空间解析几何与向量代数

1、第八章空间解析几何与向量代数一、基本要求及重点、难点1. 基本要求(1) 了解空间直角坐标系，熟悉坐标系中特殊点的坐标及两点间的距离公式。(2) 掌握向量概念，熟悉向量的线性运算。(3) 掌握向量的数量积和向量积概念、坐标表示，掌握向量平行和垂直的判别条件。(4) 掌握平面的点法式方程和一般式方程，会求点到平面的距离(5) 掌握空间直线的对称式方程、参数式方程和一般式方程，会进行方程间的互化。(6) 会用方向向量和法向量讨论平面之间、直线之间以及平面与直线之间的位置关系。(7) 了解曲面方程的概念。知道常用二次曲面(如球面、椭球面、旋转抛物面及圆锥面等)的方程及其图形。(8) 会求以坐标轴为旋

2、转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程及其图形。(9) 了解空间曲线的参数式方程和一般式方程，会求简单空间曲线在坐标平面上的投影。2. 重点及难点(1) 重点：理解向量的概念与各种运算，用向量代数方法掌握平面和空间直线方程。(2) 难点：用向量代数方法来研究平面与直线问题，培养空间图形的想象能力。二、内容概述1 .向量概念的基本要点(1)向量定义：既有大小又有方向的量。(2) 重要概念：单位向量、零向量、负向量、向径、自由向量、相等向量。(3) 向量的坐标表达式：a=axiayjazk="ax,ay,azf,其中ax,ay,az分别为向量在x轴、y轴和z轴上的投影。13(4)向量

3、的模与方向余弦:cos十2ay2azazay22ayazax2-ay2az22 .投影定理(1)Prjb=bcos(a,b)(2)Prjabb2=Prja(bJPrja(b2)Prja(bn)3 向量的线性运算设aax,ay,azlb-bx,by,bzlc-kx,Cy,Cz?(1) 向量的加减法：平行四边形法则，三角形法则坐标表达式：axbx，ayby,az-bz<r大小：九a=|绍a(2) 向量的数乘：设人是数，则人a=«与a同向当扎>o方向：宀t与a反向，当"0坐标表达式：a-ax,，ay,，az运算规律：(Ja)=)a,('HL)a-a,(ab4.

4、向量的乘法(1)向量的数量积：定义式：a=|abcos(£b)坐标表达式：ab=axbxayby-azbz运算规律：ab=ba,(ab)=(a)b,a(bc)=abac常用应用：a=yfaa,cosa(b)=-,a|b.ab-"-Prjab,a_b：=ab=0a(2)向量的向量积宀、-大小：a5=|absin(a,b)定义式：a汉b=_-i方向：同时垂直于a、b，指向按右手法则从a到b确定-ijk坐标表达式：a汇b=axayazbxbybz运算规律：ab-ba,(ab)=Ca)b-a(b),a(bc)=abac几何意义：以a,b为邻边的平行四边形面积常用应用：aa=0,a/

5、buab=0,与a,b同时垂直的向量可取作一一一一aaya一一一注：a/b=存在唯一实数，使bVa=-x-=二二ab=0bxbybz5曲面方程(1) 曲面的一般式方程：F(x,y,z)=0(2) 旋转曲面：曲线(x,y)=0绕x轴旋转所得旋转曲面方程为：f(x,士Jy2十z2)=0；Z=0绕y轴旋转所得旋转曲面方程为：f(_x2z2,y)=0。(3)柱面方程F(xy)=0F(x,y)=0在空间直角坐标系中表示准线为母线平行于z轴的柱面。z=0类似的，G(x,z)=0和H(y,z)=0分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面。注：在母线平行于坐标轴的柱面方程中，相应于该坐标轴的变量不出现。6 空间曲线

6、及其在坐标面上的投影曲线方程(1) 空间曲线的一般式方程：F(x,y,z)=0，即空间曲线可看作两个空间曲面的交线。、G(x,y,z)=0(2)空间曲线在坐标面上的投影曲线方程空间曲线丿F(x,y,z)=0在xoy面上的投影曲线方程是在上式中消去z，得投影柱面方程G(x,y,z)=0ff(x,y)=0f(x,y)=0,再与z=0联立，即。Z=07 平面方程(1)点法式:A(x-x0)B(y-y0)C(z-z0)=0其中n='A,B,Cf为平面法向量，(Xo,y°,z0)为平面上任一点。(2) 一般式：AxByCzD=0,其中n二，A,B,Cf为平面法向量。(3) 截距式：-=

