高等数学-第七版-课件-20-2 第二型曲线积分

1、一、第二型曲线积分的定义二、第二型曲线积分的计算2 第二型曲线积分数学分析 第二十章曲线积分*点击以上标题可直接前往对应内容 第二型曲线积分与第一型曲线积分不同的是在有方向的曲线上定义的积分, 这是由于第二型曲线积分的物理背景是求变力沿曲线作的功,而这类问题显然与曲线的方向有关.三、两类曲线积分的联系数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社第二型曲线积分的定义在物理中还遇到过另一在物理中还遇到过另一种类型的曲线积分问题种类型的曲线积分问题. 例如一质点受力例如一质点受力 ( , )F x y的作用沿平面曲线的作用沿平面曲线 L 从从点点 A 移动到点移动到点 B, 20-2.202 图图Oy

2、xA M0()( , )x yM1M2nM1nB M()FLPQ后退 前进 目录 退出2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系( , )F x y所作的功所作的功, 见图见图求力求力数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社AB1n121,nMMM为此在曲线为此在曲线 内插入内插入 个分点个分点0,nAMBM它它们们与与AB 一起把有向曲线一起把有向曲线 分成分成 n个个有向小曲线段有向小曲线段 1(1,2, ).iiMM in 若记小曲线若记小曲线 1| max.ii nTs( , )F x yxy轴轴和和设力设力 在在轴方向的投影分别为轴方向的投影分别为

3、( ,)( ,),P x yQ x y与与那么那么( , )( ( ,),( ,).F x yP x yQ x y 则分割则分割 的细度为的细度为T1iiMM ,is的弧长为的弧长为 段段2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系1iiMMxy轴轴和和又设小曲线段又设小曲线段 在在 轴上的投影分别为轴上的投影分别为 11,iiiiiixxxyyy与与数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社11(,)iixy1iiMM与与 分别为点分别为点 的坐标的坐标. 1(,),iiMMiiLxy( , )F x y1iiMM于是力于是力 在小曲线段在小曲线段 上所作的功

4、上所作的功iW(,)ii 1iiMM其中其中 为小曲线段为小曲线段 上任一点上任一点. 2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系记记 其中其中 (,)iixy与与111(,)(,).nnniiiiiiiiiiWWPxQy ( , )F x yAB 沿曲线沿曲线 所作的功近似地等于所作的功近似地等于因而力因而力当细度当细度 |0T 时时, 上式右边和式的极限就应该是上式右边和式的极限就应该是 所求的功所求的功. 这种类型的和式极限就是这种类型的和式极限就是第二型曲线积分第二型曲线积分.1( ,)( ,)( ,),iiiiMMiiiiiiFLPxQy 数学分析

5、第二十章 曲线积分高等教育出版社 定义1设函数设函数( ,)( ,)P x yQ x y与与定义在平面有向可求长度定义在平面有向可求长度:L AB 曲线曲线 上上. 曲线段曲线段1(1,2, ),iiMM in2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系0,.nMA MB其中其中 1iiMM 记个小曲线段记个小曲线段 的弧长的弧长 为为 分割分割 的细度的细度 ,isT 1| max.ii nTsT 又设又设 的分点的分点1,iiixxx1,(1,2, ).iiiyyyiniM 的坐标为的坐标为 并记并记(,),iixyL,TL 的任一分割的任一分割 它把它把

6、分分成成n个小个小对对数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社 定义1 1iiMM(,),ii 在每个小曲线段在每个小曲线段 上任取一点上任取一点 若极限若极限 | |0| |011lim(,)lim(,)nniiiiiiTTiiPxQy 存在且与分割存在且与分割 T 与点与点 (,)ii 的取法无关的取法无关, 限限为函数为函数 ( ,),( ,)P x y Q x y 沿有向曲线沿有向曲线 L 上的上的第二型第二型2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系曲线积分曲线积分, ( ,)d( ,)dLP x yxQ x yy( ,)d( ,)d(1)ABP

7、x yxQ x yy或或记为记为则称此极则称此极数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社 定义1( ,)d( ,)dLLP x yxQ x yy( ,)d( ,)dABABP x yxQ x yy上述积分上述积分(1)也可写作也可写作或或2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系为书写简洁起见为书写简洁起见, (1)式常简写成式常简写成ddLP xQ ydd .ABP xQ y 或或 数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社式可写成向量形式式可写成向量形式dd .(2)LP xQ y若若L为封闭的有向曲线为封闭的有向曲线, 若记若记( ,)( ( ,),(

