平行四边形知识点与经典例题

1、学习必备欢迎下载图13平行四边形基础知识平行四边形平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形义有两组对边分别平行的四边 形是平行四边形。有一个角是直角 的平行四边形是 矩形。有一组邻边相等的平 行四边形是菱形。有一组邻边相等且 有一个角是直角的 平行四边形。两腰相等的梯形是等 腰梯形。性质1、对边平行且相等。2、对角相等，邻角互补。3、对角线互相平分1、四个角都是直角。2、对角线相等。1、四条边都相等。2、两条对角线互相垂 直，并且每一条对角线 平分一组对角。具有平行四边形、矩 形、菱形的所有特 征。1、两腰相等两底平行2、同一底上的两角相 等3、两条对角线相等判 1、定义：2、判定定理：(1)两组对边

2、分别相等的四 边形是平行四边形。(2)两组对角分别相等的四 边形是平行四边形。(3) 一组对边平行且相等的 四边形是平行四边形。(4)对角线互相平分的四边 形是平行四边形。1、定义：2、判定定理：(1)对角线相等 的平行四边形是 矩形。(2)有三个角是 直角的四边形是 矩形。1、定义：2、判定定理：(1) 一组邻边相等的 平行四边形是菱形。(2)对角线互相垂直 的四边形是菱形。1、先证明是矩形再 证明一组邻边相等。2、先证明是菱形再 证一个角是直角。1、定义：先判断是梯 形在证明两腰相等。2、同一底上的两个角 相等的梯形是等腰梯 形。3、对角线相等的梯形 是等腰梯形。对称性轴对称图形轴对称图形

3、轴对称图形轴对称图形1、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍的一半。2、由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。三、例题例1、如图1,平行四边形 ABCD中，庆£，8口，。尸，8口，垂足分别为E、F.求证：/ BAE = / DCF.例2、如图2,矩形ABCD中，AC与BD交于。点，BEX AC于E, CF± BD于F. 求证：BE = CF.例3、已知：如图3,在梯形ABCD中，AD/ BC, AB = DQ点E、F分别在 AB、CD上，且BE = 2EA CF = 2FD.求证：/ BEC 支 CFB.例

4、4、如图6, E、F分别是 ABCD的AD、BC边上的点，且 AE = CF.(1)求证：AABH A CDF=;（图6）(2)若 UM、N分别是BE. DF的中点，连结 MF、EN,试判断四边形 MFNE是怎样的四 边形，并证明你的结论.四边形AFCE是菱形.备用图(1)备用图(2)例5、如图7 ABCD的对角线AC的垂直平分线与边 AD, BC分别相交于点E, F.,求证:例6、如图8,四边形ABCD是平行四边形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点.(1)如果,则DE8 BFA (请你填上一个能使结论成立的一个条件) (2)证明你的结论.例7、如图9,已知在梯形 ABCD中，AD/BC

5、, AB = DC,对角线 AC和BD相交于点 O, E是BC边上一个动点(点 E不与B、C两 点重合)，EF/ BD交AC于点F, EG/ AC交BD于点C.(1)求证：四边形 EFOG的周长等于2OB;(2)请你将上述题目的条件 梯形ABCD中，AD/BC, AB = DC'改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论， 四边形EFOG 的周长等于2OB仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明例8、有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植(即将梯形的面积两等分)，试设计两种方案(平分方案画在备用图13(1)、(2)上)，并给予合理的解释.学习必备欢迎下载四、练习

6、 一、选择题1 .下列命题正确的是（A）、一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形(B)（C）、两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形(D)、对角线相等的四边形一定是矩形在两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形2 .已知平行四边形ABCD勺周长32, 5AB=3BC,则AC勺取值范围为D. 4<AC<16A. 6<AC<10; B. 6<AC<16; C. 10<AC<16;3 .两个全等的三角形（不等边）可拼成不同的平形四边形的个数是（4.(A) 1延长平形四边形(B) 2(C) 3(D)4ABCD勺一边AB至U E,使BE

