第6章灰色决策方法2016.

1、1 2 学习目的学习目的了解灰数、灰色关联、灰色聚类的概念、原理与了解灰数、灰色关联、灰色聚类的概念、原理与计算；计算；掌握灰色决策的基本概念以及几类常用的经典灰掌握灰色决策的基本概念以及几类常用的经典灰色决策分析方法和技巧，为以后继续学习灰色决色决策分析方法和技巧，为以后继续学习灰色决策的理论与方法奠定一定的基础。策的理论与方法奠定一定的基础。3 灰色系统理论产生的科学背景灰色系统理论产生的科学背景现代科学技术在高度分化的基础上高度综合的大趋势，导致了具现代科学技术在高度分化的基础上高度综合的大趋势，导致了具有方法论意义的系统科学学科群的出现。有方法论意义的系统科学学科群的出现。系统科学揭示

2、了事物之间更为深刻、更具本质性的内在联系，大系统科学揭示了事物之间更为深刻、更具本质性的内在联系，大大促进了科学技术的整体化进程；许多科学领域中长期难以解决的大促进了科学技术的整体化进程；许多科学领域中长期难以解决的复杂问题随着系统科学新学科的出现迎刃而解；复杂问题随着系统科学新学科的出现迎刃而解；人们对自然界和客观事物演化规律的认识也由于系统科学新学科人们对自然界和客观事物演化规律的认识也由于系统科学新学科的出现而逐步深化。的出现而逐步深化。 4 灰色系统理论产生的科学背景灰色系统理论产生的科学背景(1) 系统论系统论(System Theory), 创始人：创始人：L. Von. Bert

3、alanffy。1925年提出，年提出，1945 年年 发表发表第一篇论文，第一篇论文，1968年出版代表作年出版代表作 一般系统理论一般系统理论基础、发展和应用基础、发展和应用。(2) 信息论（信息论（Information Theory）, 创始人：创始人：C. E. Shannon。1948年发表标志性论文年发表标志性论文“通讯的数学理论通讯的数学理论”。(3) 控制论（控制论（Cybernetics）,创始人：创始人：N. Wiener。1943年发表第一篇论文，年发表第一篇论文，1948年出版年出版代表作代表作控制论控制论。(4) 耗散结构理论（耗散结构理论（Dissipativit

4、y Structure Theory）,创始人：创始人：I. Prigogine. 1969年发表年发表第一篇论文。第一篇论文。(5) 协同学（协同学（Synergetics）创始人：）创始人：H. Haken. 1971年提出，年提出，1976年出版代表作年出版代表作协同协同学导论学导论。(6) 突变论（突变论（Catastrophe Theory）, 创始人：创始人： R. Thom，1972。(7) 混沌理论混沌理论(Chaos Theory), 亦称紊乱学亦称紊乱学(Disorder Theory)，1964年，萨可夫斯基（年，萨可夫斯基（）证明关于）证明关于k周期点的结果；周期点的结

5、果；1975年，年，Yorke & Li 证明关于证明关于3周期点的周期点的结果结果, 提出混沌概念；代表人物：提出混沌概念；代表人物：M. Feigenbaum，70年代中。年代中。 (8) 分形理论分形理论(Fractal Theory),70年代，年代，Mandelbrot(9) 超循环理论超循环理论(Hypercycle Theory), 70年代中，年代中，M. Eigen.5 灰色系统理论产生的科学背景灰色系统理论产生的科学背景(10)运筹学（运筹学（OR），），1940; 单纯形方法，单纯形方法，1947（G. B. Dantzig）(11)系统动力学（系统动力学（SD）

6、，），J. W. Forrester，50年代年代(12)遗传算法（遗传算法（Genetic Algorithms) John H. Holland, 1975(13)人工神经网络（人工神经网络（Artificial Neural Networks）1943, W.W. McCullon & Pitts 二值神经元模型二值神经元模型1949, O. Hebb 神经网络学习准则神经网络学习准则1958, F. Rosenblatt 感知器感知器1960年代初年代初, B. Widrow & M. Hoff 线性自适应元线性自适应元1970年代初年代初, Paul Werbos,

