四复变函数级数更新PPT学习教案

1、会计学1四复变函数级数更新四复变函数级数更新1 复数项复数项 级级 数数（常数项级数）常数项级数）1、复数列的极限：、复数列的极限： 000lim,zzzzzzNnifnnnn收收敛敛于于称称：复复数数列列成成立立，则则：使使收收敛敛： 发发散散。不不收收敛敛，称称发发散散：若若nnzz biazbiazznnnn 0复数列：复数列： bblimaalimzznnnnn 的的充充分分必必要要条条件件是是：收收敛敛于于复复数数列列定定理理一一：0第1页/共35页2、复数项级数：、复数项级数： 1211limnnnnnnnnnnszzzssszsz 部分和：如果：则：数列收敛收敛如果：数列不收敛发

2、散 nnnzzzz211都都收收敛敛和和：收收敛敛的的充充分分必必要要条条件件是是级级数数定定理理二二： 111nnnnnnbaz0lim1 nnnnzz 收收敛敛的的必必要要条条件件为为推推论论：第2页/共35页收收敛敛。收收敛敛，则则定定理理三三：如如果果 11nnnnzz绝绝对对收收敛敛。和和件件为为：绝绝对对收收敛敛的的充充分分必必要要条条推推论论： 111nnnnnnbaz收收敛敛。不不收收敛敛，但但条条件件收收敛敛：收收敛敛。绝绝对对收收敛敛： 111nnnnnnzzz第3页/共35页 发发散散收收敛敛收收敛敛的的收收敛敛性性、判判断断下下列列数数列列例例 innzenzniniz

3、zninnnncos1)11(111:1 条件收敛条件收敛绝对收敛绝对收敛发散发散性：性：、判断下列级数的收敛、判断下列级数的收敛例例 11121)1(!)8()1(12nnnnnninninin：判判断断级级数数的的收收敛敛性性。目目标标1第4页/共35页复习掌握复习掌握不不确确定定发发散散收收敛敛、根根值值审审敛敛法法：不不确确定定发发散散收收敛敛、比比值值审审敛敛法法：发发散散发发散散收收敛敛收收敛敛、比比较较审审敛敛法法： 111111111111,1,1lim31,1,1lim2,1nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnuuuuuuuuuvuuvvuif 一、正项级

4、数审敛法：一、正项级数审敛法：011 nnnnnnv ,uvu 和和第5页/共35页是是收收敛敛的的级级数数。）（常常用用级级数数收收敛敛莱莱布布尼尼茨茨准准则则级级数数二二、交交错错级级数数审审敛敛法法： nuuuifunnnnnnnn11312110lim)1(1111级级数数发发散散级级数数收收敛敛级级数数：、级级数数发发散散级级数数收收敛敛）：、等等比比级级数数（几几何何级级数数发发散散、调调和和级级数数、收收敛敛的的必必要要条条件件：三三、其其他他： 1;1141;1313121120lim1120ppnpqqaqaqaaqnunpnnnn第6页/共35页2 幂幂 级级 数数 111

5、0001000111)()()()()(,)()()(lim,)()()()()()(nnnnnnnnnnnnnnnnzfzSDzfDzfzSzzfzSzSzDzfzfzSzfzfzf上上收收敛敛，和和函函数数为为：在在区区域域处处处处收收敛敛，和和函函数数：如如果果级级数数在在和和为为：点点收收敛敛在在则则称称有有：内内某某点点如如果果部部分分和和：复复变变函函数数项项级级数数：1、幂级数：、幂级数：第7页/共35页 nnnnnnnnnnzczcczczzczzcczzc100001000)()()(幂级数：幂级数：幂级数：幂级数：必必发发散散。发发散散绝绝对对收收敛敛。收收敛敛定定理理）定