7、1，其中a,b,c分别为平面在三个坐标轴上的截距。abc(4)点(Xo,y°,Zo)到平面AxByCz0的距离:Ax0By0CzqD,A2B2C28 空间直线方程(1)对称式(标准式、点向式)其中直线的方向向量为sm,n,p?,(x0,y0,Zo)为直线上任一点。注：对形如.口0=口£=口°的直线方程，不要理解为分母为零无意义。方向向量mn0s-m,n,0l表明直线与z轴垂直，即平行于xoy坐标面，应理解为两平面交线x-xo_y-y°«mn。Z=Zo(1)两平面AxByGzD1=0与A,xB2yC2z-D2=0的夹角为(2)n1n1n2y一力则

8、COST两直线匸凶m!ni则cosr帛SiIS2A|A2B1B2C1C2A2B12G2Ia22b22c223与亠=亠=二的夹角为.:Pim2n2P2m1m2np1p2.m；n/p/*m2?nfp22(2)两点式：XX1讨讨1Z乙X2X125Z2乙"x=x0+mt(3)参数式：<y=y°+nt牛Z0+pt(4)一般式：Aix+B1y+C1z+D1=0,-r1t1丿，其万向向量<A1,B1,C<A2,B2,C2Ax+B2y+C2z+D2=09直线与平面的位置关系(3)平面AxByCzD=0与直线乂一怡二y-y°二z-z。的夹角为二:mnp直线与平面:

9、ABCns|Am+Bn+Cp|n，|s"2+B?+C?+n?+p2(4)平行条件平面与平面：AB1-C1,直线与直线：P1A2B2C2n2P2直线与平面：Am-BnCp=0(5)垂直条件P1P2=0,平面与平面：A1A+B1BC1C0，直线与直线：mm2+三、典型例题分析例1:设a=2，b=3，且a/b，求ab及a=<b解：；a/b，.a与b的夹角为0(同向平行)或二(反向平行)，则ab=|bcos(a,b)=2x3x(±1)=±6又a/b，.ab=0例2：求与向量a=2i-j2k平行且满足a=-18的向量x。解：设x=1x1,x2,x31，.：x/a，呂=

10、西X32-12令程=翌空二，二x1=2，x2_-'，x3=2'2-12又：ax=18，二4扎十九+4九=一18，二丸=-2x-4,2,-4二n例3：设a=5,b=2,(a,b)=,求2a-3b3-_2-_-解：2a_3b=(2a-3b)(2-3b)-12aTL2bcos+9b=7632a_3b花=2*：19例4：设a=4,b=3,(a,b)=-,求以a+2b和a_3b为边的三角形面积。61-解：S=(a+2b)x(a3b)2=axa+2bxa_3axb_6bxb2=丄5b汉ab.兀asin6J5431=1522单位向量b°k8-一8,0,3?，0例5：求同时垂直于y轴

11、和向量a-3,6,8f的单位向量b°。解：；与y轴垂直等价于与y轴上的单位向量j二'0,1,0垂直,_,ij与向量a与j同时垂直的向量bj-3601例6：已知a二"4,-3,21，单位向量e与三坐标轴夹角相等且为锐角，求Prjea。一一解：可设单位向量e=cosxicos：jcosk，cos2二"cos21cos2=1，又已知向量e与三坐标轴夹角相等且为锐角，可推得3cos2匚-1，即cos-1-1-1-所以e=1i1j1k33.3又因为向量a=4i-3j2k，得4 _3_2Prjea二333_31_例7:将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的

12、方程。22xZ（1）双曲线二二=1分别绕x轴和z轴解：ac222222绕x轴旋转：x2_y2z=1,绕z轴旋转：x2y-z2=1acac（2）yoz面上曲线z=siny绕y轴解：绕y轴旋转：.x2z2=siny例8指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形?22(1)x=2(2)xy=4(3)y=x1方程平面解析几何空间解析几何x=2平行于y轴的直线平行于yoz面的平面22x+y=4圆心在（0,0），半径为2的圆以z轴为中心轴的圆柱面y=x+1斜率为1的直线平行于z轴的平面例9:写出满足下列条件的动点轨迹方程，它们分别表示什么曲面？（1）动点到坐标原点的距离等于它到平面z=4