7、BP算法算法1982, J. Hopfield, Hopfield 神经网络神经网络(14)模糊数学（模糊数学（Fuzzy Mathematics, 1965，L. A. Zadeh）.(15)粗糙集理论粗糙集理论(Rough Set Theory，1982，Z. Pawlak）(16) 未确知数学（未确知数学（Uncertainty Mathematics, 1990年代初，王光远）年代初，王光远）(17)泛系理论泛系理论(Pansystems,1970年代中，吴学谋年代中，吴学谋)(18)灰色系统理论（灰色系统理论（Grey Systems Theory,1982，邓聚龙），邓聚龙）(19

8、)可拓学（可拓学（Extenics, 亦称物元分析亦称物元分析(Matter-element analysis) ,(1983，蔡文），蔡文）(20)集对分析（集对分析（Set pair analysis), 1990年代，赵克勤）年代，赵克勤） 这些都是解决不确定这些都是解决不确定性和复杂性问题的研究成性和复杂性问题的研究成果。这些成果从不同角度、果。这些成果从不同角度、不同侧面论述了描述和处不同侧面论述了描述和处理各类不确定性信息的理理各类不确定性信息的理论和方法。论和方法。 6 灰色系统理论的产生与发展动态灰色系统理论的产生与发展动态u邓聚龙教授邓聚龙教授19331933年生年生, ,湖

9、南涟源人湖南涟源人, ,华中科技大学控制科学与工程系华中科技大学控制科学与工程系u灰色系统理论的提出灰色系统理论的提出: 1982: 1982年年1. “The Control problem of grey systems ”, 1. “The Control problem of grey systems ”, System&Control LetterSystem&Control Letter2. “2. “灰色控制系统灰色控制系统”, ,华中工学院学报华中工学院学报标志着灰色系统理论这一新兴横断学科的问世。标志着灰色系统理论这一新兴横断学科的问世。 7 灰色系统理论（灰

10、色系统理论（Grey Grey System TheorySystem Theory）的创）的创立源于立源于2020世纪世纪8080年代。年代。邓聚龙教授在邓聚龙教授在19811981年上年上海中海中- -美控制系统学术会美控制系统学术会议上所作的议上所作的“含未知数含未知数系统的控制问题系统的控制问题”的学的学术报告中首次使用了术报告中首次使用了“ “ 灰色系统灰色系统”一词。一词。灰色理论的创立灰色理论的创立8 19821982年，邓聚龙发表了年，邓聚龙发表了“参数不完全系统的最小信息参数不完全系统的最小信息正定正定”、“灰色系统的灰色系统的 控制问题控制问题”等系列论文，奠等系列论文，奠

11、定了灰色系统理论的基础。他的论文在国际上引起了定了灰色系统理论的基础。他的论文在国际上引起了高度的重视，美国哈佛大学教授、高度的重视，美国哈佛大学教授、系统与控制通信系统与控制通信杂志主编布罗克特（杂志主编布罗克特（BrockettBrockett）给予灰色系统）给予灰色系统理论高度评价，因而，众理论高度评价，因而，众多的中青年学者加入到灰多的中青年学者加入到灰色系统理论的研究行列，色系统理论的研究行列，积极探索灰色系统理论及积极探索灰色系统理论及其应用研究。其应用研究。9 邓聚龙系统理论则主张邓聚龙系统理论则主张从事物内部，从系统内从事物内部，从系统内部结构及参数去研究系部结构及参数去研究系

12、统，以消除统，以消除“黑箱黑箱”理理论从外部研究事物而使论从外部研究事物而使已知信息不能充分发挥已知信息不能充分发挥作用的弊端，因而，被作用的弊端，因而，被认为是比认为是比“黑箱黑箱”理论理论更为准确的系统研究方更为准确的系统研究方法。法。10 灰色系统灰色系统理论应用理论应用11 灰色系统理论的产生与发展动态灰色系统理论的产生与发展动态从事灰色系统研究的学者遍布全球：中国（包括从事灰色系统研究的学者遍布全球：中国（包括全国各省、市、自治区及港、澳、台地区）、英全国各省、市、自治区及港、澳、台地区）、英国、日本、美国、澳大利亚、德国、加拿大、奥国、日本、美国、澳大利亚、德国、加拿大、奥地利、俄

