本章复习与小结

1、2.1.1 矩阵的概念矩阵的概念1.矩阵的概念，零矩阵，行矩阵，列矩阵矩阵的概念，零矩阵，行矩阵，列矩阵;2.矩阵的表示；矩阵的表示；3.相等的矩阵相等的矩阵;2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法二阶矩阵与平面列向量的乘法1.二阶矩阵与平面向量的乘法规则二阶矩阵与平面向量的乘法规则;2.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射;3.待定系数法是由原象和象确定矩阵的常用方法待定系数法是由原象和象确定矩阵的常用方法.2.1 2.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量1,3形形如如 80 90,60 8523324m的矩形数字（或字母）阵列称为的矩形数字（或字

2、母）阵列称为矩阵矩阵.通常用通常用大写黑大写黑体体的拉丁字母的拉丁字母A、B、C表示，或者用表示，或者用(aij)表示，其表示，其中中i,j 分别表示元素分别表示元素aij 所在的行与列所在的行与列. 同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的做矩阵的行行，同一竖排中按原来次序排列的一行数，同一竖排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的（或字母）叫做矩阵的列列. 组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素。元素。13 80 9060 8523324m2 1矩矩阵阵2 2 矩矩阵阵2 3矩矩阵阵0所

3、所有有元元素素均均为为 的的矩矩阵阵叫叫做做0 0矩矩阵阵. .,. 对对于于两两个个矩矩阵阵 、 的的行行数数与与列列数数分分别别相相等等，且且对对应应位位置置上上的的元元素素也也分分别别相相和和时时，记记等等才才相相等等作作ABBAAB111112211111121111122121,规规定定：行行矩矩阵阵与与列列矩矩阵阵的的乘乘法法法法则则为为baabbaaababb01112212200110120111221220210220.xaabbyxaxayaabbybxby 二二阶阶矩矩阵阵与与列列向向量量的的乘乘法法规规则则为为( , ),(,),( , ),).一一般般地地，对对于于平

4、平面面上上的的任任意意一一点点（向向量量）若若按按照照对对应应法法则则 ，总总能能对对应应唯唯一一的的一一个个平平面面点点向向量量）（则则称称 为为一一个个变变换换，简简记记为为：（，或或：x yTx yTT x yx yxxTyy , , ,).一一般般地地，对对于于平平面面向向量量的的变变换换 ，如如果果变变换换规规则则为为：那那么么，根根据据二二阶阶矩矩阵阵与与向向量量的的乘乘法法规规则则可可以以改改写写为为 ：的的矩矩阵阵形形式式，反反之之亦亦然然（TxxaxbyTyycxdyxxa bxTyycdya b c dR 坐坐标标变变换换的的形形式式矩矩阵阵乘乘法法的的形形式式两两种种形形

5、式式形形异异而而质质同同.由由矩矩阵阵确确定定的的变变换换 ，通通常常记记为为根根据据变变换换的的定定义义，它它是是平平面面内内的的点点集集到到其其自自身身的的一一个个映映射射. .MMTT .当当表表示示某某个个平平面面图图形形 上上的的任任意意点点时时，这这些些点点就就组组成成了了图图形形 ，它它在在的的作作用用下下，将将得得到到一一个个新新的的图图形形原原象象集集 的的象象集集MxFyFTFF 2.2.1 恒等变换恒等变换2.2.2 伸压变换伸压变换2.2.3 反射变换反射变换2.2.4 旋转变换旋转变换2.2.5 投影变换投影变换2.2.6 切变变换切变变换2.2 2.2 几种常见的平

6、面变换几种常见的平面变换恒等变换矩阵恒等变换矩阵( (单位矩阵单位矩阵):): 恒等变换恒等变换: : 对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵 对应的变换,都把自己变成自己。这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵恒等变换矩阵( (单位矩单位矩阵阵).).1001 恒等变换矩阵实施的对应变换称为恒等变换矩阵实施的对应变换称为恒等变换恒等变换。二阶单位矩阵一般记为二阶单位矩阵一般记为E垂直伸压变换矩阵：垂直伸压变换矩阵： 伸压变换：伸压变换： 将平面图形作沿将平面图形作沿y y轴方向伸长或压缩轴方向伸长或压缩, ,或或作沿作沿x x轴方向伸长或压缩的变换矩阵轴方向伸长或压缩的变换矩阵, ,通常称通常称做沿