6、定理理一一（阿阿贝贝尔尔 000000000,)0(nnnnnnnnnnnnzczzzczczzzzcAbel、收收敛敛圆圆及及半半径径：2上上不不一一定定。外外发发散散；内内绝绝对对收收敛敛；在在收收敛敛圆圆RRRCCC称称收收敛敛半半径径。：收收敛敛区区域域为为圆圆域域RRzCR, 第8页/共35页zzzfzzzznnnnn 11)(1120解解：等等比比级级数数和和和和函函数数、求求级级数数的的收收敛敛区区域域及及例例111112 zRzzzzn收收敛敛区区域域：记记住住：内内、外外的的特特性性。：掌掌握握幂幂级级数数在在收收敛敛圆圆目目标标24,3)142(1p第第四四章章习习题题：作

7、作业业：判判断断级级数数的的收收敛敛性性。目目标标1第9页/共35页)2(3种种、收收敛敛半半径径的的求求法法：lRlciflRlccifnnnnnn1:1:limlim1 则则：收收敛敛半半径径为为根根值值法法定定理理三三则则：收收敛敛半半径径为为比比值值法法定定理理二二外外）级级数数处处处处发发散散（除除级级数数处处处处绝绝对对收收敛敛000 RlRl证证明明： 0nnnzc第10页/共35页 1113)(cos2 , 0()1()(2nnnnnnzinznznz的的情情况况）讨讨论论在在况况讨讨论论在在收收敛敛圆圆周周上上的的情情收收敛敛圆圆周周上上的的情情形形。、求求级级数数的的收收敛

8、敛半半径径及及例例 处处处处发发散散发发散散点点有有收收敛敛点点处处处处绝绝对对收收敛敛结结论论：在在收收敛敛圆圆上上，&。：求求幂幂级级数数的的收收敛敛半半径径目目标标3第11页/共35页，复复合合），、幂幂级级数数的的运运算算：（ 4 幂幂级级数数。这这个个代代换换运运算算用用在在展展开开时时复复合合运运算算： 0212100210)()()(),min()()(),min()()()(nnnnnnnnnnnnnzgazgfrRrzgrrRzbzazgzfrrRzbazgzf2010)()(rRzbzgrRzazfnnnnnn第12页/共35页 0)3(513nnnzcz展展开开为为：函函

9、数数例例的的常常用用方方法法：展展开开为为将将函函数数 0)(1)(nnnazcbzzf?1)(1111)(11 azzgzzzzzgazn求求收收敛敛半半径径用用形形式式把把函函数数化化为为）把把函函数数化化为为分分母母出出现现（第13页/共35页00000001000100( ),1( )2( )( )3( )( )1nnnnnnnnnznnznf zczzRf zczzzzRf zzzRfznczzf zzzRcfdzzn定理四（和函数的性质）（收敛半径均为则：和函数（在内解析。和函数在内的导数可逐项求导得到。（和函数在内的积分可逐项求积分得到。（第14页/共35页3 泰泰 勒勒 级级

10、数数圆圆域域内内解解析析时时，有有：在在、泰泰勒勒展展开开定定理理：RzzDzf 0:)(1)(!1)()(0)(00zfnczzczfnnnnn 其中：其中：幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数。幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数。研究：一个解析函数是否能用幂级数来表达？研究：一个解析函数是否能用幂级数来表达？ ）逐逐项项求求积积分分；带带入入（将将出出现现展展开开幂幂级级数数：柯柯西西积积分分公公式式：1)2()3()(1)2()(21)()1(0zzzdzfizfC 证明：证明：第15页/共35页问题：泰勒级数可以将解析函数展开为幂级数，但这样的展开式是否唯一呢？问题：泰勒级数可以将解析函

11、数展开为幂级数，但这样的展开式是否唯一呢？为为泰泰勒勒级级数数的的系系数数。可可得得：以以逐逐项项求求导导得得：由由幂幂级级数数在在收收敛敛域域内内可可幂幂级级数数：已已经经用用别别的的方方法法展展开开为为在在设设)(!1)2()()()()()1(0)(00100zfnazzazzaazfzzfnnnn 最最近近一一个个奇奇点点。为为距距为为：的的泰泰勒勒展展开开式式收收敛敛半半径径在在是是唯唯一一的的；数数，函函数数级级数数展展开开为为泰泰勒勒级级任任何何在在单单连连通通域域解解析析的的结结论论：000)()2()1(zaazRzzf 第16页/共35页。：求求幂幂级级数数的的收收敛敛半半