13、罗斯、新加坡、意大利、法国地利、俄罗斯、新加坡、意大利、法国许多重要国际会议把灰色系统列为讨论专题：不许多重要国际会议把灰色系统列为讨论专题：不确定性系统建模国际会议、系统预测控制国际会确定性系统建模国际会议、系统预测控制国际会议、国际一般系统研究会年会、系统与控制世界议、国际一般系统研究会年会、系统与控制世界组织年会组织年会12 灰色系统理论的产生与发展动态灰色系统理论的产生与发展动态19891989年，国际杂志年，国际杂志灰色系统学报灰色系统学报(The Journal of (The Journal of Grey System)Grey System)（SA,MR,MA SA,MR,M

14、A 核心期刊）在英国创刊。数核心期刊）在英国创刊。数百种国际国内学术期刊接受、发表灰色系统论文，美国计百种国际国内学术期刊接受、发表灰色系统论文，美国计算机学会会刊、台湾算机学会会刊、台湾模糊数学通讯模糊数学通讯出版灰色系统专辑出版灰色系统专辑，系统与控制国际杂志，系统与控制国际杂志Kybernetes(SCIKybernetes(SCI源期刊源期刊) )用一期的版用一期的版面集中介绍了我国学者的灰色系统研究成果面集中介绍了我国学者的灰色系统研究成果灰色系统学术著作已出版灰色系统学术著作已出版6060余种：科学出版社、国防工业余种：科学出版社、国防工业出版社、华中理工大学出版社、江苏科学技术出

15、版社、山出版社、华中理工大学出版社、江苏科学技术出版社、山东人民出版社、科学技术文献出版社、台湾全华科技图书东人民出版社、科学技术文献出版社、台湾全华科技图书出版社、台湾高立图书有限公司、日本理工出版社、美国出版社、台湾高立图书有限公司、日本理工出版社、美国IIGSSIIGSS学术出版社学术出版社13 灰色系统理论的产生与发展动态灰色系统理论的产生与发展动态全球近全球近300300所高校或研究机构开设灰色系统课程：华中科技大学、中所高校或研究机构开设灰色系统课程：华中科技大学、中国人民大学、清华大学、浙江大学、山东大学、南京航空航天大学国人民大学、清华大学、浙江大学、山东大学、南京航空航天大学

16、、美国马里兰大学、日本丰桥大学、神奈川大学、维也纳经济大学、美国马里兰大学、日本丰桥大学、神奈川大学、维也纳经济大学、法国宇航中心、台湾中央大学、成功大学、大同工学院、法国宇航中心、台湾中央大学、成功大学、大同工学院中国大百科全书中国大百科全书 、系统科学大辞典系统科学大辞典、中国科学技术蓝皮中国科学技术蓝皮书（第书（第8 8号）号）等充分肯定我国首创的灰色系统理论成果。一批新兴等充分肯定我国首创的灰色系统理论成果。一批新兴边缘学科应运而生：灰色水文学、灰色地质学、灰色育种学、灰色边缘学科应运而生：灰色水文学、灰色地质学、灰色育种学、灰色哲学哲学华中科技大学华中科技大学 、南京航空航天大学、福

17、州大学、武汉理工大学招收、南京航空航天大学、福州大学、武汉理工大学招收、培养灰色系统专业博士研究生，国内外数千名博士、硕士研究生、培养灰色系统专业博士研究生，国内外数千名博士、硕士研究生应用灰色系统的理论、方法、模型开展科学研究、撰写学位论文。应用灰色系统的理论、方法、模型开展科学研究、撰写学位论文。14 灰色系统理论的产生与发展动态灰色系统理论的产生与发展动态国家及各省、市科学基金积极资助灰色系统研究，每年都有国家及各省、市科学基金积极资助灰色系统研究，每年都有一大批灰色系统理论或应用研究项目获得各类基金资助。一大批灰色系统理论或应用研究项目获得各类基金资助。200200多项灰色系统成果获得

18、国家或省部级奖励；多项灰色系统成果获得国家或省部级奖励；20022002年，我年，我国灰色系统学者刘思峰教授获系统与控制世界组织奖。国灰色系统学者刘思峰教授获系统与控制世界组织奖。SCI,EI,ISTP,SA,MR,MASCI,EI,ISTP,SA,MR,MA等国际权威性检索机构跟踪、摘引我等国际权威性检索机构跟踪、摘引我国学者的灰色系统论著国学者的灰色系统论著30003000多次，据中国科学引文数据库多次，据中国科学引文数据库（CSCDCSCD）统计，多年来，邓聚龙教授的论著被引用次数一）统计，多年来，邓聚龙教授的论著被引用次数一直居全国第一。直居全国第一。 总体而言总体而言,灰色灰色系统理

