第二章误差的性质

1、测量误差的基本理论测量误差的基本理论1、测量误差的定义：、测量误差的定义：测量误差测量误差 = 测得值测得值 - 真值真值客观真实值（未知）客观真实值（未知）1m = 1650763.73 实验结果实验结果 - 实验数据实验数据 - 与其理论期望值不完全相同与其理论期望值不完全相同 约定真值：世界各国公认的几何量和物理量的最高基准的量值约定真值：世界各国公认的几何量和物理量的最高基准的量值 相对真值：标准仪器的测得值或用来作为测量标准用的标准器的值相对真值：标准仪器的测得值或用来作为测量标准用的标准器的值如：米如：米 - 公制长度基准公制长度基准 - 氪氪-86的的2p10-5d5能级间跃迁在

2、真空中的辐射波长能级间跃迁在真空中的辐射波长测量所得数据与其相应的真值之差测量所得数据与其相应的真值之差 - 1）绝对误差）绝对误差 x = x x0 理论真值：设计时给定或用数学、物理公式计算出的给定值理论真值：设计时给定或用数学、物理公式计算出的给定值光在真空中光在真空中1s时间内传播距离的时间内传播距离的1/299792485第二章第二章 误差的性质误差的性质2.1 随机误差随机误差一一.随机误差产生的原因随机误差产生的原因 随机误差是由为数众多而影响微小的因素造成随机误差是由为数众多而影响微小的因素造成,这些因这些因素对于测量结果的影响关系素对于测量结果的影响关系,人们还没有认识人们还

3、没有认识,或者还没有完或者还没有完全认识全认识.这些因素表现在这些因素表现在:(1)实验或者测量环境的微小波动实验或者测量环境的微小波动:如温度、湿度、气压、如温度、湿度、气压、气流、磁场等因素；气流、磁场等因素；(2)实验或者测量手段工作状态的微小的波动实验或者测量手段工作状态的微小的波动:设备或者仪设备或者仪器内部机械结构中运动副间的摩擦润滑作用力弹性变形器内部机械结构中运动副间的摩擦润滑作用力弹性变形;(3)测量者生理状况变化引起的感觉判别能力的波测量者生理状况变化引起的感觉判别能力的波动动.二二.随机误差的性质随机误差的性质随机误差主要有以下几方面的性质随机误差主要有以下几方面的性质:

4、(1)在一定测量条件下的有限测量值中在一定测量条件下的有限测量值中,其随机误差的绝其随机误差的绝对值不会超过一定的界限对值不会超过一定的界限,误差所具有的这个特征误差所具有的这个特征,我们我们称之为有界性称之为有界性;(2)绝对值相等的正误差和负误差出现的次数大致相等绝对值相等的正误差和负误差出现的次数大致相等,这一特征称之为对称性这一特征称之为对称性;(3)绝对值小的误差出现的次数比绝对值大的误差出现的绝对值小的误差出现的次数比绝对值大的误差出现的次数多次数多,这一特性称之单峰性这一特性称之单峰性.(4)对同一量进行多次测量对同一量进行多次测量,其误差的算术平均值随着测其误差的算术平均值随着

5、测量次数的无限增加而趋于零量次数的无限增加而趋于零,即误差平均值的极限为零即误差平均值的极限为零.三三.随机误差的评价随机误差的评价1.算术平均值算术平均值2.残余误差残余误差 由于一切实验和测量过程中不可避免的存在随机误差由于一切实验和测量过程中不可避免的存在随机误差,因此因此,我们无法求得测量的真值我们无法求得测量的真值,于是不得不对真值进行估计于是不得不对真值进行估计,通过参数估计的方法得出估计值通过参数估计的方法得出估计值,用它作为被测量真值的近用它作为被测量真值的近似似.我们来讨论残余误差的两个有用的性质我们来讨论残余误差的两个有用的性质:(1)各残余误差的代数和为零各残余误差的代数

6、和为零;(2)残余误差代数和绝对值应符合残余误差代数和绝对值应符合:1|2niinvA当当n为偶数时为偶数时:当当n为奇数时为奇数时:ii=11|v |(0.5)()22nnnAA(3)各残余误差的平方和为最小各残余误差的平方和为最小.3.等精度测量数据精度的评价等精度测量数据精度的评价作为测量列精度的评价作为测量列精度的评价,有以下几种有以下几种:(1)测量列中单次测量的标差测量列中单次测量的标差在等精度测量列中在等精度测量列中,单次测量的标准差按下式计算单次测量的标准差按下式计算:2222121nininn(2)测量列算术平均值的标准差测量列算术平均值的标准差(3)别捷尔斯法别捷尔斯法 如

