二元函数的极值 ppt课件

1、 第八章 第五节第五节一、二元函数的极值一、二元函数的极值 二、最值应用问题二、最值应用问题机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二元函数的极值二元函数的极值xyz一、一、 多元函数的极值多元函数的极值 定义定义: 假设函假设函数数那么称函数在该点获得极大值(极小值).例如例如 :在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;在点 (0,0) 无极值.极大值和极小值统称为极值, 使函数获得极值的点称为极值点.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22yxzyxz ),(),(00yxyxfz在点的某邻域内有xyzxyz机动 目录 上页 下页 返回 完毕

2、 说明说明: 使偏导数都为使偏导数都为 0 的点称为驻点的点称为驻点 . 例如,定理定理1 (必要条件必要条件) 函数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx获得极值 ,获得极值获得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.且在该点获得极值 , 那么有),(),(00yxyxfz在点存在),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 时, 具有极值定理定理2 (充沛条件充沛条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且

3、令那么: 1) 当A0 时取极小值.2) 当3) 当证明 略. 时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.假设函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02BAC02 BAC02BAC机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1.1. 求函数解解: : 第一步第一步 求驻求驻点点. .得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy063

4、2yy的极值.求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233机动 目录 上页 下页 返回 完毕 在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在点(1,2) 处不是极值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC机动 目录 上页 下页 返回 完

5、毕 例例2.讨论函数讨论函数及是否获得极值.解解: 显然显然 (0,0) 都是它们的驻点都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因而 z(0,0) 不是极值.因而,022时当 yx222)(yxz0)0 , 0( z为极小值.正正负负033yxz222)(yxz在点(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02BAC33yxz可能为0)()0 , 0()0 , 0(222yxz机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二、最值应用问题二、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可到达最值 最值可疑点 驻点边境上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在当区域内部最值存在, 且只要一

6、个极值点且只要一个极值点P 时时, )(Pf为极小 值)(Pf为最小 值( (大大) )( (大大) )根据机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例3.3.解解: 设水箱长设水箱长,宽分别为宽分别为 x , y m ,那么高那么高为为那么水箱所用资料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才干使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因而可断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为高为时, 水箱所用资料最省.3m)2,2(33323222

7、233机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例4. 有一宽为有一宽为 24cm 的长方形铁板的长方形铁板 , 把它折起来做成解解: 设折起来的边长为设折起来的边长为 x cm,那么断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x积最大. )0,120:(2 xD为问怎样折法才干使断面面机动 目录 上页 下页 返回 完毕 cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由题意知,最大值在定义域D 内到达,而在域D 内只要一个驻点, 故此点即为所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x机动 目录 上页 下页 返回 完毕 内容小结内容小结1. 函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充沛条件 判别驻点是否为极值点 ., ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数机动 目录 上页 下页 返回 完毕 第二步第二步 判别判别 比较驻点及边境点上函数值