确定磁场最小面积

1、确定磁场最小面积的方法电磁场内容历来是高考中的重点和难点。近年来求磁场的问题屡屡成为高考中的热点， 而这类问题单纯从物理的角度又比较难求解，下面介绍几种数学方法。一、几何法例1. 一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度 也，从0点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与 x轴正方向的夹角为 30°，同时进入场强为 E、方向沿与x轴负方向 成60°角斜向下的匀强电场中，通过了 b点正下方的c点，如图1所示，粒子的重力不 计，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；（2）c点到b点的距离。解析：（1）先

2、找圆心，过 b点逆着速度v的方向作直线bd,交y轴于d,由于粒子在磁 场中偏转的半径一定，且圆心位于Ob连线上，距 0点距离为圆的半径，据牛顿第二定律有：Eg% - R解得2所示：要使磁场的区域有最小面积,过圆心作bd的垂线，粒子在磁场中运动的轨迹如图 则Oa应为磁场区域的直径，由几何关系知：图2由得所以圆形匀强磁场的最小面积为:(2)带电粒子进入电场后，由于速度方向与电场力方向垂直，故做类平抛运动，由运动 的合成知识有：8=联立解得E乌二、参数方法例2.在xOy平面内有许多电子(质量为的速率沿不同方向射入第一象限，如图m、电荷量为e),从坐标原点 O不断地以相同3所示。现加一个垂直于 ：平面

3、向里，磁感应强度为B的匀强磁场，要使这些电子穿过磁场区域后都能平行于x轴向x轴正向运动。求符合该条件磁场的最小面积。图3解析：由题意可知，电子是以一定速度从原点O沿任意方向射入第一象限时，先考察速度沿+y方向的电子，其运动轨迹是圆心在x轴上的A1点、半径为 qB的圆。该电子沿圆弧OCP运动至最高点P时即朝x轴的正向，可见这段圆弧就是符合条件磁场的上 边界，见图5。当电子速度方向与 x轴正向成角度，时，作出轨迹图4，当电子达到磁场边界时，速度方向必须平行于 x轴方向，设边界任一点的坐标为丁，由图4可知:图41 - - C，消去参数二得:可以看出随着 的变化，S的轨迹是圆心为（0, R）,半径为R

4、的圆，即是磁场区域的下5所示。则符合条件的磁场最小面积为扇形边界。上下边界就构成一个叶片形磁场区域。如图面积减去等腰直角三角形面积的2倍。?带电粒子在磁场中运动之磁场最小范围问题剖析近年来在考题中多次出现求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与 物理知识的综合运用能力要求较高。其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其 进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。下面我们以实例对此类 问题进行分析。? 一、磁场范围为圆形?例1 一质量为咛、带电量为丁的粒子以速度“从0点沿T轴正方向射入磁感强度

5、为 B 的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从”处穿过上轴，速度方向与 忙轴正向夹角为30°,如图1所示（粒子重力忽略不计）。V?试求：（1）圆形磁场区的最小面积；?（2）粒子从O点进入磁场区到达 "点所经历的时间；?（3）；点的坐标。解析：（1）由题可知，粒子不可能直接由O点经半个圆周偏转到二点，其必在圆周运动不到半圈时离开磁场区域后沿直线运动到二'点。可知，其离开磁场时的临界点与O点都在圆周上，到圆心的距离必相等。如图 2,过丁点逆着速度尺的方向作虚线，与 匸轴相 交，由于粒子在磁场中偏转的半径一定， 且圆心位于T轴上，距O点距离和到虚线

6、上 盒点垂直距离相等的点即为圆周运动的圆心，圆的半径y£护=伙丄R-一由.，得 汀。弦长X为： '，?要使圆形磁场区域面积最小，半径应为的一半，即:?面积fJ'1 丁 2曲伦L = 1 =(2)粒子运动的圆心角为 1200，时间 ：(3) 三距离一，故=点的坐标为(，0)。?点评：此题关键是要找到圆心和粒子射入、射出磁场边界的临界点，注意圆心必在两临 界点速度垂线的交点上且圆心到这两临界点的距离相等；还要明确所求最小圆形磁场的 直径等于粒子运动轨迹的弦长。?二、磁场范围为矩形?例2如图3所示，直角坐标系 "第一象限的区域存在沿 °轴正方向的匀强电场