7、果在相同条件下对同一量值作为多组重复的系列如果在相同条件下对同一量值作为多组重复的系列测量测量,每一个系列测量都有一个算术平均值每一个系列测量都有一个算术平均值.由于随机误由于随机误差的存在差的存在,各个测量列的算术平均只也不相同各个测量列的算术平均只也不相同,他们围绕他们围绕着被测量的真值有一定的分散着被测量的真值有一定的分散,此分散说明了算术平均值此分散说明了算术平均值的不可靠性的不可靠性,而算术平均值的标准差则是表征同一被测量而算术平均值的标准差则是表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数的各个独立测量列算术平均值分散性的参数,可作为算术可作为算术平均值不可靠性的判定标准平均

8、值不可靠性的判定标准.算术平均值的标准差算术平均值的标准差:xn此法得到的算术平均值的标准差为此法得到的算术平均值的标准差为:1|1.2531niixvnn(4)极差法极差法(5)最大误差法最大误差法设多次独立测得测量列为设多次独立测得测量列为12, ,nl ll测量列中最大及测量列中最大及最小测量值为最小测量值为 maxx及minx,它们的差值称为极差它们的差值称为极差 nw,即即maxminnwxx 极差法就是找出极差和测量列的均方根差之间的极差法就是找出极差和测量列的均方根差之间的关系关系,根据它来确定测量列的均方根差根据它来确定测量列的均方根差. 一般情况下一般情况下,被测量的真值为未

9、知被测量的真值为未知,不能按上式求不能按上式求标准差标准差,应按最大残余误差进行计算应按最大残余误差进行计算,其公式为其公式为:limaxxt m a x|inkm ax|invk四四.测量的极限误差测量的极限误差1.单次测量的极限误差单次测量的极限误差 当测量列的测量次数足够多和单次测量误差为当测量列的测量次数足够多和单次测量误差为正态分布时正态分布时,根据概率论的知识根据概率论的知识,可求得单次测量的极可求得单次测量的极限误差限误差.2.算术平均值的极限误差算术平均值的极限误差limxt limaxxt 五五.不等精度测量不等精度测量1.权的概念权的概念 对各测量结果的可靠程度用一数值来表

10、示对各测量结果的可靠程度用一数值来表示,这数这数值即称为该测量的值即称为该测量的“权权”,记为记为p.2.权的确定权的确定 每组测量结果的权仅与其相应的标准差平方成每组测量结果的权仅与其相应的标准差平方成反比反比,如果已知各组算术平均值的标准差如果已知各组算术平均值的标准差,则可确定相则可确定相应权的大小应权的大小.3.加权算术平均值加权算术平均值0101()miiimiipxxxxp4.单位权的概念单位权的概念 单位权化的实质单位权化的实质,是使任何一个量值乘以自身权数是使任何一个量值乘以自身权数的平方根的平方根,得到新的量值权数为得到新的量值权数为1.5.加权算术平均值的标准差加权算术平均

11、值的标准差211(1 )imiixmxiip vmp2.2 系统误差系统误差一一.系统误差产生的原因系统误差产生的原因(1)测量装置方面测量装置方面 在设计上采用近似的测量原理设计仪器在设计上采用近似的测量原理设计仪器,在仪器在仪器制造上存在误差制造上存在误差.(2)测量方法方面测量方法方面采用近似的测量方法或计算公式而导致的误差产生采用近似的测量方法或计算公式而导致的误差产生.(3)测量环境方面测量环境方面 如温度、湿度、海拔等随时间或者空间变化而做如温度、湿度、海拔等随时间或者空间变化而做规律变化规律变化,受此影响产生的规律性变化的误差受此影响产生的规律性变化的误差.(4)测量人员方面测量

12、人员方面 如由于观测者的读数、记数时的习惯特点影响而如由于观测者的读数、记数时的习惯特点影响而产生的误差产生的误差.二二.系统误差的种类系统误差的种类(1)不变的系统误差不变的系统误差 在整个测量过程中在整个测量过程中,误差的量值和符号始终是固误差的量值和符号始终是固定不变的系统误差定不变的系统误差.(2)线形变化的系统误差线形变化的系统误差 在整个测量过程中在整个测量过程中,误差的量值随时间或空间延误差的量值随时间或空间延续而成线性增减的误差续而成线性增减的误差.(3)多项变化的系统误差多项变化的系统误差 有的系统误差变化的特性可用多项式描述有的系统误差变化的特性可用多项式描述.(4)周期性

