高等学104第一类曲面积分ppt课件

1、第一类曲面积分第四节 第十章第十章 一、第一类曲面积分的概念与性质一、第一类曲面积分的概念与性质二、第一类曲面积分的计算法二、第一类曲面积分的计算法三、五类积分的一致表述及其共性三、五类积分的一致表述及其共性一、第一类曲面积分的概念与性质一、第一类曲面积分的概念与性质1. 问题引入问题引入非均匀曲面形构件的质量非均匀曲面形构件的质量采用采用kkkkS ),( nk 10lim M “分割, 近似，求和, oxyz 表示表示 n 小块曲面的直径的最大小块曲面的直径的最大值值 (曲面的直径为其上恣意两点间间隔的最大者曲面的直径为其上恣意两点间间隔的最大者). 取极限的方法，可得取极限的方法，可得,

2、),(表示连续的面密度表示连续的面密度其中其中zyx),(kkkiiiiSf ),(作作乘乘积积设函数设函数 f (x, y, z) f (x, y, z) 在分片光在分片光滑滑,i2. 定义定义 10.3的曲面的曲面 上有界上有界. . ，的面积为的面积为iS niiiiiSf1.),(时时，和和0并作黎曼和并作黎曼和假设当各小块曲面直径的最大值假设当各小块曲面直径的最大值的极限总存在的极限总存在, 即极限值和曲面即极限值和曲面 的分法及点的分法及点记第记第i 小块小块), 2, 1(ni 上上小小块块曲曲面面在在第第ii ),iiiiM （任取一点任取一点将将 恣意分成恣意分成 n n 小

3、块小块 在曲面在曲面 上的第一类曲面积分或对面积的曲面上的第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记作积分，记作被积函数被积函数积积分分曲曲面面积分和式积分和式面面积积元元素素被被积积表表达达式式即即,d),( Szyxf niiiiiSfSzyxf1.0),(limd),(的的取取法法无无关关，iM那么称该极限值为函数那么称该极限值为函数 f (x, f (x, y, z) y, z) 注注1 当函数当函数 f (x, y, z) 在曲面在曲面 上延续时上延续时, 2 曲面形构件的质量可以表示为曲面形构件的质量可以表示为存在存在.曲面积分曲面积分 Szyxfd),( Szyxd),( 3 曲面形构

4、件的质心坐标可以表示为曲面形构件的质心坐标可以表示为,d),(1_ SzyxxMx ,d),(1_ SzyxyMy .d),(1_ SzyxzMz 4 当被积函数为常数当被积函数为常数 1 时时, 曲面积分曲面积分 的面积的面积曲面曲面 Sd5 当积分曲面为封锁曲面时当积分曲面为封锁曲面时, 曲面积分可表示为曲面积分可表示为 Szyxfd),(线线性性性性质质：)1(可加性：可加性：)2(1R ，3. 性质性质 Szyxgzyxfd),(),( SzyxgSzyxfd),(d),(组组成成和和由由曲曲面面21 Szyxfd),( 1d),(Szyxf 2d),(Szyxf(3) 对称性：对称性

5、：，对对面面积积的的曲曲面面积积分分 Szyxfd),(.重重积积分分对对称称性性的的利利用用类类似似于于三三则则面面对对称称，关关于于上上连连续续，在在如如：若若yozzyxf ),( ),(),(, 0d),(zyxfzyxfSzyxf.0:1的部分的部分在在 x,d),(21 Szyxf),(),(zyxfzyxf 根本思绪根本思绪:计算二重积分计算二重积分转转 化化定理定理10.6),(zyxf设设是定义在光滑曲面是定义在光滑曲面求曲面积分求曲面积分二、第一类曲面积分的计算法二、第一类曲面积分的计算法 上的延续函数.，yxDyxyxzz ),(),(:),(yxzz 函函数数上具有连续

