2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数单元素养评价含解析新人教B版必修第二册

PAGE单元素养评价(一)(第四章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若幂函数f(x)=xa的图像过点(4,2),则f(a2)= ()A.a B.-a C.±a D.|a|【解析】选D.由题意f(4)=4a=2,解得a=QUOTE,所以f(x)=QUOTE,所以f(a2)=(a2QUOTE=|a|.2.设a∈QUOTE,则使函数y=xa的定义域是R,且为奇函数的全部a的值是()A.1,3 B.-1,1C.-1,3 D.-1,1,3【解析】选A.当a=-1时,y=x-1的定义域是QUOTE,且为奇函数;当a=1时,函数y=x的定义域是R且为奇函数;当a=QUOTE时,函数y=QUOTE的定义域是{x|x≥0}且为非奇非偶函数.当a=3时,函数y=x3的定义域是R且为奇函数.3.(2024·全国Ⅱ卷)若2x-2y<3-x-3-y,则()A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0【解析】选A.由2x-2y<3-x-3-y得:2x-3-x<2y-3-y,令f(t)=2t-3-t,则f(x)<f(y),因为y=2x为R上的增函数,y=3-x为R上的减函数,所以f(t)为R上的增函数,所以x<y,所以y-x>0,所以y-x+1>1,所以ln(y-x+1)>0,则A正确,B错误;因为|x-y|与1的大小关系不确定,故C、D无法确定.4.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图像如图所示,则下列结论成立的是 ()A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1【解析】选D.因为函数单调递减,所以0<a<1,当x=1时loga(x+c)=loga(1+c)<0,即1+c>1,即c>0,当x=0时loga(x+c)=logac>0,即c<1,即0<c<1.5.(2024·天津高一检测)已知a=21.2,b=2log52,c=lnQUOTE,则 ()A.a>b>c B.a>c>bC.b>a>c D.b>c>a【解析】选A.a=21.2>21=2,b=2log52=log54<log55=1且b=log54>log51=0,c=lnQUOTE=-ln3<-lne=-1,即c<-1<0<b<1<2<a,所以a>b>c.6.(2024·北京高考)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满意m2-m1=QUOTElgQUOTE,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1 B.10.1C.lg10.1 D.10-10.1【解析】选A.令m1=-26.7,m2=-1.45,则m2-m1=-1.45-(-26.7)=25.25=QUOTElgQUOTE,lgQUOTE=10.1,QUOTE=1010.1.7.(2024·三明高一检测)已知函数f(x)=QUOTE的值域为[-8,1],则实数a的取值范围是 ()A.(-∞,-3] B.[-3,0)C.[-3,-1] D.QUOTE【解析】选B.当0≤x≤4时,f(x)=-x2+2x=-QUOTE+1,所以-8≤f(x)≤1;当a≤x<0时,f(x)=-QUOTE,所以-QUOTE≤f(x)<-1,因为f(x)的值域为[-8,1],所以QUOTE故-3≤a<0.8.(2024·厦门高一检测)函数f(x)的定义域为D,若满意①f(x)在D内是单调函数;②存在QUOTE⊆D使f(x)在QUOTE上的值域为QUOTE,那么就称y=f(x)为“胜利函数”.若函数f(x)=loga(ax+t),(a>0,a≠1)是“胜利函数”,则t的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为f(x)=loga(ax+t),(a>0,a≠1)是“胜利函数”,当a>1时,f(x)在其定义域内为增函数,当0<a<1时,f(x)在其定义域内为增函数,所以f(x)在其定义域内为增函数,由题意得f(x)=loga(ax+t)=QUOTE,所以ax+t=QUOTE,ax-QUOTE+t=0,令q=QUOTE>0,所以q2-q+t=0有两个不同的正数根,所以QUOTE解得t∈QUOTE.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列函数中,其定义域与函数y=elnx的定义域相同的是 ()A.y=x B.y=lgxC.y=2x D.y=QUOTE【解析】选BD.函数y=elnx的定义域为(0,+∞),函数y=x的定义域为R,不满意要求;函数y=lgx的定义域为(0,+∞),满意要求;函数y=2x的定义域为R,不满意要求;函数y=QUOTE的定义域为(0,+∞),满意要求.10.对于0<a<1,下列四个不等式中成立的是 ()A.loga(1+a)<logaQUOTEB.loga(1+a)>logaQUOTEC.a1+a<QUOTED.a1+a>QUOTE【解析】选BD.因为0<a<1,所以a<QUOTE,从而1+a<1+QUOTE.所以loga(1+a)>logaQUOTE.又因为0<a<1,所以a1+a>QUOTE.11.设函数f(x)=2x,对于随意的x1,x2(x1≠x2),下列命题中正确的是 ()A.f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)B.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)C.QUOTE>0D.fQUOTE<QUOTE【解析】选ACD.QUOTE·QUOTE=QUOTE,所以A成立,QUOTE×QUOTE≠QUOTE,所以B不成立,函数f(x)=2x,在R上是单调递增函数,若x1>x2则f(x1)>f(x2),则QUOTE>0,若x1<x2则f(x1)<f(x2),则QUOTE>0,故C正确;fQUOTE<QUOTE说明函数是凹函数,而函数f(x)=2x是凹函数,故D正确.12.(2024·枣庄高一检测)已知函数f(x)=logaxQUOTE图像经过点(4,2),则下列结论正确的有 ()A.函数为增函数B.函数为偶函数C.若x>1,则f(x)>0D.若0<x1<x2,则QUOTE<fQUOTE.【解析】选ACD.由题知2=loga4,a=2,故f(x)=log2x.对A,函数为增函数正确.对B,f(x)=log2x不为偶函数.对C,当x>1时,f(x)=log2x>log21=0成立.对D,因为f(x)=log2x往上凸,故若0<x1<x2,则QUOTE<fQUOTE成立.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.(2024·长春高一检测)设log23=a,log215=b,则log275=________(结果用a,b表示).