12、径径目目标标32( 142 143)6 ,11(1,2,3,6),12(1)p作业 ：第四章习题级级数数的的邻邻域域内内可可展展为为在在解解析析在在展展成成必必能能在在，内内解解析析的的函函数数在在内内和和函函数数解解析析；在在收收敛敛圆圆等等价价TaylorzzfzzfzzczzfRzzRzzzzcnnnnnn000000000)()()()()( 第17页/共35页数数展展开开。：求求解解析析函函数数的的泰泰勒勒级级目目标标4解析函数泰勒展开式的方法：解析函数泰勒展开式的方法：(1)(1)、直接法：、直接法： 直接用泰勒展开定理，根据函数的导数求系数。直接用泰勒展开定理，根据函数的导数求系

13、数。(2)(2)、间接法：、间接法： 借助一些常用函数的泰勒展开式，以唯一性为依据，运用幂级数的借助一些常用函数的泰勒展开式，以唯一性为依据，运用幂级数的性质及复合运算性质及复合运算得到解析函数的泰勒展开式。得到解析函数的泰勒展开式。的的泰泰勒勒展展开开式式。在在、求求对对数数函函数数的的主主值值例例的的幂幂级级数数。展展开开成成、把把函函数数例例点点展展开开、在在例例0)1ln(3)1(12!210122 zzzznzzzeznz第18页/共35页2、一些常用初等函数的泰勒展开式：、一些常用初等函数的泰勒展开式：1)1(1111111)!2()1(!4!21cos)!12()1(!5!3si

14、n!212224212532 zzzzzzzzzzRnzzzzRnzzzzzRnzzzennnnnnnnz第19页/共35页一、讨论下列双边级数：一、讨论下列双边级数：nnnnnnnnnnnnnzzczzczzcczzczzc)()()()()(00010000 其其展展式式如如何何？的的为为中中心心的的圆圆环环域域内内解解析析这这一一节节研研究究：以以级级数数。的的可可以以在在该该圆圆域域展展为为为为中中心心的的圆圆域域内内解解析析的的上上一一节节知知道道：以以),()(),(000zfzTaylorzzzfz 4 洛朗级数洛朗级数第20页/共35页双边级数可以分为两部分：双边级数可以分为两

15、部分： 级级数数发发散散。级级数数收收敛敛第第二二部部分分（负负幂幂项项）：级级数数发发散散。级级数数收收敛敛正正幂幂项项）：第第一一部部分分101001202000;)(;)(RzzRzzzzcRzzRzzzzcnnnnnn 收敛区域：收敛区域：为圆环域为圆环域)(21201时时RRRzzR 和函数性质和函数性质：在收敛圆环域内，：在收敛圆环域内， 是解析函数；可以逐项求导；逐项求积分是解析函数；可以逐项求导；逐项求积分。第21页/共35页级数的正整次幂部分称为级数的正整次幂部分称为解析部分解析部分；级数的负整次幂部分称为级数的负整次幂部分称为主要部分主要部分；。的的任任何何一一条条简简单单

16、闭闭曲曲线线为为圆圆环环域域内内绕绕为为洛洛朗朗级级数数内内处处处处解解析析，在在圆圆环环域域当当0100201, 2, 1, 0)()(21)()()(zcndzficzzczfRzzRzfcnnnnn ：二二、洛洛朗朗级级数数展展开开定定理理第22页/共35页第23页/共35页问题：洛朗级数展开式是否唯一呢问题：洛朗级数展开式是否唯一呢？011000010110010( )( )()()( )()( )12()()1( )2()ppnnnpnpppnnccppcf zzf zazzaazzccfazzcfdadiazzfaiz 0设在 已经用别的方法展开为幂级数：为圆环域内围绕z 的简单闭

