曲线性质知:c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,其中c是半焦距,所以焦距2c=22|m|=4,解得|m|=1,所以-1n0,b0),如图所示,|AB|=|BM|,ABM=120,过点M作MNx轴,垂足为N,在RtBMN中,|BN|=a,|MN|=3a,故点M的坐标为M(2a,3a),代入双曲线方程

6、得a2=b2=c2-a2,即c2=2a2,所以e=2.8.（2016年2卷11）已知，是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，与轴垂直，sin ,则E的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）2【解析】 离心率，由正弦定理得9.（2018年1卷11）已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=A. B. 3 C. D. 4【解析】B，根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以.10.（20

7、18年3卷11）设是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点过作的一条渐近线的垂线，垂足为若，则的离心率为A. B. 2 C. D. 【解析】C，由题可知，在中，在中,，四、抛物线（5题）1.（2108年1卷8）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=( )A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【解析】D，根据题意，过点（2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得.2.（2016年1卷10）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=,|DE|=,则C的焦点到准线的距离

8、为（ ）(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【解析】选B.以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理可得.设抛物线为y2=2px(p0),设圆的方程为x2+y2=r2,题目条件翻译如图:设A(x0,2),D,点A(x0,2)在抛物线y2=2px上,所以8=2px0.点D在圆x2+y2=r2上,所以5+=r2.点A(x0,2)在圆x2+y2=r2上,所以+8=r2.联立解得:p=4,焦点到准线的距离为p=4.3.（2017年1卷10）已知为抛物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则的最小值为（ ）.A B C D【解析】设直线的斜率为，则直线的斜率为，设，直

9、线，直线.联立，消去整理得，所以，同理，从而，当且仅当时等号成立.4.（2107年2卷16）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若为的中点，则 【解析】由，得，焦点为，准线.如图所示，由为的中点，故易知线段为梯形的中位线.因为，所以.又由抛物线的定义知，且，所以.5.（2108年3卷16）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点若，则_【解析】2，设，则，所以，所以取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为，因为,，因为M为AB中点，所以MM平行于x轴，因为M(-1,1)，所以，则即.解析几何解答题（共11小题）一、椭圆（7题）1.（2015年2卷）已知椭圆C:9x

10、2+y2=m2(m0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(2)若l过点(m3,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率,若不能,说明理由.解：(1)设直线l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故，.于是直线的斜率即kOMk=-9,所以直线OM的斜率与l的斜率的积是定值.(2)四边形OAPB能为平行四边形，因为直线l过点(m3,m

11、),所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0,k3，由(1)得OM的方程为y=-9kx. 设点P的横坐标为xp.由，得，即.将点的坐标代入的方程得，因此四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相评分，即.于是，解得.因为ki0,ki3,i=1,2,所以当l的斜率为4-7或4+7时,四边形OAPB为平行四边形.2.（2016年1卷）设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线过点B(1,0)且与x轴不重合, 交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线交C1于M,N两点,过B且与垂直的直线与

12、圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.【解析】(1)圆A整理为(x+1)2+y2=16,点A坐标为(-1,0),如图,BEAC,则ACB=EBD,由|AC|=|AD|,则ADC=ACD,EBD=EDB,则|EB|=|ED|,|AE|+|EB|=|AE|+|ED|=|AD|=4.所以E的轨迹为一个椭圆,方程为+=1(y0);(2)C1: +=1;设:x=my+1,因为PQ,设PQ:y=-m(x-1),联立与椭圆C1,得(3m2+4)y2+6my-9=0;则|MN|=|yM-yN|=;圆心A到PQ距离d=,所以|PQ|=2=2=,SMPNQ=|MN|PQ|=2412,8).3.（20

13、16年2卷）已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.（I）当，时，求AMN的面积；（II）当时，求k的取值范围.【解析】 当时，椭圆E的方程为，A点坐标为，则直线AM的方程为联立并整理得，解得或，则因为，所以因为，所以，整理得，无实根，所以所以的面积为直线AM的方程为，联立并整理得，解得或，所以，所以因为，所以，整理得，因为椭圆E的焦点在x轴，所以，即，整理得解得4.（2017年1卷）已知椭圆，四点，中恰有三点在椭圆上.（1）求的方程；（2）设直线不经过点且与相交于，两点.若直线与直线的斜率的和为，求证：过定点.解析：（1）根据椭圆对称性，

14、必过，又横坐标为1，椭圆必不过，所以过三点.将代入椭圆方程得，解得，所以椭圆的方程为（2）当斜率不存在时，设，得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足当斜率存在时，设，联立，消去整理得，则，又，此时，存在使得成立所以直线的方程为.当时，所以过定点5.（2017年2卷）设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.（1）求点的轨迹方程；（2）设点在直线上，且.求证：过点且垂直于的直线过的左焦点. 解析：（1）设点，易知，又，所以点.又在椭圆上，所以，即（2）由题知，设，则，由，得.又由（1）知，所以，从而，即.又过点存在唯一直线的垂直于，所以过点且垂直于的直线过曲线的左焦点.6

15、.（2018年1卷）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.【解析】（1）由已知得，l的方程为x=1.由已知可得，点A的坐标为或.所以AM的方程为或.（2）当l与x轴重合时，.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，则，直线MA，MB的斜率之和为.由得,.将代入得，.所以，.则.从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以.综上，.7.（2018年3卷）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且证明：，成等差数列，并求该数列的公差【

16、解析】（1）设，则.两式相减，并由得.由题设知，于是.由题设得，故.（2）由题意得，设，则.由（1）及题设得.又点P在C上，所以，从而，.于是.同理.所以.故，即成等差数列.设该数列的公差为d，则.将代入得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.故，代入解得.所以该数列的公差为或.二、抛物线（4题）1.（2015年1卷）在直角坐标系中，曲线C：y=与直线（0）交与M,N两点，（）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM=OPN？说明理由.解析：（）由题设可得，或，.，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为，即.故在=-处的到数值为-，C在

17、处的切线方程为，即.故所求切线方程为或.（）存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为复合题意得点，直线PM，PN的斜率分别为.将代入C得方程整理得.=.当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPM=OPN，所以符合题意. 2.（2016年3卷）已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:ARFQ；(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.【解析】(1)由题意可知F,设l1:y=a,l2:y=b且ab0,A,BP,Q,R,记过A,B两点的

18、直线方程为l,由点A,B可得直线方程为2x-(a+b)y+ab=0,因为点F在线段AB上,所以ab+1=0,记直线AR的斜率为k1,直线FQ的斜率为k2,所以k1=,k2=-b,又因为ab+1=0,所以k1=,所以k1=k2,即ARFQ.(2)设直线AB与x轴的交点为D,所以SABF=,又SPQF=,所以由题意可得SPQF=2SABF即: =2,解得x1=0(舍)或x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得(x1).而,所以y2=x-1(x1).当AB与x轴垂直时,E与D重合,所以,所求轨迹方程为y2=x-1.3.（2017年3卷）已知抛物线，过点的直线交与，两点，圆是以线段为直径的圆（1）求证：坐标原点在圆上；（2）设圆过点，求直线与圆的方程解析：（1）显然当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意设，联立，得