6、的偏导数，上具有连续的偏导数，在在yxD Szyxfd),( yxDyxzyxf),(,(yxyxzyxzyxdd),(),(122 那么有下面的计算公那么有下面的计算公式式 Szyxfd),( niiiiiSf10),(lim iSyxyxzyxzyxiDyxdd),(),(1)(22 yxiiiyiixzz)(),(),(122 证证 如下图如下图),(iiiz 上上连连续续在在 ),(zyxf存存在在 Szyxfd),(，故故可可取取),(),(iiiiii ),(iiiz Szyxfd),( niiiiiSf10),(lim yxiiiyiixzz)(),(),(122 yxyxzyx

7、zyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(,(22 yzDzyzyzyxzyxzyzyxfdd),(),(1),),(22 Szyxfd),(注注那那么么，：若若曲曲面面yzDzyzyxx ),(),(1.dd1),(,22zxyyzzxyxfxzDzx Szyxfd),(那么那么，：若若曲曲面面xzDzxzxyy ),(),(2,d zS其中其中是球是球面面2222azyx 被平面被平面)0(ahhz 截出的顶部截出的顶部.解解,:222yxaz 2222:hayxDyx 221yxzz 222yxaa 例例1 计算曲面积分计算曲面积分 20d a.ln2haa yxDyxayxa22

8、2dd 22022dhaa 22022)ln(212haaa ,:222yxaz 2222:hayxDyx yxyxaaSddd222 zSdxyz例例2为抛物面为抛物面其中其中计算计算,d Szyx).10(22 zyxz依对称性知：依对称性知：解解 轴轴对对称称，关关于于抛抛物物面面zyxz22 为为偶偶函函数数，和和关关于于变变量量yxxyz， 1d4dSxyzSxyz)(1为第一卦限部分曲面为第一卦限部分曲面其中其中 yxzzSyxdd1d22 yxyxdd)2()2(122 1d4dSxyzSxyz22yxz ： 1d4Sxyz 1dd)2()2(1)(42222Dyxyxyxxy0

9、, 0, 1),( 221 yxyxyxD其中其中yxyxyxxyDdd)2()2(1)(422221 Sxyzd d41sincosd41022220 d41d2sin2210502 令令241 u uuud)41(41251 .42015125 0, 0, 1),( 221 yxyxyxD例例3,d222 zyxSI其中其中 是介于平面是介于平面之间的圆柱面之间的圆柱面.222Ryx Hzz ,0解解 ( (方法方法1)1)yzDzyyRx ),(,:22121 . 0,),(HzRyzyDyz yzDzyyRx ),(,:222oxyHzR 22dzRSI 122d2zRS 1 2yzO

10、RHDyzzyxxSzydd1d22 yzDzyyRx ),(,:221zyyRydd0)(1222 zyyRRdd22 122d2zRSIzyyRRzRyzDdd122222 zyyRRzRyzDdd122222 HRzzRyyRR022022d1d22yzORHDyzHRRzRRyR00arctan1arcsin4 .arctan2RH 注注假设积分曲面假设积分曲面 的参数方程为：的参数方程为：uvDvuvuzzvuyyvuxx ),(),(),(),( Szyxfd),(则则 uvDvuzvuyvuxf),(),(),(.dd),(),(),(),(),(),(222vuvuzyvuxz

11、vuzy (方法方法2)0(222HzRyx ：其参数方程为：其参数方程为：0,20),(),(sincosHzzDzzzRyRxz zzzyzxzzzySdd),(),(),(),(),(),(d222 zRdd 22dzRSIzzRRzDdd22 zzRRHd1d02220 HRzRR0arctan12 .arctan2RH 例例4,22yxz 是是锥锥面面其其中中,d)1( SxyzI.)0(222的整个表面的整个表面面所围空间立体面所围空间立体及及圆柱面圆柱面xOyaaxyx 解解321 SSxyzIdd关于关于 zOx 面对称面对称关于关于y 奇函数奇函数 321dddSxyzSxy