8、 ,), d(d , d ),F x yP x y Q x ysxy 则则(1) dLFsd .(3)ABFs 或或 于是于是, 力力( ,)( ( ,),( ,)F x yP x y Q x y 沿有向曲线沿有向曲线 2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系:L AB对质点所作的功为对质点所作的功为( ,)d( ,)d .LWP x yxQ x yy则记为则记为数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社( , , ),P x y z( , ),Q x y z若若L为空间有向可求长曲线为空间有向可求长曲线, ( , )R x y z为定义在为定义在 L上的函

9、数上的函数, 似地定义沿空间有向曲线似地定义沿空间有向曲线L上的第二型曲线积分上的第二型曲线积分, 并记为并记为( , )d( , )d( , )d ,(4)LP x y zxQ x y zyR x y zz或简写成或简写成2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系ddd .LP xQ yR z则可按上述办法类则可按上述办法类 数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社( ,)( ( ,),( ,),( ,)F x yP x y Q x y R x y 与与d(d ,d ,d )sxyz 当把当把看作三维向量时看作三维向量时, 第二型曲线积分与曲线第二型曲线积

10、分与曲线 L 的方向有关的方向有关. 当方向由当方向由 A 到到 B 改为由改为由 B 到到 A 时时, 方向方向改变改变, 从而所得的从而所得的 ,iixy 也随之改变符号也随之改变符号, 2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系有有 dddd .(5)ABBAP xQ yP xQ y 对同一曲线对同一曲线, 故故(4)式也可表示成式也可表示成(3)式的向量形式式的向量形式.每一小曲线段的每一小曲线段的数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社而第一型曲线积分的被积表达式只是函数而第一型曲线积分的被积表达式只是函数 ( ,)f x y与与 弧长的乘积弧长的

11、乘积, 曲线积分的一个重要区别曲线积分的一个重要区别. 类似与第一型曲线积分类似与第一型曲线积分, 第二型曲线积分也有如下第二型曲线积分也有如下一些主要性质一些主要性质: 1 dd(1,2, )iiLP xQ yik若若存存在在，2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系11()d()dkkiiiiLiic Pxc Qy 也存在也存在, 111()d()d(dd );kkkiiiiiiiLLiiic Pxc QycP xQ y这是两种类型这是两种类型它与曲线它与曲线L的方向无关的方向无关. 则则 且且 数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社L12,kL L

12、L2. 若有向曲线若有向曲线 由有向曲线由有向曲线 首尾衔接而首尾衔接而 成成,dd ,(1, )iLP xQ y ik 都存在都存在, 1dddd .ikLLiP xQ yP xQ y ddLP xQ y 也存在也存在, 且且 2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系则则数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社第二型曲线积分的计算第二型曲线积分也可化为定积分来计算第二型曲线积分也可化为定积分来计算. 设平面曲线设平面曲线( ),: ,( ),xtLtyt 其中其中( ),( ) ,tt 在在 上具有一阶连续导函数上具有一阶连续导函数, AB与与( ( )

13、,( )( ( ),( ). 与与 点点 的坐标分别为的坐标分别为 2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系且且数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社AB从从到到的第二型曲线积的第二型曲线积分分( ,)d( ,)dLP x yxQ x yy ( ( ),( )( )( ( ),( )( )d .(6)PtttQtttt ( ,)d( ( ),( )( )d ,LP x yxPtttt ( ,)d( ( ),( )( )d ,LQ x yxQtttt 读者可仿照读者可仿照1中定理中定理20.1的方法分别证明的方法分别证明由此便可得公式由此便可得公式(6).

14、 2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系又设又设 ( ,)( ,)P x yQ x yL与与为为上的连续函数上的连续函数, 则沿则沿 L 数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社在在 L 上任意选取一点作为起点上任意选取一点作为起点, 沿沿L所指定的方向前所指定的方向前 进进, 最后回到这一点最后回到这一点. 203 图图Oyx1A(1,1)B(2,3)23123D(2,1)C例例1 计算计算 d()d ,Lxy xyxy其中其中 L 分别沿图分别沿图 20-3中的路线中的路线: (i) 直线段直线段 ;AB(ii)22(1)1 ;ACByx抛抛物物线线

15、: :(iii)ADBA(三角形周界三角形周界).2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系对于沿封闭曲线对于沿封闭曲线L的第二型曲线积分的第二型曲线积分(2)的计算的计算, 可可数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社解解 (i)直线直线 L 的参数方程为的参数方程为1,0,1.12 ,xttyt故由公式故由公式(6)可得可得 d()dABxy xyxy10(1)(12 )2 dtttt12025(152)d.6ttt2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系203 图图Oyx1A(1,1)B(2,3)23123D(2,1