13、变化的系统误差周期性变化的系统误差 在整个测量过程中在整个测量过程中,系统误差的出现值随时间或空间系统误差的出现值随时间或空间的延续而具有周期性变化的延续而具有周期性变化.(5)复杂规律变化的系统误差复杂规律变化的系统误差 整个测量过程中整个测量过程中,系统误差难以用数学解析式来描系统误差难以用数学解析式来描述述,而一般采用经验公式来描述其变化规律的误差而一般采用经验公式来描述其变化规律的误差.三三.系统误差的发现系统误差的发现1.实验对比法实验对比法 通过改变产生系统误差的条件而进行不同的条通过改变产生系统误差的条件而进行不同的条件测量件测量,来发现系统误差来发现系统误差.2.残余误差判别法

14、残余误差判别法 对于有规律变化的系统误差对于有规律变化的系统误差,可根据测量列的各个残可根据测量列的各个残余误差大小和符号的变化规律余误差大小和符号的变化规律,由误差数据或者误差曲线由误差数据或者误差曲线图形来判断有无系统误差图形来判断有无系统误差.3.残差和判别法残差和判别法 如果测量残差前后两部分和之差值显著的不为零如果测量残差前后两部分和之差值显著的不为零,则可则可以判别测量列含有线性系统误差以判别测量列含有线性系统误差.4.标准差比较法标准差比较法若若2|1un则怀疑测量列中存在系统误差则怀疑测量列中存在系统误差.5.计算数据比较法计算数据比较法 对同一量进行多组比较测量对同一量进行多

15、组比较测量,得到很多数据得到很多数据,通过多通过多组计算数据比较组计算数据比较,若不存在系统误差若不存在系统误差,其比较结果应满足其比较结果应满足随机比较条件随机比较条件,否则可认为存在系统误差否则可认为存在系统误差.6.秩和检验法秩和检验法7.用用t分布判别法分布判别法8.误差发现方法分类误差发现方法分类第一类第一类,用于发现各组测量列组内的系统误差用于发现各组测量列组内的系统误差:实验对比法、残余误差判别法、实验对比法、残余误差判别法、残差和判别法、标准差比较法残差和判别法、标准差比较法第二类第二类,用于发现各组测量之间的系统误差用于发现各组测量之间的系统误差:计算数据比较法、秩和检验法、

16、计算数据比较法、秩和检验法、用用t分布判别法分布判别法四。系统误差的消除四。系统误差的消除1.从根源上消除系统误差从根源上消除系统误差 这是最根本的方法这是最根本的方法,它要求测量人员对测量过程中它要求测量人员对测量过程中可能产生的系统误差的环节作仔细分析可能产生的系统误差的环节作仔细分析,并在测量前就将并在测量前就将误差从产生根源上加以消除误差从产生根源上加以消除.2.采用修正方法消除系统误差采用修正方法消除系统误差 这种方法基于事先查明系统误差产生的来源及确这种方法基于事先查明系统误差产生的来源及确定其数值的大小定其数值的大小,取与误差数值相等而符号相反的值作取与误差数值相等而符号相反的值

17、作为修正值为修正值,并以单个值、计算式、表格或曲线方式表示并以单个值、计算式、表格或曲线方式表示,用来对测量数据作相应的修正用来对测量数据作相应的修正,消除系统误差消除系统误差.3.不变系统误差消除法不变系统误差消除法(1)代替消除法代替消除法(2)交换法交换法(3)抵消法抵消法 这种方法要求进行两次测量这种方法要求进行两次测量,以便使两次读数时出以便使两次读数时出现系统误差大小相等现系统误差大小相等,符号相反符号相反,取两次测量值的平均值取两次测量值的平均值,作为测量结果作为测量结果,即可消除系统误差即可消除系统误差. 将测量中导致产生系统误差的条件对换将测量中导致产生系统误差的条件对换,使