12、zSxyz 3 2 1xyz O 3d00dSxySxyz 321ddddSSSSI 的的面积面积. 0 xyDyxyxz ),(,:) 1(221yxzzSyxdd1d22 yxyxyyxxdd)()(1222222 yxdd2 3 2 1xyz O2a 1dS xyDyxdd22axyODxy22 a 3 2 1xyz O2a，222)2( 由对称性，得由对称性，得xzDzxxaxy ),(2:22，xzDzxxaxy ),(2:22， 22d2dSS(方法方法1)2axzO axyxyxz22222消去消去y axyxzaxz2)0(2222Dxzaxz2 3 2 1xyz O2axzD

13、zxxaxy ),(2:22，zxyySzxdd1d22 zxxaxadd22 22d2dSSzxxaxaxzDdd222 2axzODxzaxz2 2d SzxxaxaxzDdd222 axazxaxax20220d2d2 axxaxaxa202d222 aaxaxa202)2d(211)2()212(4202aaxa 28a (方法方法2) 3 2 1xyz O2a由第一类曲线积分的由第一类曲线积分的几何意义，知几何意义，知 2d S Lsyxd22L: 20,sincos ayaax dcos1220aa d2cos2202 a28a 321dddSSSI22 a .822aa 三、五类

14、积分的一致表述及其共性三、五类积分的一致表述及其共性背景背景定积分定积分:第一类曲面积分第一类曲面积分: baxxfd)(二重积分二重积分: Dyxf d),(三重积分三重积分:vzyxfd),( 第一类曲线积分第一类曲线积分: Lsyxfd),( Szyxfd),(当当被被积积函函数数非非负负时时直杆构件质量直杆构件质量平面薄板质量平面薄板质量空间物体质量空间物体质量曲线构件质量曲线构件质量曲面构件质量曲面构件质量有共同的有共同的物理意义物理意义1对数量值函数的积分；对数量值函数的积分；2数量值函数均定义在有界的几何形体上；数量值函数均定义在有界的几何形体上；3定义积分步骤一样：定义积分步骤

15、一样： 分割、近似、求和、取极限；分割、近似、求和、取极限；4均为黎曼和的极限均为黎曼和的极限.因此可以给出上述五种积分定义的一致表述式因此可以给出上述五种积分定义的一致表述式.这五类积分的共性：这五类积分的共性：定义定义10.4直线段、直线段、体体中的一个有界的几何形中的一个有界的几何形是是设设(RnI平面闭区域、空间闭区域、曲线段或曲面平面闭区域、空间闭区域、曲线段或曲面)，是是在在x)f (在在I 上有定义并且有界的数量值函数。将上有定义并且有界的数量值函数。将 I 恣意划分为恣意划分为n 个个“子块：子块：,(,21面面积积长长度度的的度度量量并并将将inIIII 。的的直直径径记记）

16、，（记记作作体体积积max,21)1iniiIniv 几何形体的直径可一致定义为该几何形体中两点之间几何形体的直径可一致定义为该几何形体中两点之间间隔的最大值间隔的最大值).,iixI 上上任任取取一一点点在在每每个个 作乘积作乘积,21)(），（nivxfii 并作黎曼和并作黎曼和 niiivxf1)(在，在，时，黎曼和的极限总存时，黎曼和的极限总存如果当如果当0即极限值与即极限值与I的的取取法法无无关关，的的划划分分方方法法及及点点ix那么称此极限为函数那么称此极限为函数上的积分，上的积分，在几何形体在几何形体Ixf)(即即记作记作,d)( Ivxf niiiIvxfvxf10)(limd

17、)(积分区域积分区域被积表达式被积表达式被积函数被积函数当被积函数为密度函数时当被积函数为密度函数时, 五种积分表示几何形体五种积分表示几何形体I的质量的质量.I是闭区间是闭区间a, bI是平面闭区域是平面闭区域DI是空间闭区域是空间闭区域I是曲线是曲线 I是曲线是曲线 baxxfd)(yxfDd ),( vzyxfd ),(szyxfd ),( Szyxfd ),( 被积函数为常数被积函数为常数1时的几何含义时的几何含义a, b的长度的长度D的面积的面积的体积的体积的弧长的弧长的面积的面积内容小结内容小结1. 定义定义: Szyxfd),(iiiiSf ),(0lim 2. 计算计算: ,)