7、= BD,连结DE交BC于F,若/ DAB= 120° , / CFE= 135° , AB= 1 ,则 AC 的长为)(A) 1(B) 1.2(D) 1.55.若菱形ABCDhA锤直平分B什E, AE= 1cm,则BD勺长是（）(A) 1cm(B) 2cm(C) 3cm(D) 4cm6 .若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线（A）互相垂直（B）相等（C）互相平分 （D）互相垂直且相等7.如图，等腰 ABC中，D是BC边上的一点，DE/ AC, DF/ AB, AB=5那么四边形（D） 20AFDE勺周长是（第8题）（第7题）8.如图，将边长

8、为（第9题）（第10题）8cme勺正方形纸片ABC所叠，使点哈在BC&中点E处，点A落在点F处，折痕为MN则线段CN勺长是（）.1 A) 3cm8 B)4cm(C) 5cm9 .如图，在直角梯形 梯形的中位线的长是（ABC丽,AD/ BC（D） 6cmZB=9Cf ,AC将梯形分成两个三角形，其中 AC D是周长为18 cm的等边三角形，则该(A)9 cm (B)12cm(c)9 cm (D)18 cm210.如图，在周长为20cm的DABCD3, AB5 AD AG BD1交于点O, OE! B眩ADE,则 ABE勺周长为（(A)4cm(B)6cm (C)8cm (D)10cm11

9、.如图2,四边形ABC西矩形纸片.把纸片ABC所叠，使点B恰好落在CDa的中点E处，折痕为（A） 4 氏（B） 3m（C） 4&（D） 812 .如图，已知四边形 ABC中,R P分另J是BG CDk的点，E、F分别是 AR RP勺中点，当点P在CD1从C向D移动而点 林动时，那么下列结论 成立的是（）A线段EF的长逐渐增大B 、线段EF勺长逐渐减小G线段EF的长不变D 、线段EF勺长与点P)13 .在梯形 ABC计，AD/BC,对角线 AC± BD,且 AC = 5cm ,BD=12c m,则梯形中位线的长等于（A. 7.5cmB. 7cmC. 6.5cm D. 6cm14

10、.国家级历史文化名城一一金华，风光秀丽，花木葱茏.某广场上一个形状是 平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫 6种颜色的花. 如果有AB / EF / DC , BC / GH / AD ,那么下列说法中错误的是（ A.红花、绿花种植面积一定相等B .紫花、橙花种植面积一定相等c.红花、蓝花种植面积一定相等 二、填空题.蓝花、黄花种植面积一定相等1.如果四边形四个内角之比1: 2: 3: 4,则这四边形为形。 2.若正方形的又角线长为2段cm,则正方形的面积为3 .若矩形一个内角的平分线，把另一边分为4cm,5cm两部分，则这个矩形周长是4 .已知：平行四边形ABCDJ周长是

11、30cm,对角线AC, BD1交于点0, AAOB勺周长比4 BOC勺周长长5cm ,则这个平行四边形的各边 长为。5.已知：平行四边形 ABC由，AELBC交CB的延长线于点、,3AF± CD交 CD的延长线于点 F, AB+ BC+ CD+ DA= 32cm, BC= 5 AB,/EAF= 2/C,贝U BE长为6.在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A(-2,5)B(-3, -1),C(1, 1)在第一象限内找一点 D,使四边形ABCD是平行四边形，那么点 D的坐标是7.已知：如图8,正方形ABCDK对角线A5口BDffi交于点Q 的长为。F分别是边AR若 AE= 4c

12、m DF= 3cm,且 OEL OF,则EF(1)BC±的点,第10题图8.如图9 (1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图10(2)所示的一个菱形.对于图 10(1)中的等腰梯形,请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论:9.如图，在四边形 ABCD中，P是对角线BD的中点，E,F 分别是 AB, CD 的中点，AD = BC, 2PEF =18 ,则/PFE的度数是10.如图，菱形 ABCD勺两条对角线分别长 6和8,点P是对角线AC上的一个动点，点M N分别是边 AB BC的中点，则 PM+PN的最小值是11 .如图，在四边形 ABC丽，E、F

13、、G H分别是AB BD CD AC的中点，要使四边形EFGH是菱形,四边形ABCDS应满足的一个条件是(第11题图)OE(13 题)(12题)第燮题图(14题)12 、如图所示，OM!形ABCDJ对角线交点，DFF分/ AD&A什E, B什F, / BDF=15 ,则/COF=13.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点E、F, AB = 2, BC=3,则图中阴影部分的面积为14、如图，矩形21011)1的面积为4，顺次连结各边中点得到四边形A2B2CQ 2,再顺次连结四边形 A2B2C Q 2四边中点得到四边形A3B3c3,依此类推，求四