13、的距离。（2）动点到点（0,0,5）的距离等于它到x轴的距离。解：（1）设（x,y,z）为动点，由条件知Jx2+y2+z2=|z_4，化简得x2y28z=16，此为以z轴为旋转轴的旋转抛物面。（2）设（x,y,z）为动点，由条件知.x2y2（z-5）2=y2z2，化简得x2-10z=-25，此为母线平行于y轴的抛物柱面。例10：求抛物面y2-z2=x与平面x2y-z=0的交线在三个坐标面上的投影曲线方程解：（1）两曲面的交线方程为y2+z2=x&+2y_z=0在此方程中消去变量得投影柱面方程x2亠5y2亠4xy-x=0，则r2_x+5yvxyx"即为原曲线在z=oxoy面上的

14、投影曲线;（2）消去y在xoz面上的投影曲线r9ox+5z_2xz_4x=0；y=022(3)消去x在yoz面上的投影曲线y+z+2y-z=0x=0例11：写出下列平面方程（1）xoy坐标面（2）过z轴的平面（3）平行于xoz坐标面的平面。分析：三元一次方程AxByCz0表示平面，若方程缺少某一变量，说明该变量的系数为零，则此平面必平行于该坐标轴。解：（1）因为xoy坐标面同时平行于x轴与y轴，所以A=0,B=0。又因为过坐标原点，所以D=0。.z=0即为xoy面的方程。（2）因为过z轴的平面必平行于z轴，所以C=0。又因为过坐标原点，所以D=0。于是得过z轴的平面方程为AxBy=0。（3）平

15、行于xoz坐标面的平面必平行于x轴与z轴，所以A=C=0,故所求平面方程为：ByD=0例12：求通过点P2,-1,-1，Q1,2,3且垂直于平面2x3y-5z，6=0的平面方程。解：QP，已知平面的法矢量厲，2,3-5：1 jkNNNQP=1-3-4=27i-3j+9k2 3-5取n=9,-1,3，所求平面为：9（x'2）'（yd）3（z'1）=0，即：9x-y3z-16=0。1的平面例13：求与已知平面2xy2z0平行且与三坐标面所构成的四面体体积为方程。解：由于所求平面与已知平面平行，所以其法向量可取n一2,1,2!,设所求平面方程为2y2zD=0，其中D=0为待定

16、参数。将平面化为截距式方程x1-3=1，则得平面与三个坐标轴的截距，从而可知四面体体积为D2DD2故所求平面方程为2x+y+2z+2眷3=0，或2x+y+2z-2蓉3=0例14：求平面2x_2y-z=0与各坐标面的夹角的余弦。解：n二"：2,-21为该平面的法向量，设该平面与yoz面、xoz面、xoy面的夹角分别是八：、，则co=cos(D削炫-2,1"0,0ln丨|Q22+(2)2+12冷12+02十023同理cos：二cosn,j二_-nk1cosf=coSn,k)=nk3例15：求过点A(3,1,-2)且通过直线L:的平面方程。5 21解：；平面通过直线，.点B(4,

17、-3,0)在平面上。由此得平面的法向量n同时垂直于向量ABijk_-及直线的方向向量s，所以可取1-42=8i+9j+22k521平面的点法式方程为-8(x-3)9(1)22(z20，整理得8x-9y-22z-59=0例16：已知两直线方程X-1=2：尸3Lx2_zy_1z10-1,L2:2_1一1L1求过L1且平行L2的平面方程。第八章空间解析几何与向量代数解：直线Li丄2的方向向量分别为：S小1,0,-1?,S2,因为平面过L1且平行于L2，所以平面的法向量可取为：k一n=$xs2=101=i-3j+k，211由于平面过直线L.，所以点(1,2,3)在平面上，故平面方程为(x-1)3(y-