7、。现有一质量为w,电量为F的电子从第一象限的某点 F (二，)以初速度一：沿77轴的负方向开始运动，经过 工轴上的点-(-,0)进入第四象限，先做匀速直线运动然后进 入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与1,'轴、77轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点0,并沿A轴的正方向运动，不计电子的重力。求? (1 )电子经过-点的速度'；? (2)该匀强磁场的磁感应强度 丄和磁场的最小面积J-'。?解析：(1)电子从点开始在电场力作用下作类平抛运动运动到1点，可知竖直方向:y = -L = -82，水平方向:4屁虫=? 解得'二x Z4= VQQ。而 ，所

8、以电子经过=点时的速度为：%tan & = =300。? （2）如图4,电子以与一二成30°进入第四象限后先沿 二丁做匀速直线运动，然后进 入匀强磁场区域做匀速圆周运动恰好以沿F轴向上的速度经过O点。可知圆周运动的圆心'一定在X轴上，且 二点到O点的距离与到直线上M点（M点即为磁场的边界点）的垂直距离相等，找出二点，画出其运动的部分轨迹为弧MNO,所以磁场的右边界和下边界就确定了。直纸面向里。XT-=三，解得，方向垂?矩形磁场的长度，宽度二氏二£12。= Lg ' £咼=?矩形磁场的最小面积为：?点评：此题中粒子进入第四象限后的运动即为例

9、键要注意矩形磁场边界的确定。?三、磁场范围为三角形中运动的逆过程，解题思路相似，关?例3如图5, 个质量为呵，带-r电量的粒子在BC边上的M点以速度'垂直于BC边飞入正三角形 ABC。为了使该粒子能在 AC边上的N点（CM = CN ）垂真于AC边飞 出ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求：？，设与一 方向的夹角为B,可知-，所以B =?1 ）粒子在磁场里运动的轨道半径r及周期T;? （2）该粒子在磁场里运动的时间t;?（3）该正三角形区域磁场的最小边长；得：？r =/'?解析：（

10、i）由广和：，（2）由题意可知，粒子刚进入磁场时应该先向左偏转，不可能直接在磁场中由 M点作圆周运动到 N点，当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时，其速度方向应该沿着轨迹的切 线方向并垂直于半径， 如图6作出圆0,粒子的运动轨迹为弧 GDEF ,圆弧在G点与初速度方向相切，在 F点与出射速度相切。画出三角形航:匸，其与圆弧在 D、E两点相切,并与圆O交于F、G两点，此为符合题意的最小磁场区域。由数学知识可知/ F0G = 600,所以粒子偏转的圆心角为3000,运动的时间'-J-J ?OH=r(3)连接并延长与 注交与H点，由图可知-汀 f-,?£ _ 2r + rcos3C

11、76; 竺上_十”八J '?点评：这道题中粒子运动轨迹和磁场边界临界点的确定比较困难，必须将射入速度 与从AC边射出速度的反向延长线相交后根据运动半径已知的特点，结合几何知识才能 确定。另外，在计算最小边长时一定要注意圆周运动的轨迹并不是三角形磁场的内切圆。?四、磁场范围为树叶形?例4在盘卩平面内有许多电子(质量为 喘、电量为宮)，从坐标0不断以相同速率，沿不同方向射入第一象限， 如图7所示。现加一个垂直于”丁平面向内、磁感强度为启 的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于T轴向二正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。R 解析：电子在磁场中运动半径-是确定的，设磁场区域足够大，作

12、出电子可01和圆02为1圆02在x轴上方的-能的运动轨道如图8所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，其中圆从圆点射出，经第一象限的所有圆中的最低和最高位置的两个圆。个圆弧odb就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点0为圆心，以R为半径的圆弧 010m02。由于要求所有电子均平行于 x轴向右飞出磁场， 故由几何知 识知电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。可证明，磁场下边界为一段圆弧，只需R =将这些圆心连线（图中虚线0102）向上平移一段长度为的距离即图9中的弧ocb就是这些圆的最高点的连线，即为磁场区域的下边界。两边界之间图形的阴影区域面积即为所求磁场区域面积:?-'