7、做沿y y轴或轴或x x轴的轴的垂直伸压变换矩阵垂直伸压变换矩阵. . 伸压变换矩阵对应的变换称为伸压变换矩阵对应的变换称为垂直伸压垂直伸压变换变换, ,简称简称伸压变换伸压变换. . 10102M2001N 一般地，称形如一般地，称形如M1,M2,M3,M4,M5这这样的矩阵为样的矩阵为反射变换矩阵反射变换矩阵，对应的变换，对应的变换叫做叫做反射变换反射变换，其中（，其中（2）叫做）叫做中心反中心反射射，其余叫，其余叫轴反射轴反射.其中定直线叫做其中定直线叫做反射反射轴轴，定点称为，定点称为反射点反射点.MM(l1 l2b b) l1MM l2MMb b 上式表明，在矩阵上式表明，在矩阵MM

8、的作用下，直线的作用下，直线l l1 1 ll2 2b b 变成直线变成直线 l l1 1MM ll2 2MMb. b. 这种把直线变成直线的变换，通常叫做这种把直线变成直线的变换，通常叫做线性变换线性变换。 反之，平面上的线性变换可以用矩阵来反之，平面上的线性变换可以用矩阵来表示，但二阶矩阵不能刻画所有平面图形的表示，但二阶矩阵不能刻画所有平面图形的性变换。性变换。xaxbyycxdy(即形如即形如 的几何变换叫的几何变换叫做线性变换做线性变换)旋转变换旋转变换矩阵矩阵 通常叫做通常叫做旋转变换矩阵旋转变换矩阵.cossinsincos对应的变换称做对应的变换称做旋转变换旋转变换.其中的角其

9、中的角 做做旋转角旋转角.点点O叫做叫做旋转中心旋转中心. 旋转变换只改变几何图形的位置，不会旋转变换只改变几何图形的位置，不会改变几何图形的形状改变几何图形的形状.图形的旋转由图形的旋转由旋转中心旋转中心和和旋转角度旋转角度决定决定. (1)投影变换的几何要素投影变换的几何要素: 投影方向投影方向, 投影到的某条直线投影到的某条直线L. (2)投影变换矩阵能反映投影变换的几何要素投影变换矩阵能反映投影变换的几何要素 (3)与投影方向平行的直线投影于与投影方向平行的直线投影于L的情况是某个点的情况是某个点 (4)投影变换是映射投影变换是映射,但不是一一映射但不是一一映射像像 这类将平面内图形投

10、影到某条直线这类将平面内图形投影到某条直线相应的变换称做相应的变换称做投影变换投影变换.(或某个点或某个点)10001010上的矩阵上的矩阵,我们称之为我们称之为投影变换矩阵投影变换矩阵,投影变换投影变换平移平移|ky|个单位个单位:当当ky0时，沿时，沿x轴正方向移动；轴正方向移动；当当ky0)， 或者或者方向相反方向相反(l l0).特别地，当特别地，当l l=0时，特征向量被变换成了时，特征向量被变换成了0向量向量.2.5 2.5 特征值与特征向量特征值与特征向量建构数学建构数学a bc d设矩阵设矩阵A ，l lR，我们把行列式我们把行列式称为称为A的的特征多项式特征多项式。2( )()abfadadbccdlllll分析表明，如果分析表明，如果l l是矩阵是矩阵A A的特征值，则的特征值，则f (l)0 (l)0此时，将此时，将l l代入方程组代入方程组( (* *) )，得到一组非零解，得到一组非零解00 xy即即 为矩阵为矩阵A的属于的属于l l的一个特征向量的一个特征向量. .00 xy 如果如果 是矩阵是矩阵A的属于特征值的属于特征值l l的一个特征向的一个特征向量，则对任意的非零常数量，则对任意的非零常数t，