17、曲线，为 上任一点，则：（乘上式两边，并沿 积分，得：0, 1, 2,dp洛朗系数。第24页/共35页洛朗级数展开的求法：洛朗级数展开的求法：（1 1）直接法：由定义求）直接法：由定义求. . 太繁杂，一般不用。太繁杂，一般不用。（2 2）间接法：）间接法： 借助一些常用函数的级数展开式，以唯一性借助一些常用函数的级数展开式，以唯一性为依据，运用幂级数的为依据，运用幂级数的性质、代数运算、复合运性质、代数运算、复合运算、求导和积分算、求导和积分等得到解析函数的洛朗展开式。等得到解析函数的洛朗展开式。有有负负幂幂项项的的展展开开式式为为洛洛朗朗级级数数在在多多连连通通域域的的去去心心领领域域内内

18、解解析析时时不不解解析析，但但在在当当函函数数在在)()(,000zzz开开。：求求函函数数的的洛洛朗朗级级数数展展目目标标5第25页/共35页132( )0zf zz ez例 、在点展开成洛朗级数。朗朗级级数数。在在这这些些区区域域内内展展开开成成洛洛将将析析，在在下下列列圆圆环环域域内内处处处处解解、例例)(2)21)10)2111)2)(1(1)(1zfzczbzazzzzzf 奇奇点点或或外外圆圆周周有有奇奇点点内内圆圆周周有有收收敛敛圆圆环环组组成成：级级数数展展开开式式；的的不不同同的的圆圆环环域域内内有有不不同同结结论论：)()(zfzfLaurent第26页/共35页三、在计算

19、闭路积分中的应用三、在计算闭路积分中的应用112012012)()(;)( icdzzfcLaurentrzzrzfrzzrCzfc 找找出出系系数数展展式式；的的在在的的关关系系的的奇奇点点与与分分析析计计算算步步骤骤：12 icdz)z(fc 213)1()4)(1(14zzzdzzzedzzzz、求下列各积分的值：、求下列各积分的值：例例求求闭闭路路积积分分。：利利用用洛洛朗朗级级数数展展开开的的目目标标16 C第27页/共35页开开。：求求函函数数的的洛洛朗朗级级数数展展目目标标5求求闭闭路路积积分分。：利利用用洛洛朗朗级级数数展展开开的的目目标标16 C数数展展开开。：求求解解析析函

20、函数数的的泰泰勒勒级级目目标标419)532(16432112)321(11)144143(3、）、（、第第四四章章习习题题：作作业业p第28页/共35页开。开。：求函数的洛朗级数展：求函数的洛朗级数展目标目标5求求闭闭路路积积分分。：利利用用洛洛朗朗级级数数展展开开的的目目标标16 C数数展展开开。：求求解解析析函函数数的的泰泰勒勒级级目目标标4内内、外外的的特特性性。：掌掌握握幂幂级级数数在在收收敛敛圆圆目目标标2：判判断断级级数数的的收收敛敛性性。目目标标119)532(16)432112)321(11643)144141(、（、第第四四章章习习题题作作业业：p。：求求幂幂级级数数的的收

21、收敛敛半半径径目目标标3第29页/共35页第四章第四章 小结（小结（4条）条）1、 复数项级数收敛复数项级数收敛: (1)复数列复数列 收敛的充要条件收敛的充要条件: 同时收敛（定理同时收敛（定理一）一） (2)复级数复级数: （定理二）（定理二） 收敛的充要条件收敛的充要条件: 同时收敛同时收敛. (3)复级数绝对收敛复级数绝对收敛: （定理三）（定理三） 绝对收敛的充要条件绝对收敛的充要条件: 同时绝对收敛同时绝对收敛. ibannn nnba, 11nnnnba 11nnnnb,a第30页/共35页 2 、幂级数：、幂级数： (1)Abel定理定理:收敛范围为圆域收敛范围为圆域,圆内绝对收敛圆内绝对收敛,圆外圆外发散发散,圆上不定。圆上不定。 (2)收敛半径求法收敛半径求法: (3)性质性质: 和函数在收敛圆内和函数在收敛圆内解析解析,可逐项求