14、边形 AnBnCnDn的面积是15、如图已知 O是 ABCD的对角线交点，AC= 24, BD= 38, AD= 14,那么 OBC的周长等于16、在平行四边形 ABCD中，/ C= /B+/ D,则/A=, / D=。17、一个平行四边形的周长为 70cm,两边的差是10cm,则平行四边形各边长为 cm。18、已知菱形的一条对角线长为12cm,面积为30cm2,则这个菱形的另一条对角线长为 cm。19、菱形ABCD中，/ A= 60°,对角线BD长为7cm,则此菱形周长 cm。20、如果一个正方形的对角线长为2么,那么它的面积。21、如图2矩形ABCD的两条对角线相交于 O,/AO

15、B= 60°,AB= 8,则矩形对角线的长。22、如图 3,等腰梯形 ABCD中，AD/BC, AB/ DE, BC= 8, AB= 6, AD = 5 贝1 CDE周长。21、正方形的对称轴有 条22、如图4, BD是DABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形 AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是23、要从一张长为40cm,宽为20cm的矩形纸片中，剪出长为 18cm,宽为12cm的矩形纸片，最多能剪出张。2.如图，在等腰梯形 ABCD中,AD/ BC,AB=CD=2/ BAD=120D,对角线AC平分/ BCD考的要梯形ABCDg周长。ABA _ _ DR - -c三

16、、解答题1.如图，在四边形 ABC计，/ A=60°，/B=/ D=90° ,BC=2,CD=3,求 AB的长。A3 .将平行四边形纸片 ABC或如图方式折叠，使点 C与A重合，点D落到D'处，折痕为EF.(1)求证： AB9AAD F;(2)连接CF,判断四边形AECF1什么特殊四边形？证明你的结论4 .已知：如图，在梯形 ABC由，AD/ BC, AB=CD对角线 AC /ADB=60 , BD=10, BE： ED=4： 1,求梯形 ABCD勺腰长.5 .如图，菱形 ABCD E, F分别是BC, CD上的点，/ B= / EAF= 60° , /B

17、AE= 18° 求/ CEF的度数。6 .已知：如图，在 ABC中，AB=AG ADL BC垂足为点 D, AN是ABC7卜角/ CAM勺平分线，CH AN垂足为点 E,(1)求证：四边形 ADC由矩形；(2)当 ABC荫足什么条件时，四边形 ADC良一个正方形？并给出证明.7 .如图，四边形 ABC计，一组对边 AB=DC=4另一组对边AA BC,对角线BD与边DC互相垂直，MN、H分别是ADBGBD的中点，且/ ABD=30求：(1) MH的长(2) MN的长。10.如图，在正方形PELBC垂足为 E 求证：EF= AP8 .如图所示，在 ABC中，/ BAC=90 ,ADL B

18、,BE平分/ ABC,EF/ BC,那么AE=CF马？证明你的结论9 .如图，ABCD1正方形，CE/ BD, BE= BD, BE交 DC于点 F, 求证：(1) / BEC= 30°(2) DE= DFABC由，P为对角线BD上一点,PF!CD垂足为 F,11.如图，四边形 ABCD勺对角线AC BD交于点P,过点P作直线交AD于点E,交BC于点F。若PE=PF,且AP+AE=CP+CF(1)求证：PA=PC;(2)若 AD=12,AB=15,/ DAB=60 ,求四边形 ABCD勺面积.10 .如图所示，已知在 DABC邛，E, F分别是AD,11 .已知：如图， E为DABC

19、D DC边的延长线上的一点，且 CE= DQ连结AE分别交BGBD于点F、G,连结AC交BD于Q连结OE求证：AB= 2OF.12 .如图，在矩形ABCDP, AD=8cm AB=6cm点 设有一动点EH 1cm/ s的速度由点A向点晅动，同时点 8b也有一动点F以2cm/ s 的速度由点C向点而动，设运动的时间为x (s),四边形EBFD勺面积为y (cmi),求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。21, AB 于 G.(1)(2)如图16,已知四边形ABCD是平行四边形,cfxAb 于 f, /ADC的平分线DG交边EFG为等腰直角三角形，并说明理由.CDBEE为AD部舛点，CE的延长