13、;A''。?还可根据圆的知识求出磁场的下边界。设某电子的速度V0与x轴夹角为B,若离开磁场速度变为水平方向时，其射出点也就是轨迹与磁场边界的交点坐标为（x, y）,从图10中看出，八厂1 ：，_'，即 J 川八 （x > 0, y > 0） ，这是个圆方程，圆£心在（0, R）处，圆的 -圆弧部分即为磁场区域的下边界。点评：这道题与前三题的区别在于要求学生通过分析确定磁场的形状和范围，磁场下边 界的处理对学生的数理结合能力和分析能力要求较高。?由以上题目分析可知，解决此类问题的关键是依据题意，分析物体的运动过程和运动形 式，扣住运动过程中的临界点，

14、应用几何知识，找出运动的轨迹圆心，画出粒子运动的 部分轨迹，确定半径，再用题目中规定形状的最小磁场覆盖粒子运动的轨迹，然后应用 数学工具和相应物理规律分析解出所求的最小面积即可。2011-2012年高二培优（9）磁场最小面积的确定方法 电磁场内容历来是高考中的重点和难点。近年来求磁场的问题屡屡成为高考中的热 点，而这类问题单纯从物理的角度又比较难求解，下面介绍几种数学方法。【教你一手】一、几何法例1. 一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度v0，从O点沿y孑卒 轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与 x轴正方向的夹角为

15、30°，同时进入场强为 E、方向沿与x轴负方向 成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图所示，粒子的重力不计，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；2）c点到b点的距离。解析：（1 ）先找圆心，过b点逆着速度v的方向作直线bd,交y轴于d,由于粒子在 磁场中偏转的半径一定，且圆心位于Ob连线上，距 0点距离为圆的半径，据牛顿第二定律有:BqvoVomR解得R器过圆心作bd的垂线，粒子在磁场中运动的轨迹如图所示：要使磁场的区域有最小面 积，则Oa应为磁场区域的直径，由几何关系知：cos30 °由得r3mvo2qB所以圆形匀强磁场的最小面积为:Sm

16、inc23 m v04q2B(2)带电粒子进入电场后，由于速度方向与电场力方向垂直，故做类平抛运动，由运动的合成知识有：s sin30 ° vt1 2 s cos30° at22而qE而a m联立解得s4 3mv02Eq、参数方法例2.在xOy平面内有许多电子(质量为 m、电荷量为e),从坐标原 点O不断地以相同的速率 v0沿不同方向射入第一象限，如图所示。现加 一个垂直于xOy平面向里，磁感应强度为 B的匀强磁场，要使这些电子 穿过磁场区域后都能平行于x轴向x轴正向运动。求符合该条件磁场的最小面积。解析：由题意可知，电子是以一定速度从原点 O沿任意方向射入第一象限时，先考

17、察速度沿+y方向的电子，其运动轨迹是圆心在x轴上的A1点、半径为mv°qB的圆。该电子沿圆弧OCP运动至最高点P时即朝x轴的正向,可见这段圆弧就是符合条件磁场的上边界，见图5。当电子速度方向与 x轴正向成角度时，作出轨迹图，当电子达到磁场边界时，速度方向必须平行于x轴方向，设边界任-点的坐标为S（x，y），由图可知：x Rsin , y R Rcos ，消去参数 得:2 2 2x (y R) R可以看出随着 的变化，S的轨迹是圆心为（0, R），半径为R 即是磁场区域的下边界。上下边界就构成一个叶片形磁场区域。如图所示。则符合条件的磁场最 小面积为扇形面积减去等腰直角三角形面积的2倍

18、。沐2 4 r2 2r222 mv02 eB三、带电粒子在磁场中的运动例题例3.在如图所示的平面直角坐标系xoy中，有一个圆形区域的匀强磁场（图中未画出），磁场方向垂直于 xoy平面，0点为该圆形区 域边界上的一点。现有一质量为m,带电量为+q的带电粒子（重力不计）从0点为以初速度Vo沿+x方向进入磁场，已知粒子经过y轴 上p点时速度方向与+y方向夹角为30o, OP=L求：磁感应强度的大小和方向；该圆形磁场区域的最小面积。解：（1）由左手定则得磁场方向垂直xOy平面向里.粒子在磁场中1做弧长为1圆周的匀速圆周运动，如图所示，粒子在3磁场.设其圆心为 O，半径为R.由几何关系有（L R） si