18、2)(z-3)=0,即为：x3yz2=0例17：求过点A(-1,0,4)，且平行于平面二：3x-4yz_10=：0,又与直线x1v：；13zL:X=V二乙相交的直线方程。22分析：依题意画草图。将几何作图的程序用解析方法表示，就可得其解法。解：(1)过点A作平行于已知平面二的平面,:3(xT)-4(y-0)(z-4)=0,即3x-4yz-1=0。|x=t-1(2) 求平面二1与直线L的交点：将直线化为参数式方程v=2t-13，z=2t代入平面方程得t=16,.交点(15,19,32)。(3) 过点A(-1,0,4)和点(15,19,32)的直线方程为：丄=上二口1619282x_v+z_1=0

19、例18：求直线L:V在平面兀：x+2y-z=0上的投影直线的方程公+y-z+1=0分析：求平面方程时，若题设条件中有两个相交的平面(其方程为一般式方程)则用平面束方程处理简便；若题设条件中平面过某点则一般用点法式方程，此时问题转化为求平面的法向量。解：过直线L的平面束方程为：(2x-yz-1)一/“(xy-zT)=0,即(2)x(-1)y(1-)z(-1)=0。又；垂直于平面二，1(2')1('-1)2(1-)(T)=0,即4_1=0,故扛二一。4将代入平面束方程，得3x-y，zT=0。217所求投影直线方程为:"3x-y+z=0x+2yz=0四、自测题A及解答(一)

20、 选择题1、F列说法正确的是()：absin(a,b)(A)ijk是单位向量(B)-i是单位向量(D)与x、y、z三坐标轴的正向夹角相等的向量，其方向角为2、设三向量a,b,c满足关系式ab0，则ab=()：(B)bc(C)ac(D)ba3、F列等式成立的是()：(A)aa=aa(B)a(ab)=(aa)b(C)(ab)2=a2b2(D)a/(ab)2=ab24、设平面方程为AxCzD=0，其中A,C,D均不为零，则平面()：(A)平行于x轴(B)平行于y轴(C)经过x轴(D)经过y轴5、设直线方程为*Ax十By+Ciz+DiB2y*D2=0=0且A,B,G,DjB2,D2-0,则直线():(

21、A)过原点(B)平行于x轴(C)垂直于y轴(D)平行于z轴(二) 填空题1、设m=2a+b,n=ka+b，其中a=1，b=2，且a丄b。若m丄n，贝yk=2、已知a,b,c都是单位向量，且满足ab0，则abbcca=3、设平行四边形二边为向量a二1,-3冷，b=2,-1,3，则其面积为4、过三点P(2,3,0),Q(-2,-3,4),R(0,6,0)的平面方程是5、曲线丿3x2y2二12绕y轴旋转一周所得的旋转曲面方程为(三) 计算题1、设向量a=2,-3,1；,b-1,-2,3c=2,1,2/，向量r满足r_a,r_b，且Prjcr=14，求向量r。2、求点A(_1,2,0)在平面x2y-z

22、1=0上的投影。x+y_z+1=03、已知直线L:丿'及点P(3,1,2)，2x_y+z_4=0(1) 求点P到直线L的距离d。(2) 过点P作直线丨与L垂直相交，求丨的方程。x=1x亠1y亠2z14、求与两直线y=-1+t及=丄上都平行且过原点的平面方程。121z=2+t5、求通过直线空一幻叫。且与点x_2y_z+6=0(1,2,1)的距离为1的平面方程。自测题A参考答案(一) 选择题1、B。分析：模为1的向量为单位向量，i+j+k，i|=1，所以A错，B对。C错。应为ab=|absin(a,b)。D错。因为任一向量的三个方向角都应满足cos2鳥"cos21cos2=1，而

23、D不满足。2、3、分析：ab=(-b-c)b-bb-cb=0-cb=bc。所以选B。D。分析：A.等式左端是向量，右端是数，所以等式不成立。B等式两端均为向量，但左端向量与a平行，右端向量与b同向，所以等式不成立。baabb=a2b2C等式两端均为数，但(ab)2=abcos(a,b)2勻a所以等式一般不成立，除非两向量平行或共线。D由向量积与数量积的定义，有-_2a5=absin(a,b)2sin(a,b)(ab)22=abcos(a,b)=cos2(a,b)第八章空间解析几何与向量代数.ab-(ab)24、B。所以选D5、C。分析：直线的方向向量sn!n2jB1B2C10y轴的方向向量Sy