19、论作为一门系统理论作为一门新兴横断学科新兴横断学科,正正处于蓬勃发展中处于蓬勃发展中. 15 几种不确定性方法比较分析几种不确定性方法比较分析模糊数学模糊数学着重研究着重研究“认知不确定认知不确定”问题，其研究对象具有问题，其研究对象具有“内涵明确，内涵明确，外延不明确外延不明确”的特点。主要凭借经验，借助于的特点。主要凭借经验，借助于隶属函数隶属函数进行处理。进行处理。概率统计概率统计研究的是研究的是“随机不确定随机不确定”现象的历史统计规律，考察具有多种现象的历史统计规律，考察具有多种可能发生的结果之可能发生的结果之“随机不确定随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性的大现象中每一种结果发

20、生的可能性的大小，其出发点是，大样本，且对象服从小，其出发点是，大样本，且对象服从某种典型分布某种典型分布。灰色系统理论灰色系统理论研究的是研究的是“部分信息明确，部分信息未知部分信息明确，部分信息未知”的的“小样本，小样本，贫信息贫信息”不确定性系统不确定性系统，它通过对已知，它通过对已知“部分部分”信息的信息的开发、生成开发、生成去了去了解、认识现实世界。着重研究解、认识现实世界。着重研究“外延明确，内涵不明确外延明确，内涵不明确”的对象。的对象。16 几种不确定性方法比较分析几种不确定性方法比较分析项目项目灰色系统灰色系统概率统计概率统计模糊数学模糊数学研究对象研究对象贫信息不确定贫信息

21、不确定随机不确定随机不确定认知不确定认知不确定基础集合基础集合灰色朦胧集灰色朦胧集康托集康托集模糊集模糊集方法依据方法依据信息覆盖信息覆盖映射映射映射映射途径手段途径手段灰序列生成灰序列生成频率分布频率分布截集截集数据要求数据要求任意分布任意分布典型分布典型分布隶属度可知隶属度可知侧重侧重内涵内涵内涵内涵外延外延目标目标现实规律现实规律历史统计规历史统计规律律认知表达认知表达特色特色小样本小样本大样本大样本凭借经验凭借经验17 灰色系统的基本概念灰色系统的基本概念所谓灰色系统所谓灰色系统是指部分信息已知是指部分信息已知而部分信息未知的系统，而部分信息未知的系统，灰色系统理论所要考察灰色系统理论

22、所要考察和研究的是信息不完全和研究的是信息不完全的系统，通过对已知信的系统，通过对已知信息来研究和预测未知领息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系域从而达到了解整个系统的目的。统的目的。18 灰色系统的基本概念灰色系统的基本概念系统信息不系统信息不完全完全（2 2） 结构信息不完全结构信息不完全（1 1）元素信息不完全）元素信息不完全 （4 4）运行行为信息不完全）运行行为信息不完全（3 3） 边界信息不完全边界信息不完全19 灰色系统的基本概念灰色系统的基本概念“信息不完全信息不完全”是是“灰灰”的基本含义。从不同场合、的基本含义。从不同场合、不同角度看，还可以将不同角度看，还可以将“灰灰

23、”的含义加以引申的含义加以引申 20 灰色系统的基本原理灰色系统的基本原理公理公理1 1、差异信息原理。、差异信息原理。 差异即信息，凡信息必有差异。差异即信息，凡信息必有差异。公理公理2 2、解的非唯一性原理。、解的非唯一性原理。 信息不完全、不确定的解是非唯一的。该原理是灰色系统理论解决实际信息不完全、不确定的解是非唯一的。该原理是灰色系统理论解决实际问题所遵循的基本法则。问题所遵循的基本法则。公理公理3 3、最少信息原理、最少信息原理 灰色系统理论的特点是充分利用已占有的灰色系统理论的特点是充分利用已占有的“最少信息最少信息”。公理公理4 4、认知根据原理。、认知根据原理。 信息是认知的

