分形表示ppt课件

1、8.6 分形表示分形表示什么是分形自然界中的分形分形的特点分形实例分形与维数不规那么物体的建模方法1.什么是分形 1967年，美国的杂志上发表了一篇题为的论文。这篇论文对海岸线的本质作了独特的分析，以致当时的整个学术界为之震惊。这篇论文也成为了作者曼德布罗特Mandelbrot思想的转机点，分形的实际就从此萌芽并迅速开展起来。曼德布罗特，也成为了分形论的奠基人。 A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way假设一个图形的部分以某种方式与其整体本身类似，这个图形就称为分形， 这就是分形的最根本定义。问题的本

2、质“非常规、不规那么的图形 从直观上来看，所谓分形是指一些无法用常规的、传统的几何方法描画的图形。例如天空的云彩、曲折的江河和海岸线、树叶、山峰等。它们不同于正方形、圆、直线等规那么的几何图形，表现出某种混乱和不规那么。通常的度量概念，如长度、面积等，对它们来说，不仅很难计算，而且有时根本是无法计算的。在这些“非常规的、“不规那么的图形中蕴藏着丰富的、有趣的规律和性质。 从实际上讲，分形是数学思想的新开展，是人类对于维数、点集等概念的了解的深化与推行，所以人们把它称为是一种新的几何学分形几何学。然而，它又与现实的物理世界严密相连，成为研讨混沌(chaos)景象的重要工具。2.自然界中的分形3.

3、分形的特点分形体系的部分与整体是类似的。实践上，分形体系内任何一个相对独立的部分，在一定程度上都是整体的再现和缩影。构成分形整体的相对独立的部分称为生成元或分形元。 任何一个分形，都很有无穷多个分形元。对整体的无限细分，所构成的无数分形元，构成了分形图形的整体。分形图形是如此的不规那么,以致于它的整体和部分都不能用传统的几何言语来描画.在某种意义下的分形维数通常要大于它的拓扑维数.4.分形实例：1Cantor点集(康托尔点集) 我们想象一条单位长的直线线段，去掉它的中间的三分之一，这样留下的部分将是两段长度分别为三分之一的线段，总长度为2/3。接下去我们再把这两条线段去掉中间的三分之一，这时留

4、下的部分将是四条长度各为九分之一的线段，总长度为4/9。如此不断地循环操作，最终将得到一个名为康托尔点集的集合。这就是一个分形图案。留意，它不是一个空集，在原线段的13，23，19，29，79，89处的点将永远留在这个点集中，然而留下部分的长度显然将趋近于零。读者不难验证一下刚刚提到的三点性质在康托尔点集中都有表达。它是一个维数在1和0之间的分形图案。 Cantor点集4.分形实例： 2Koch曲线(柯克曲线) 同样从一条单位长的直线线段出发，以它的中间三分之一为底，画出一个等边三角形，并去掉这个底边。在这个变换中，线段的总长度将添加三分之一，成为4/3。继续这个变换，即对上一步所得图案中的每

5、一条线段进展同样的处置，这时，曲线的总长度将按4/3的n次方递增而趋于无穷大，然而它并没有铺满平面。这就是Koch曲线，一种维数大于1而小于2的分形图案。不难看出，其实它就是海岸线问题的模拟与笼统。 Koch曲线的生成过程无穷次迭代之后的情形Koch曲线的特点具有精细的构造;如此的不规那么以致于它的整体和部分都难以用经典的几何来描画;具有自类似性;定义直接,由简单的递归方式构成;曲线的长为无穷大,面积为零,从而不能用通常的测度来度量;Koch曲线的长度当迭代次数的时候Koch曲线的面积用一个三角形覆盖全部曲线,其底为1,高为 ,面积为 ,对三角形的四个小部分用四个三角形覆盖,每边长度均为原三角

6、形边长的三分之一,故全部三角形面积为 ,边长再缩短三分之一的16个小三角形去覆盖曲线的16个小部分,全部面积为 ;依次类推,最终曲线的面积为:4.分形实例： 3Sierpinski垫片 以边长为3的方形开场,从中间去掉边长为1的方形.对剩下的8个方形,继续上面的操作,这样得到的图形就称为Sierpinski垫片.Sierpinski垫片-迭代的过程继续下去再次迭代迭代到无穷多次的时候Menger海绵4.分形实例：4复平面上的迭代-Mandelbrot集迭代函数为:其中: 当 时会发生两种情形: ; 依然有界;假设对给定的c, 依然有界,那么c就属于Mandelbrot集.各式各样的Mandel

7、brot集常见的分形图形Sierpinski三角形Sierpinski多边形常见的分形图形Koch雪花巴斯利树叶5.分形与维数分形与维数-非整数的维数？非整数的维数？ 从实际上说，分形可以定义为“非整数维数的点集。当然，要了解这个概念，必需先推行维数的概念。普通来说，维数都是整数，直线线段是一维的图形，正方形是二维的图形等等。那么，如上所说的海岸线是几维的呢?假设不确切地描画一下，那就可以说，由于海岸线的曲折和不规那么，作为一个点集，它所包含的点比直线线段上的点要更“多一些，当然，它并没有铺满平面，所以它比平面(例如一个正方形或圆)上的点要“少一些。假设从点的“多少来了解维数的话，那么海岸线的

8、维数该当是大于1而小于2的一个数，即具有非整数的维数，所以海岸线是一个分形图案(近期的研讨阐明，海岸线的维数大约是1.2)。传统的度量方法失效了?传统的度量方法失效了?对维数的了解分形图形的维数6.不规那么物体的建模方法用计算机生成真实感图形不断是计算机图形学中最具有挑战性的研讨方向之一，特别是对不规那么物体的模拟非常困难，缘由在于： 火、烟和云等均系气表达象，其构成都是由无 数小颗粒随机运动而产生，外观外形极不规那么，没有光滑的外表，而且极其复杂与随意，并 能够随时间而发生变化，这使得用经典的欧几里德几何学对其描画显得无能为力，如用直线 、圆弧、和样条曲线等去建模，那么其逼真度就非常差； 几

9、乎每一个人都知道这类景象 ，如火焰、烟及云是什么样子，但却很少有人可以准确地将其外形描画出来；火焰等 气表达象的运动非常复杂，如火焰忽隐忽现，烟袅袅上升，云那么虚无缥缈，同时，在火焰燃 烧、烟雾分散以及云层飘动过程中，还会遭到风力的作用，使其发生捉摸不定的变化. 基于粒子系统的模型 1983年由W.T.Reeves等初次系统地提出了一种用于不规那么模糊物体如火、云、水等建模 的方法。当时Reeves为电影Star Trek II绘制星系爆炸的局面。“粒子系统 就是由大量粒子集合在一同表现模糊物体的计算机模拟系统，其根本思想是把模糊物体看作 是众多粒子组成的粒子团，各粒子均有本人的属性，如颜色、外形、大小、生存期、速度等.该系统在不同时辰的形状由粒子的动力学性质决议，粒子随时间的推移而不断地运动，并不断改动形状.这种粒子运动包括平移、旋转、自转、涡旋、反弹、比例变换等，均可以经过受控的随机过程来模拟实现.该系一致直处于动态的变化中，即新粒子经过可控的随机过程不断地产生 ，旧粒子不断地消亡。基于分形几何描画的云模型利用分形几何，先定义出云的外形，然后运用光照效果将该外形表现为云团。在建立云的分形模型过程中，把云的根本外形定义为简单的球体，并在不同的方向上对这些云球作某些变形，然后将初始云球随机减少，并在不同方位上偏离父球中心的微小位移处进展多次随机复制，