16、)C数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社d()dACBxy xyxy2221 2(1)1 2(1)14(1)dxxxxxx 232110(10323512)d.3xxxx(iii)这里这里L是一条封闭曲线是一条封闭曲线, 故可从故可从 A开始开始, 应用上段应用上段加即可得到所求之曲线积分加即可得到所求之曲线积分.所以所以的性质的性质2, 分别求沿分别求沿 上的线积分然后相上的线积分然后相 ,AD DB BA2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系ACB22(1)1,12,yxx(ii)曲线曲线 为抛物线为抛物线 数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出

17、版社d()dADxy xyxy沿直线沿直线 :2,(13)DB xyyy的线积分为的线积分为 d()dDBxy xyxyd()dBAxy xyxy所以所以 d()dLxy xyxy沿直线沿直线 的线积分可由的线积分可由(i)及公式及公式(5)得到得到 BA2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系由于沿直线由于沿直线:,1(12)ADxx yx的线积分为的线积分为25=d()d.6ABxy xyxy dADxy x213d2x x()dDByxy31(2)d0.yy32580.263 数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社120 (4 )2dxxxx120

18、66d2.3xxddLx yy x解解 (i) 例例2 计算计算dd ,Lx yy x 这里这里 L 为为 (i) 沿抛物线沿抛物线22,yxOB从到从到 的一段的一段(图图20-4); (ii) 沿直线沿直线:2 ;OByx(iii) 沿封闭曲线沿封闭曲线.OABO204图图Oy(1, 2)B1(1,0)A2x2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系142.2ddLx yy x(ii)10(22 )dxxx数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社(iii)在在OA一段上一段上, 0,01;yxAB在在 一段上一段上, 1,02;xy10 xx到到的一段的

19、一段. ddOAx yy xddABx yy x2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系所以所以dddd2.BOOBx yy xx yy x (见见(ii) 2yx 从从一段上与一段上与(ii)一样是一样是BO在在100d0,x201d2,yddLx yy x因此因此 ddOAABBOx yy x0220.数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社沿空间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式也与沿空间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式也与 (6) 式相仿式相仿. ( ),:( ),( ),xx tLyy ttzz t 2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型

20、曲线积分的计算两类曲线积分的联系设空间有向光滑曲线设空间有向光滑曲线 L 的参量方程为的参量方程为 ( ( ), ( ), ( ),xyz ( ( ), ( ), ( ),xyz 起点为起点为 终点为终点为则则 dddLP xQ yR z ( ( ), ( ), ( )( )( ( ), ( ), ( ) ( )P x ty t z tx tQ x ty t z ty t ( ( ), ( ), ( ) ( )d .(7)R x ty tz tz tt这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致.数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社2 第二型曲

21、线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系2d()dd ,LIxy xxyyxzcos ,sin ,xat yat zbt0t从从到到L是螺旋线是螺旋线: 例例3 计算第二型曲线积分计算第二型曲线积分t 上的一段上的一段.解解 由公式由公式 (7),32222220(cos sincossin coscos)dIattatatta btt 3332201111sinsin(1)(sin2 )3222atatab tt 21(1).2ab数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社例例4 求在力求在力( ,)F yx xyz作用下作用下. A1LB到到(i)质点由质点由 沿螺

22、旋线沿螺旋线所作的功所作的功(图图20-5), 其中其中 1:cos ,sin ,02;Lxat yat zbtt(ii)质点由质点由A沿直线沿直线2LB到到所作的功所作的功.解解 如本节开头所述如本节开头所述, 在空间在空间ddd()d .LLWFsy xx yxyzz2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系曲线曲线 L上力上力F所作的功所作的功为为数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社2222220(sincoscossin)dWatatabtabtb tt222().ba(ii) 2L的参量方程的参量方程,0,02 .xa yzttb由于由于d0,

23、d0,dd ,xyzt所以所以20()d2 ( ).bWattb ab2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系(i) 由于由于 dsin d ,dcos d ,dd ,xat tyat tzb t数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社cossin ,62aaxtt cos ,6ayt cossin ,0,2.62aaztt t解解 L的参数方程为的参数方程为2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系ddd ;Lx xy yz z (i)ddd .Lz xx yy z (ii)2222xyza 0 xyz 例例5 设设L为