24、=*.0,1,0f，；SSy=0,.S_Sy，选C(二)填空题1、由于m_n，故有(2a-b)(kab)=0。又因为a_b，所以ab=0，可得2(2ab)(kab)=2ka=2k亠4=0，=k=-2。232、-3abbcca=2分析：0=(abc)(abc)二aabbcc2(abbcca)=32(abbcca)3、面积为3/10。分析：S=a汉b7-1,5,(8)2(-1)2(5)2=3.104、平面方程是3x2y6z-12=0。=TT分析：取平面法向量n二PQPR二-4j-6二一12,-8,-24?,-2所求平面方程为12(x-0)8(y-6)24(z-0)=0,即卩3x2y6z-12=0。

25、5、旋转曲面方程为3x23z22y2=12。k1=-7i-5j-k，-3(三)计算题-ij1、解：寫r7/ab=2-31-2rcc7.；“2-5儿4-，2_-7=14，一，-2,.r=：14,10,2?.4142、解：自点A作平面的垂线，则垂线的方向向量就是平面的法向量，所以垂线方程为:y-2z2-1，为了求出垂足的坐标，将垂线方程化为参数方程后再代入平面方程,522即得垂足坐标(一3,乙)，这就是所求的投影。3、解：直线的方向向量为Sl二n1n2ijk_1 1-1=-3j3k，2 -11过点P做垂直于L的平面：-3(y-1)_3(z_2)=0，即y-z_1=0。Xy-z1=013解方程组丿2

26、xy+z4=0，得平面与直线L交点坐标Q(1-,3)，22y+z_1=0212323，(1)d=PQ=J(31)2+(1+?)2+(2?)2=22y1z-2，整理得x-3y1z-2丄1c34-11-12-22(2)过两点P,Q的直线即为所求:x-33-1注：先几何作图，再解析表示，是解决这类问题的有效方法。4、解：$-"f，s2-'1,2,1?，因为平面过平行于J与L2，所以平面的法向量可取为:由于平面过原点，所以点(0,0,0)在平面上，故平面方程为-xy_z二0，即为：x_yz二0。5、解：过直线L的平面束方程为：(3x-2y2)'(x-2y-z6)=0,即(3)

27、x-(22)y-z(26)=0。|Ax°+By。+Cz°+D|（3+几）一（2+2九），2丸+（2+6九）1二二I：222222.ABC（3）（22，）二人2+5几十6=0,解得：几=-2或X=-3,故所求平面方程为:x2y2z-10=0，或4y3z16=0。五、自测题B及解答(一)选择题1、点M(3,-2,1)关于坐标原点的对称点是()：(A)(-3,2,-1)(B)(-3,-2,-1)(C)(3,-2,-1)(D)(-3,2,1)2、设a=1,b(a,b)=n,贝Va+b=():4(A)1(B)12(C)2(D)53、向量ab与向量a的位置关系是()：(A)共面(B)平

28、行(C)垂直(D)斜交4、设a,b均为非零向量，且a_b，则必有()：(A)a*b=a+b(b)ab=ab(C)a+b=|a-b(D)a+b=a-b5、直线U二=Z和平面4x一2y-2z=3的位置关系为()：-2-73(A)斜交(B)垂直(C)平行(D)直线在平面上(二) 填空题1、a二4,-3,4,b=2,2,1,Prjba=。2、设点A（4,0,5）,AB=214,T向量AB的方向余弦为cos：甘2一cos，贝UB点坐标为。寸143、已知向量-mi5j-k和向量3ijnk共线，则m=一,n二4、过z轴和点（-3,1,-2）的平面方程为。5、点（1,2,1）到平面x2y2z-13=0的距离为(ab)(ab)=2(ab)（三）计算题1、已知a,b为两非零不共线向量，求证:”2z1=02、求过点M（2,4,0）且与直线Li"亠。平行的直线方程。2xy_2=03、已知平面兀:y+2z2=0与直线L:、3y_2z+2=0（1）直线L和平面二是否平行？（2）如直线L与平面二平行，则求直线L与平面二的距离，如不平行，则求L与二的交点。x+5v+z=0兀4、求过直线且与平面x-4y-8z+12=0组