19、n30°= R,所以 R= 1 L.3由牛顿第疋律有 qv0 B2mV，故 RRmv°由以上各式得磁感应强度B 3mv0 qL（2）设磁场区的最小面积为S.由几何关系得Q点飞出直径OQ - 3R所以S=OQ2L2.四、穿越有界场的轨迹分析例4.如图所示，在 yV0区域内存在匀强磁场，方向垂直于XY平面并指向纸外，磁感应强度为B, 带正电的粒子从 Y轴上的A点，以速度vo与Y轴负半轴成夹角B射出, 进入磁场后，经磁场的偏转最终又恰能通过A点，A点的坐标为(0, a).试问该粒子的比荷为多少？从 A点射出到再次经过 A点共要多少时间？ay2解析：Bqvmv°0R几何关

20、系RatanCOS在磁场中偏转时间12T m(2 )2qB匀速运动的时间t2a2 cos2aV。v0 cos联立及分别可得粒子的比荷-v0 cos2v cosmBa tanBasin总时间 t2am(2 )v0 cosqBA1. 一个负离子，质量为m,电量大小为q，以速率v垂直于屏S经过小孔O射入存在着匀【小试身手】强磁场的真空室中，如图所示，磁感强度B的方向与离子的运动方向垂直， 并垂直于纸面向里.(1) 求离子进入磁场后到达屏 S上时的位置与 O点的距离.(2) 如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P,试证明：直线0P与离子入射方向之间的夹角&跟t关系是gBt2m2. 一匀磁场，磁

21、场方向垂直于 xy平面，在xy平面上，磁场分布在以 C为中 心的一个圆形区域内。一个质量为m电荷量为q的带电粒子，由原点 O开始运动，初速为v,方向沿x正方向。后来，粒子经过 y轴上的P点，此时速 度方向与y轴的夹角为30 °, P到 O的距离为L,如图所示。不计重力的影响。 求磁场的磁感强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径 R。itA3. 设在地面上方的真空室内存在匀强电场和匀强磁场.已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的，电场强度的大小 E=m,磁感应强度的大小 B=.今有一个带负电 的质点以v=20m/s的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动，求此带电质点的电 量与质量

22、之比q/m以及磁场的所有可能方向(角度可用反三角函数表示).4.如图所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场， 磁感应强度为B ;在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场， 场强为E。一质量为m，电量为-q的粒子从坐标原点0沿着y轴正方向射出。射出之后，第三次到达x轴时，它与点0的距离为L。求此粒子射出时的速度 v和运动的总路程s (重力不计)。yiXXX 翅X1转*101r 1E! 115如图所示，在y>0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在yv 0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xy平面(纸面)向外。一电量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过 y轴上y =h处的点Pi时速

23、率为vo,方向沿x轴正方向；然后，经过 x轴 上x= 2h处的P2点进入磁场，并经过 y轴上y= 2h处的P3点。 不计重力。求(1) 电场强度的大小。(2) 粒子到达P2时速度的大小和方向。(3)磁感应强度的大小。1解析：(1)离子的初速度与匀强磁场的方向垂直，在洛仑兹力作用下， 做匀速圆周运动。设圆半径为r，则据牛顿第二定律可得：2_v”mvBqv m ，解得rrBq如图所示，离了回到屏S上的位置 A与O点的距离为：AO=2r所以AO2mvBq(2)当离子到位置 P时，圆心角：vt -Bt因为 2 ，所以qBt。2m2解：粒子在磁场中受各仑兹力作用，作匀速圆周运动，设其半径为r,2vqvB m一r据此并由题意知， 粒子在磁场中的轨迹的圆心 C必在y轴上，且P点在磁场区之外。 过P沿速度方向作延长线， 它与x轴相交于Q点。作圆弧过0点与x轴相切，并且与PQ相切，切点A即粒子离开磁场区的地点。这样也求得圆弧轨迹的圆心如图所示。由图中几何关系得:L=3r由、求得 B3mvqL图中0A的长度即圆形磁场区的半径R，由图中几何关系可得 R，得知此带电质点所 由此推知此三，如右图所示，质点的速度垂直纸面向解:根据带电质点做匀速直线运动的条件 受的重力、电场力和洛仑兹力的合力必定为零 个力在同一竖直平面内外.3解法一：由合力为零的条件，可得求得带电质点