浙教版八年级竞赛培优训练第21讲一元二次方程的整数根

1、第21讲一元二次方程的整数根【思维入门】1 .使一元二次方程F+3x+?=0有整数根的非负整数1的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32 .设是正整数，一元二次方程/一©+=0有整数根，则=.3 .若关于x的一元二次方程（攵一 1）寸-2%+1=0有整数根，则负整数攵的值为 一.4 .已知关于X的一元二次方程/+24一4=0有两个不相等的实数根.（1）求攵的取值范围；（2）若攵为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值.5 .已知关于工的一元二次方程F一+。=0只有正整数根，试求非负整数。的值. 【思维拓展】6 .已知k为自然数，关于x的一元二次方程/+x+10=k（kl）有一个

2、正整数根，求此 正整数根及k.7 .若一元二次方程内2+2（2“-1口+4（。-3）=0至少有一个整数根，试求出有这样的正 整数。的值.【思维升华】8 .方程/+书+）,2=3。+），）的整数解有（）A. 3组B. 4组C. 5组D. 6组9 .已知正整数a, b, c满足+/ 2c2=0, 3,/一8/?+c=0,则abc的最大值为.10 .已知。1，。2，3，4，a5是满足条件。1+2 + 43 + "4 +。5 = 9的五个不同的整数，若b 是关于A-的方程（工一。1）。一2）。一43）。一44）。一的）二2 009的整数根，则b的值为1 1 .方程/+，八+/2 = 0的两根

3、为X”初，若存在实数4，/?使得+方=X+X2, 则我们就称这样的两个根（勺，g）为一组“黄金根”，则这样的“黄金根”共有一 组参考公式：/+/ = （+）（a+b）2_3他12 .先阅读材料：若整数是整系数方程2+/+/+，=0的解，则一一=（/+/%+4），说明是的 因数.根据以上材料，可求得方程好+4/3、-2二（）的整数解为一.13 .已知a, /?为正整数，关于x的方程22«工+/?=0的两个实数根为尤1, xi,关于y 的方程y2+2ay-b = 0的两个实数根为y,必 且满足x yxi , >'2=2 008.求b的 最小值.口思维训练【思维入门】1 .使

4、一元二次方程F+3x+?=0有整数根的非负整数1的个数为(C )A. 0B. 1C. 2D. 32 .设是正整数，一元二次方程/一©+=0有整数根，则=_3或4_.【解析】一元二次方程x2 - 4x + /? = 0有实数根=(-4)2 - 420 ,贝U W4.又是正整数，. = 4时，方程4工+ 4 = 0 ,有整数根2 ; =3 时，AgA-4x + 3 = 0 ,有整数根 1,3; =2时，方程x24x + 2 = 0 ,无整数根；n=时，方程2.4/ 1=0 ,无整数根.所以 =3或4.3 .若关于x的一元二次方程(攵-1)/-2%+1=0有整数根，则负整数攵的值为二2 【

5、解析】根据题意得1W0且=(-2)24(攵1) = 4(2攵)20 ,k- 1解得攵W2且攵,x =因为原方程有整数根，则2攵=4时，即k=2时，x有整数根.4 .已知关于X的一元二次方程F+2x+2k4=0有两个不相等的实数根.(1)求攵的取值范围；(2)若攵为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值. 解：(1)4=/4肥=44(2攵-4) = 208攵.方程有两个不等的实根，- 8Q0.(2) Vk为正整数，.二0vk<|，即攵为1或2 , .*a = - 1,方程的根为整数，5 - 2k为完全平方数.当 k= 1 时，5 2k = 3 ;当女=2时,52k = 1.：.k = 2.

6、5.已知关于x的一元二次方程/一+。=0只有正整数根，试求非负整数。的值.解：依题意知,关于x的一元二次方程x2 - 2% + « = 0 一定有实根，心0 ,即44启0 ,解得忘脚 a是非负整数，= 1或 =0.当。=1时，关于x的一元二次方程为-2x+ 1=0 ,解这个方程得加=股=1.丁1是正整数，.Z=1符合题意；当。=0时，关于x的一元二次方程为x2 - 2x = 0 ,解这个方程得应=2 , X1=O ,0不是正整数，. =0不符合题意，故舍去.即所求的非负整数。=1.【思维拓展】6.已知k为自然数，关于x的一元二次方程/+工+10=取一1)有一个正整数根，求此 正整数根

7、及k.解：将原方程化为 a2 + x+IO- - 1) = O.VJ=1 - 410- - 1) = (2k - I)2 -40 , /.设(2k - l)2-40 = m2(m > 0),则(2k - I)2 - nr = 40 , ：.(2k - 1 + m(2k - 1 - m) = 40 , :2k1+与2攵1 加均为整数，而40= 1X40 = 2X20 = 4X10 = 5X8 ,考虑至lj 2k.i2k - 1 + m = 20 ,+ m与2k1.奇偶性相同，且2Z1 + ? > 2k1，故有或2k - 1 + ?= 102k - 1 - 77? = 4 ,k = 6