18、产生系使产生系统误差的作用相反统误差的作用相反,通过计算抵消系统误差通过计算抵消系统误差. 在测量条件不变的情况下在测量条件不变的情况下,用某已知量替换被测用某已知量替换被测量以消除系统误差量以消除系统误差.4.可变系统误差消除法可变系统误差消除法(1)对称测量法对称测量法(2)半周期法半周期法2.3 粗大误差粗大误差1.测量人员的原因测量人员的原因2.客观外界条件的原因客观外界条件的原因二二.粗大误差的判别准则粗大误差的判别准则一一.粗大误差产生的原因粗大误差产生的原因1.莱以特准则莱以特准则(3准则准则)| 3iv| 3iv2.罗曼诺夫斯基准则罗曼诺夫斯基准则3.格罗布斯准则格罗布斯准则4

19、.狄克松准则狄克松准则2.4 实验数据处理实验数据处理一一.等精度测量直接测量时的数据处理等精度测量直接测量时的数据处理(1)求算术平均值求算术平均值(2)求残余误差求残余误差(3)校对算术平均值及其残余误差校对算术平均值及其残余误差(4)判断系统误差判断系统误差(5)求测量列单次测量的标准差求测量列单次测量的标准差(6)判断含粗大误差的坏值判断含粗大误差的坏值,并剔除并剔除若存在粗大误差的坏值若存在粗大误差的坏值,剔除之后剔除之后,又需要重新求算术又需要重新求算术平均值和标准差等平均值和标准差等,重复重复(1)至至(5)步的计算步的计算,到不含到不含粗大误差为止粗大误差为止.(7)求算术平均

20、值的标准差求算术平均值的标准差(8)求算术平均值的极限误差求算术平均值的极限误差(9)写出测量结果写出测量结果:通常用算术平均值及其极限误差通常用算术平均值及其极限误差来表示来表示二二.不等精度直接测量时的数据处理步骤不等精度直接测量时的数据处理步骤(1)确定各组测得值之权确定各组测得值之权,并计算加权算术平均值并计算加权算术平均值(2)求残余误差并进行校核求残余误差并进行校核(3)求加权算术平均值的标准差求加权算术平均值的标准差(4)求加权算术平均值的极限误差求加权算术平均值的极限误差(5)写出测量结果写出测量结果误差分类误差分类按误差来源：装置误差、环境误差、方法误差、人员误差按误差来源：

21、装置误差、环境误差、方法误差、人员误差 系统误差（系统误差（System error）由特定原因引起、具有一定因果关系并按确定规律产生由特定原因引起、具有一定因果关系并按确定规律产生按掌握程度：已知误差、未知误差按掌握程度：已知误差、未知误差按特性规律：系统误差、随机误差、粗大误差按特性规律：系统误差、随机误差、粗大误差 - 有规律可循有规律可循装置、环境、动力源变化、人为因素装置、环境、动力源变化、人为因素再现性再现性 - 偏差（偏差（Deviation）理论分析理论分析/实验验证实验验证 - 原因和规律原因和规律 - 减少减少/消除消除 随机误差（随机误差（Random error）因许多

22、不确定性因素而随机发生因许多不确定性因素而随机发生偶然性（不明确、无规律）偶然性（不明确、无规律）概率和统计性处理（无法消除概率和统计性处理（无法消除/修正）修正） 粗大误差（粗大误差（Abnormal error）检测系统各组成环节发生异常和故障等引起检测系统各组成环节发生异常和故障等引起异常误差异常误差 - 混为系统误差和偶然误差混为系统误差和偶然误差 - 测量结果失去意义测量结果失去意义分离分离 - 防止防止 按变化速度：静态误差、动态误差按变化速度：静态误差、动态误差6、确定测量误差的方法、确定测量误差的方法1）逐项分析法）逐项分析法与被测对象有关的专业知识与被测对象有关的专业知识 -

23、 物理过程、数学手段物理过程、数学手段对测量中可能产生的误差进行分析、逐项计算出其值，并对其中主要对测量中可能产生的误差进行分析、逐项计算出其值，并对其中主要项目按照误差性质的不同，用不同的方法综合成总的测量误差极限项目按照误差性质的不同，用不同的方法综合成总的测量误差极限最严重情况最严重情况 - 结果和实际差别结果和实际差别 - 误差极限偏大误差极限偏大2）实验统计法）实验统计法综合使用，互相补充、相互验证综合使用，互相补充、相互验证利用实际测量数据估算利用实际测量数据估算 - 反映各种因素的实际综合作用反映各种因素的实际综合作用反映出各种误差成分在总误差中所占的比重反映出各种误差成分在总误