20、线交BA吊(1)试说明线段 CD与FA相等的理由;线段AF与GB相等吗？请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得22, 如厚1矍 已知DABCD中,A FE.(2)若使/ F=Z BCF, DABCD的边长之间还需再添加一个什么条件？请你补上这个条件，并说明你的理 由(不要再增添辅助线).23, (08上海市)如图，已知平行四边形 ABCD中，对角线 AC, BD交于点O, E是BD延长线上的点，且 ACE是等边三角形.(1)求证：四边形 ABCD是菱形；(2)若/AED=2/EAD ,求证：四边形 ABCD是正方形.24,已知：如图19,四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB

21、延长线上一点，且 DE= BF.请你 以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只须证明一组线段相等即可).(1)连结； (2)猜想：=; (3)证明：25,如图20,已知正方形 ABCD的对角线 AC BD相交于点 O, E是AC上一点，连结 EB,过点A作AM， BE,垂足为 M , AM交BD于点F.试说明OE= OF;(2)如图21,若点E在AC的延长线上，AMLBE于点M,交DB的延长线于点F,其它条件不变，则结论“OE = OF”还成立吗 就口果成立，请给出说明理由；如果不成立，请说明理由13.如图在直角梯形 ABCD中,AD

22、 / BC, / B=90° AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm为点P从A开始沿 AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从C开始沿CB向B以3cm/s的速度运动，P,Q分别从点A,C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设 运动的时间t,t分别为彳61值时，四边形PQCDJ平行四边形，等腰梯形？14已知：如图，在直角梯形ABCD中，/ B=90°,AD/ BC, AD= 24cm, BC= 26cm,动点P从A点开始沿AD边向D以1cm/秒的速度运动，动点 Q从C点开始沿CB边向B以3cm/秒的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其一点到端点

23、时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，t分别为何值时，四边形 PQCD是平行四边形？等腰梯形?.在4ABC中，借助作图工具可以作出中位线EF,沿着中位线EF一刀剪切后，用得到的 AEF和四边形EBCE以拼接成平行四边形EBCP接切线与拼图过程如图所示，依照上述方法，安要求完成下列操作设计，并画出图形说明。(1)在 ABC中，增加条件,沿着一刀剪切后可以拼成矩形。(2)在 ABC中，增加条件,沿着一刀剪切后可以拼a成菱形。(3)在 ABC中，增加条件,沿着一刀剪切后可以拼k成正方形。(4)在AABC(AAA。中，一刀剪切后也可以拼接成等腰梯形, 意图。画出切线与7 PH)拼图示15如图把一

24、个正方形割去四分之一，将余下的部分分成 照示例，请你将一个正三角形割去四分之一后余下的部分。3个全等的图形(图甲)；将余下的部分分成 4个全等的图形(图已)仿(2)分成四个全等的图形(在图二中画出示意图)；(3)你还能利用所得的 4个全等的图形拼成一个平行四边形吗？若能， 军瞪(图用)(图乙)16 .如图是 王大爷的一块四边形菜地，在 A处有一口井，王大爷要想从 成面积相等的两部分.请你为王大爷设计一条引水渠的方案，画出图形 解：作图步骤：;BC17 .(1) 如图 25-1 ,在四边形 ABCD中,AB= AD, / B= / D= 90° ,BE+ FD;(2)如图 25-2 在

25、四边形 ABCD中,AB= AR / B+/ D= 180° , E、是否仍然成立？不用证明.(3) 如图25-3在四边形 ABCD中，AB= AD,画出大致的示意图。图【图之A处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分 ,并简要写出作图的主要步骤.1E、F分别是边 BC CD上的点，且/ EAFh / BAD.求证:EF =2八一、，11.F分别是边 BC CD上的点，且/ EAF /BAD, (1)中的结论2(1)分成3个全等的图形(在图一中画出示意图)1/ BAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若/B+/ ADO 180 , E、F分别是边 BCC CD延长线上的点，且/ EAF=_2不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明18 .将边长OA=8, OC=1O勺矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点 。为原点，顶