【解析】依题意,知log215=b,即log23+log25=b,可得log25=b-a,则log275=log23+2log25=a+2(b-a)=2b-a.答案:2b-a14.(2024·石嘴山高一检测)不等式QUOTE>1的解集是________.

【解析】QUOTE>1⇔x2-2x-3<0⇔-1<x<3.答案:QUOTE15.设f(x)=QUOTE则f(f(2))=________.

【解析】因为f(2)=log3(22-1)=1,所以f(f(2))=f(1)=2e1-1=2.答案:216.已知函数f(x)=QUOTE为定义在区间[-2a,3a-1]上的奇函数,则a=________,fQUOTE=________.

【解析】因为f(x)是定义在[-2a,3a-1]上的奇函数,所以定义域关于原点对称,即-2a+3a-1=0,所以a=1,因为函数f(x)=QUOTE为奇函数,所以f(-x)=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,即b·2x-1=-b+2x,所以b=1,所以fQUOTE=QUOTE,所以fQUOTE=QUOTE=QUOTE=2QUOTE-3.答案:12QUOTE-3四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)(1)已知log2(16-2x)=x,求x的值.(2)计算:QUOTE+810.75-QUOTE×QUOTE+log57·log725.【解析】(1)因为log2(16-2x)=x,所以2x=16-2x,化简得2x=8,所以x=3.(2)原式=1+(34QUOTE-3×(23QUOTE+QUOTE·QUOTE=1+27-12+2=18.18.(12分)(2024·南昌高一检测)已知函数f(x)=2x-4x.(1)求y=f(x)在[-1,1]上的值域;(2)解不等式f(x)>16-9×2x;(3)若关于x的方程f(x)+m-1=0在[-1,1]上有解,求m的取值范围.【解析】(1)设t=2x,因为x∈[-1,1],所以t∈QUOTE,y=t-t2=-QUOTE+QUOTE,所以t=QUOTE时,f(x)max=QUOTE,t=2时,f(x)min=-2.所以y=f(x)在[-1,1]上的值域为QUOTE.(2)设t=2x,由f(x)>16-9×2x,得t-t2>16-9t,即t2-10t+16<0,所以2<t<8,即2<2x<8,所以1<x<3,所以不等式的解集为(1,3).(3)方程有解等价于m在1-f(x)的值域内,所以m的取值范围为QUOTE.19.(12分)(2024·合肥高一检测)若函数y=f(x)=QUOTE为奇函数.(1)求a的值;(2)求函数的定义域;(3)求函数的值域.【解析】因为函数y=f(x)=QUOTE=a-QUOTE,(1)由奇函数的定义,可得f(-x)+f(x)=0,即2a-QUOTE-QUOTE=0,所以a=-QUOTE.(2)因为y=-QUOTE-QUOTE,所以3x-1≠0,即x≠0.所以函数y=-QUOTE-QUOTE的定义域为{x|x≠0}.(3)由(2)知x≠0,因为3x-1≠0且3x-1>-1,所以-1<3x-1<0或3x-1>0.所以-QUOTE-QUOTE>QUOTE或-QUOTE-QUOTE<-QUOTE.即函数的值域为QUOTE.20.(12分)已知a>2,函数f(x)=log4QUOTE-log4QUOTE.(1)求f(x)的定义域;(2)当a=4时,求不等式fQUOTE≤fQUOTE的解集.【解析】(1)由题意得:QUOTE解得QUOTE因为a>2,所以2<x<a,故f(x)的定义域为QUOTE.(2)因为a=4,所以fQUOTE=log4QUOTE-log4QUOTE,fQUOTE=log41-log41=0,因为fQUOTE≤fQUOTE,所以log4QUOTE-log4QUOTE≤0,即log4QUOTE≤log4QUOTE,从而QUOTE解得QUOTE<x≤4,故不等式fQUOTE≤fQUOTE的解集为QUOTE.21.(12分)对年利率为r的连续复利,要在x年后达到本利和A,则现在投资值为B=Ae-rx,e是自然对数的底数.假如项目P的投资年利率为r=6%的连续复利.(1)现在投资5万元,写出满n年的本利和,并求满10年的本利和.(精确到0.1万元)(2)一个家庭为刚诞生的孩子设立创业基金,若每年初一次性给项目P投资2万元,那么,至少满多少年基金共有本利和超过一百万元?(精确到1年)【解析】(1)由题意可得5=A·e-0.06n,所以A=5·e0.06n;当n=10时,A=5·e0.6≈9.1万元.(2)n年后的本利和为A=2·e0.06n+2·e0.06(n-1)+2·e0.06(n-2)+…+2·e0.06=2·QUOTE,令2·QUOTE>100,可得n>22.7.所以至少满23年后基金共有本利和超过一百万元.22.(12分)已知函数f(x)=log2QUOTE.(1)若函数f(x)是R上的奇函数,求a的值.(2)若函数f(x)的定义域是一切实数,求a的取值范围.(3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的