24、差中所占的比重- 产生误差的主要原因产生误差的主要原因 - 减小误差应主要采取的措施减小误差应主要采取的措施应用数理统计的方法对在实际条件下所获得的测量数据进行分析应用数理统计的方法对在实际条件下所获得的测量数据进行分析处理，确定其最可靠的测量结果和估算其测量误差的极限处理，确定其最可靠的测量结果和估算其测量误差的极限适用：适用： 一般测量一般测量 适用：适用： 拟定测量方案拟定测量方案 研究新的测量方法、设计新的测量装置和系统研究新的测量方法、设计新的测量装置和系统 对测量方法和测量仪器的实际精度进行估算和校验对测量方法和测量仪器的实际精度进行估算和校验1、系统误差的消除、系统误差的消除 测

25、量方法测量方法 - 避免出现系统误差避免出现系统误差 - 防止系统误差出现的最基本办法防止系统误差出现的最基本办法数据处理数据处理 - 被测量的估计值被测量的估计值 - 可信程度（评定）可信程度（评定） 找出规律找出规律 - 修正值修正值2）引入修正值进行校正）引入修正值进行校正3）检测方法上消除或减小）检测方法上消除或减小- 现有仪器设备取得更好的效果（提高测量准确度）现有仪器设备取得更好的效果（提高测量准确度）1）分析系统误差产生的原因）分析系统误差产生的原因二、数据处理的一般方法二、数据处理的一般方法 - 已出现的系统误差已出现的系统误差理论分析理论分析/专门的实验研究专门的实验研究 -

26、 系统误差的具体数值和变化规律系统误差的具体数值和变化规律- 确定修正值（温度、湿度、频率修正等）确定修正值（温度、湿度、频率修正等）测量前测量前 - 对可能产生的误差因素进行分析，采取相应措施对可能产生的误差因素进行分析，采取相应措施- 修正表格、修正曲线、修正公式修正表格、修正曲线、修正公式 - 按规律校正按规律校正- 实际测量中，采取有效的测量方法实际测量中，采取有效的测量方法 抵消抵消法法 例：等臂天平称重例：等臂天平称重 - 左右两臂长的微小差别左右两臂长的微小差别 - 恒值系统误差恒值系统误差引起系统误差的条件（如被测量的位置）相互交换引起系统误差的条件（如被测量的位置）相互交换

27、- 其他条件不变其他条件不变 换位法换位法/替代法替代法- 产生系统误差的因素对测量结果起相反的作用产生系统误差的因素对测量结果起相反的作用 - 抵消抵消a）X与与P左右交换左右交换 - 两次测量两次测量的平均值的平均值 - 消除系统误差消除系统误差被测物被测物 -X；平衡物；平衡物 - T；砝码；砝码 - P改变测量条件（如方向）改变测量条件（如方向）- 两次测量结果的误差符号相反两次测量结果的误差符号相反 - 平均值消除带有间隙特性的定值系统误差平均值消除带有间隙特性的定值系统误差 例：千分尺例：千分尺 - 空行程（刻度变化，量杆不动）空行程（刻度变化，量杆不动）- 系统误差系统误差- 异

28、号相消法异号相消法b）T与与X 平衡平衡TLLX12TLLP12测量结果测量结果P与与T平衡平衡已知量替换被测量已知量替换被测量正反两个方向对准标志线正反两个方向对准标志线 ad ad2/)(dda顺时针顺时针 - 逆时针逆时针 - 正确值正确值 - 换位换位/替代法替代法不含系统误差不含系统误差a，空程引起误差，空程引起误差 差动法差动法被测量对传感器起差动作用被测量对传感器起差动作用 干扰因素起相同作用干扰因素起相同作用- 被测量的作用相加被测量的作用相加 - 干扰的作用相减干扰的作用相减抑制干扰抑制干扰 提高灵敏度和线性度提高灵敏度和线性度作用：作用： 比值补偿法比值补偿法利用比值补偿原理利用比值补偿原理 - 影响因素在输出计算式的分子、分母上同时出现影响因素在输出计算式的分子、分母上同时出现 - 约消约消 例：比色高温计例：比色高温计 - 消除辐射率变化的影响消除辐射率变化的影响 半周期偶数观测法半周期偶数观测法 - 系统误差随某因素成周期性变化系统误差随某因素成周期性变化综合：综合：两次测量所得的周期系统误差两