24、球面为球面和平面和平面的交线的交线, 若面对若面对 x 轴正向看去轴正向看去, L是沿逆时针方向的是沿逆时针方向的,求求数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社因此，因此，ddd =0.Lx xy yz z (ii)202dcossincosd662Laaay ztttt 23.3a 由对称性，由对称性，2ddd3.Lz xx yy za 2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系(i)2202dcos sin d0.3Ly yatt t 由对称性，由对称性，dd0,LLx xz z 数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社2 第二型曲线积分第二型曲线积分

25、的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系( , ( ) , int,Lxxxa bG 0 0, 则对任意则对任意 , 存在存在 对于任意分割对于任意分割 01:,nTaxxxb 只要只要 1max:1,iiTxxin 必有必有dddd,LlP xQ yP xQ y 其中其中 (, (),1,2,iiiilAA xxin 是是以以 为端点为端点的折线的折线.( )x , a b*例例6 设设G是是 R2 中的有界闭域，中的有界闭域， 是是 上的连续上的连续 可微函数可微函数, ( , ),( , )P x yQ x y是在是在G上的连续函数上的连续函数.数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出

26、版社sup( , ) ( , ),P x yx yGMsup( , ) ( , ),Q x yx yGMsup( ) , .xxa bM 0, .(12)()Mba 令令 由由P,Q在在 G 的一致连续性的一致连续性, 存在存在 0. 使得使得 ( ,),( ,),A x yB x yG yy ( ,)( ,),P x yP x y ( ,)( ,).Q x yQ x y 2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系,P Q 0,M 证证 由由的有界性的有界性,存在存在 使得使得就有就有 数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社, , ,x xa bxx 就有

27、就有()(),()()xxxx .任意分割任意分割 01:,nT axxxb 满足满足1max:1,.iiTxxin 令令 (, (),iiiiAA xx il1iA iA 设设 为连接为连接 与与 的线段的线段,111()()(),1,2, .iiiiiiiixxxxinxx 2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系, , a b0, 由由在在上的一致连续性上的一致连续性, 存在存在 使得使得 其斜率为其斜率为数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社 , ,xa b ( )( ).l xx ( , ( )( , ( ),P xxP x l x ( , (

28、 )( )( , ( )()iQ xxxQ x l x ( , ( )( )( , ( )()iQ xxxQ xx ( , ( )()( , ( )()iiQ xxQ x l x 2,M 于是于是L1iA iA,1,2, .iL in 设设 在在 到到的那段曲线为的那段曲线为 则则 1.niiLL 2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系1,niill l( ), , .l xxa b 设设 的方程为的方程为 则则数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社ddddLlP xQ yP xQ y1ddddiiniLlP xQ yP xQ y 11( , ( )(

29、 )( , ( )()diinxixiQ xxxQ x l xx 11( , ( )( , ( )diinxxiP xxP x l xx 因此因此2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系(12)().Mba 11112nniiiiiixxM xx 注注 例例6 说明曲线上的积分可用折线上的积分来逼近说明曲线上的积分可用折线上的积分来逼近.数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社*两类曲线积分的联系在规定了曲线方向之后在规定了曲线方向之后, 可以建立它们之间的联系可以建立它们之间的联系.LAB设设为为从从到到的有向光滑曲线的有向光滑曲线, 它以弧长它以弧长s

30、为参数为参数, 虽然第一型曲线积分与第二型曲线积分来自不同的虽然第一型曲线积分与第二型曲线积分来自不同的物理原型物理原型, 且有着不同的特性且有着不同的特性, 于是于是( ),:0,( ),xx sLslyy s其中其中l为曲线为曲线L的全长的全长, 且点且点 AB与与 的坐标分别为的坐标分别为 2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系( (0),(0)( ( ),( ).xyx ly l与与但在一定条件下但在一定条件下, 如如数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社 曲线曲线L上每一点的切线方向指向弧长增加的一方上每一点的切线方向指向弧长增加的一方. 正

31、向的夹角正向的夹角, ddcos( , ),cos( , ).(8)ddxyt xt yss( ,),( ,)P x y Q x yL若若为为曲曲线线上的连续函数上的连续函数, 式得式得ddLP xQ y0 ( ( ), ( ),cos( , )( ( ), ( )cos( , )dlP x sy st xQ x sy st ys ( , )cos( , )( , )cos( , )d ,(9)LP x yt xQ x yt ys2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系现以现以 ( ,),( ,)t xt y分别表示分别表示 切线方向切线方向 txy与与轴轴与与轴轴则在曲线上的则在曲线上的每一点的切线方向余弦是每一点的切线方向余弦是则由则由(6)数学分析 第二十章 曲线积分高等教育出版社最后一