8、分别解得，？ = 92k - 1 - / = 2 ,k = 4,- 1+9-1+3或 分别代入原方程,得工=5 = 4或x m = 3.=1 ,故当 =6时，正整数根为4 ,当 = 4时，正整数根为1.27.若一元二次方程办2+2(241口+4(。-3)=0至少有一个整数根，试求出有这样的正 整数。的值.解：将原方程中的X视作已知数，视作元，整理成一个关于的一元一次方程，即a(x + 2)2 = 2(x + 6).2(x + 6 )2 ( x + 6 ),.x + 2W0 ,，" =为正整数，,二-1 ,解得.把 x =(x + 2)2("2)22 ( x + 6 )14-

9、4 , - 3 - 1 , 0 , 1 , 2 代入至 lj a = 不)、中，得 =1 , 6 , 10 , 3 , y , 1.二正整数【思维升华】8 .方程/+邛+),2=3。+，)的整数解有(D )D. 6组A. 3组B. 4组C. 5组【解析】2+孙+产=3(")，),：.(x - 3)2 + (y- 3)2 + (x + y)2= 18.V = 3 则符合条件的整数解为, y = 0rex = 2 , a- = 2 , x = 0 ,V = 2 , y = - 1 , V = o.9 .已知正整数"，b, c满足 + / 2c2 = 0, 3a2 8/? + c

10、=0,则abc的最大值为_2_013_.【解析】 先消去c ,再配方算.6(尸+ a + b2 - 16/? = 2=6(。+ ：+ (Z?-8)2 = 66 + =.观察易知上式中，故”=1 ,2 ,3 ,经试算，=1 ,2时，人均不是整数；当 =3时,b = 5 , 11 ,于是有(a , /7 , c) = (3 , 5 , 13) , (3 , 11 , 61),故欣丽=3X 11X61= 2013.10 .已知0, 42, 43, 44, 45是满足条件1+。2 +。3 +。4 +厉=9的五个不同的整数，若/? 是关于X的方程(xm)(xa2)(x-43)(x-44)(x45)=2

11、009的整数根，则b的值为10 .【解析】因为(Z? a)(b - ai)(b - 43)( - "4)(b =2 009，且 , a2 , 43 , 是五 个不同的整数，所以8ai , ba2 , 13 , I4 , ba5也是五个不同的整数.又因 为 2 009= 1X(- 1)X7X( 7)X41 ,所以/? + /7 。2 + 白3 + 。4 + 。5 = 41 .由 + 2 + 3 + 5 = 9 ,可得 /? = 10.1 1 .方程/+以+8二。的两根为XI, X2,若存在实数a, Z?使得xi+T = R+方=Xl+x2, 则我们就称这样的两个根（即，制）为一组“黄金

12、根”，则这样的“黄金根”共有3 组.参考公式:/+/ = «+，） （a+b）2 _ 3M_【解析】由根与系数的关系得内+.口=。，内4=8再由题中关系式得3 + xl=(XI + X2)(修 + X2 . 3人用=(X, + X2)-为9=A! + A-2 ,即-a(cr - 3/7) = cr - 2/? = - a.(1)若 =0 ,贝IJ 8 = 0.2(2)若 oWO ,贝iJ cr - 3/?= 1 , cr - 2b + a = 0 ,于是 a+ b= - 1 , (1 +/?) - 3/? - 1 = 0 ,b（b - 1） = 0.所以b = 0或b = 1 ,即有

13、如下三组a , b的值满足条件。=0,«= - 1或：8=0,=0,%i = 0则与之对应的两根XI , X2为工2 = 0.V1 = 1.V2 = 112 .先阅读材料:若整数是整系数方程r+p储+办+,=0的解，则r=（/+pa+q）,说明。是一的 因数.根据以上材料，可求得方程/+4/ 3x2=0的整数解为_x= 1_.【解析】x3 + 4x2-3x-2 = 07原方程可化为2 = x(x2 + 4x - 3),.二2是x的倍数，,卜为正整数"*=1或2 ,当 x=l 时,a2 + 4x- 3 = 2 ;当 x = 2 时,x2 + 4x - 3 = 9W2 舍去.3

14、 + 43x - 2 = 0的整数解为x= 1.13 .已知a, 为正整数，关于x的方程一为工+/?=。的两个实数根为xi, xi,关于y 的方程9+2缈+/? = 0的两个实数根为力，力，且满足x yX2 ,竺=2 008.求b的 最小值.解：由韦达定理,得X1+X2=2a , xvx2-b ; y +yz= - 2a , yvyi = b.X ) + ( 72),y + yz = - la- - ( x + xi)= 即£VI72 = /?= ( - XI ) ( - XI ),vi = - xi , y = - xi , 解得.或JV2= - V2 ,)"= " X.把yi , V2的值分别代入x-y - xryi = 2 008得 xr( - xi) - xr( - %2)= 2 008或 - X2)- xr( - xi) = 2 008(不成立).BP - xt = 2 008 , (xi + xi)(X2 - xi) = 2 008因为 xi + 也=2a>0 , x 2 = b>0 ,所以 %i>0 , x2>0.于是有 2“小岸 4 = 2 008 ,即乖% = 502= 1X502 = 2X251.。=1 因为。，人都是正整数，所以4 b = 5022 ,a = 2 ,a = 251