18、,( , ),(:yxDyxyxzz 那那么么 Szyxfd),( yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd留意：利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式留意：利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧简化计算的技巧. . ni 1思索题思索题其中其中求求,d),()(2222 tzyxSzyxftF ,.,0222222),(yxzyxyxzzyxf当当当当分成分成将将2222tzyx . 0d),(2 Szyxf解解xyzO22zxy 2222tzyx .:222yxz 和和221:yxz ;22221tyxDxOy 为为面上的投影区域面上的投影区域在在,222y

19、xtz yxzzSyxdd1d22 DyxyxttyxtFdd)()(22222因此因此 dd2022320 ttt,222222yxtyzyxtxzyx .dd222yxyxtt .)62534(4t 2522 yx被被柱柱面面 ,d)(Szyx计计算算其中其中 为平面为平面 y + z = 5所截得的部分所截得的部分.,5yz ：积积分分曲曲面面解解25),(22 yxyxDxy投投影影域域：yxzzSyxdd1d22 yxyxdd2dd)1(012 备用题备用题例例1-1 xyDyxyyxdd)5(2 xyDyxxdd)5(2 d)cos5(d25020 .2125 Szyxd)(故故例

20、例1-2是曲面是曲面计算曲面积分计算曲面积分 ,dSz)(21122yxz 解解 Szd故故.面上方部分面上方部分在在xOy面上投影是面上投影是在在xOy )(21122yxz yxzzSyxdd1d22 yxzo; 2:22 yxD圆圆域域,dd122yxyx Dyxyxyxdd1)21(2222 2020d Szd Dyxyxyxdd1)21(2222 d1)2(2203 d121122 .)233(52 .,222轴的转动惯量轴的转动惯量其质心和绕其质心和绕求求轴的距离平方成正比轴的距离平方成正比的面密度与该点到的面密度与该点到其上一点其上一点设一半球面设一半球面OzOzyxaz ).(

21、22yxkk ，则则设设比比例例常常数数为为解解 Syxkmd)(22.344ka 例例1-3由对称性知，由对称性知，. 0 yx dd022320 aaka SyxkMxyd)(22MMzxy 故故转动惯量：转动惯量： SyxkIzd)(222325426 ka面的静矩面的静矩对对xOy dd0320 aka,521ka ).83, 0 , 0(a质质心心为为,83a 453421kaka dd022520 aaak.15166ka 积积分分曲曲面面 也也具具有有对对称称性性 , , 故故原原积积分分 18, , 被被积积函函数数 ),(zyxf222zyx , , ( (其其中中1 表表示

22、示第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面) ) 解解关于坐标面关于坐标面和原点均对称，和原点均对称，1 ：azyx , 即即yxaz yxyxzzSyxdd3dd1d22 例例2-1Szyxd)(222 1d)(8222SzyxyxyxayxxyDdd3)(8222 .324a ,d)4121(222Szyx 其中其中 是球面是球面.2222azyx 解解例例2-2 计算曲面积分计算曲面积分,ddd222SzSySx 由对称性知：由对称性知： SxSzyxd41211d)4121(2222）（故故Szyxd)(4121131222 ）（44373441211aa ）（例例3-1,d Sz计算曲面积分计算曲面积分.60422的部分的部分介于介于是柱面是柱面 zyx解解,421yx 方方程程平平面面上上。或或投投影影到到应应当当将将柱柱面面xOzyOz 倍。倍。的的部分部分只需算柱面在第一卦限只需算柱面在第一卦限41 . 60 , 20: zyDoxyHzR由对称性，由对称性，面上的投影面上的投影在在yOz1 1 得得则则0,42 xyxyyxzyxxSzydd1d22 Sz d2故故 202602y-4dd8yzz,4dd22yzy Dzyyzdd4