24、根据。信息是认知的根据。公理公理5 5、新信息优先原理。、新信息优先原理。 新信息对认知的作用大于老信息。新信息对认知的作用大于老信息。 公理公理6 6、灰性不灭原理、灰性不灭原理 “ “信息完全信息完全”是相对的是相对的,“,“信息不完全信息不完全”是绝对的。是绝对的。21 灰色系统理论的主要研究内容灰色系统理论的主要研究内容理论理论模型模型应用应用灰色系统的灰色系统的哲学思想哲学思想灰色系统的灰色系统的数学基础数学基础序列算子序列算子预测模型预测模型关联分析关联分析聚类分析聚类分析决策模型决策模型工程应用工程应用控制模型控制模型经济管理经济管理农业系统农业系统生态系统生态系统22 灰色系统

25、理论的主要研究内容灰色系统理论的主要研究内容u灰数学灰数学; ;灰色代数系统、灰色矩阵、灰色方程等是灰色系统理论的基础。灰色代数系统、灰色矩阵、灰色方程等是灰色系统理论的基础。u灰色序列生成灰色序列生成; ;主要包括缓冲算子（弱化缓冲算子、强化算子）、均值生成算子、级比主要包括缓冲算子（弱化缓冲算子、强化算子）、均值生成算子、级比生成算子、累加生成算子和累减生成算子等。生成算子、累加生成算子和累减生成算子等。u灰色系统分析灰色系统分析; ;除灰色关联分析外，还包括灰色聚类和灰色统计评估等方面的内容。除灰色关联分析外，还包括灰色聚类和灰色统计评估等方面的内容。u灰色模型灰色模型; ;通过灰色生成

26、弱化随机性，挖掘数据规律，经过差分方程与微分方程之间的通过灰色生成弱化随机性，挖掘数据规律，经过差分方程与微分方程之间的互换实现离散数据序列建立连续的动态微分方程的新飞跃。互换实现离散数据序列建立连续的动态微分方程的新飞跃。u灰色组合模型灰色组合模型; ;包括灰色经济计量学模型（包括灰色经济计量学模型（G-EG-E）、灰色生产函数模型）、灰色生产函数模型(G-C-D)(G-C-D)、灰色、灰色马尔可夫模型马尔可夫模型(G-M)(G-M)、灰色时序组合模型等。、灰色时序组合模型等。u灰色决策灰色决策; ;包括灰靶决策、灰色关联决策、灰色统计、聚类决策、灰色局势决策和灰色包括灰靶决策、灰色关联决策

27、、灰色统计、聚类决策、灰色局势决策和灰色层次决策等。层次决策等。u灰色优化技术灰色优化技术; ;包括灰色线形规划、灰色非线性规划、灰色整数规划和灰色动态规划等包括灰色线形规划、灰色非线性规划、灰色整数规划和灰色动态规划等。u灰色博弈模型灰色博弈模型; ;包括基于纯策略的灰矩阵博弈模型和基于混合策略的灰矩阵博弈模型等包括基于纯策略的灰矩阵博弈模型和基于混合策略的灰矩阵博弈模型等。u灰色控制灰色控制; ; 包括本征性灰色系统的控制问题和以灰色系统方法为主构成的控制等。包括本征性灰色系统的控制问题和以灰色系统方法为主构成的控制等。23 灰数及其运算灰数及其运算1.1. 灰数的基本概念灰数的基本概念灰

28、数的定义灰数的定义灰数的分类灰数的分类2.2.区间灰数的运算区间灰数的运算 加加 减减 乘乘 除除24 灰数的基本概念灰数的基本概念所谓灰数所谓灰数是指只知道大概范围而是指只知道大概范围而不知道确切取值的实数。不知道确切取值的实数。灰数的背景信息表现不灰数的背景信息表现不完全完全人们认知能力有限人们认知能力有限例例1:1:某市某市20072007年居民储蓄存款余年居民储蓄存款余额预计额预计200-300200-300亿。若年底亿。若年底结算存款余额为结算存款余额为275275亿亿, ,则即则即为真值。为真值。例例2:2:某成年男子的身高即为一灰某成年男子的身高即为一灰数；未测量之前估计其身高数

29、；未测量之前估计其身高约为约为1.8-1.91.8-1.9米，通过测量得米，通过测量得到该男子身高为到该男子身高为1.861.86米，则米，则即为该男子身高的真值。即为该男子身高的真值。25 灰数的基本概念灰数的基本概念26 灰数的基本概念灰数的基本概念27 灰数的基本概念灰数的基本概念从本质上看从本质上看, ,灰数又可分为灰数又可分为: :(1)(1)信息型灰数信息型灰数 指因暂时缺乏信息而不指因暂时缺乏信息而不能肯定其取值的数。能肯定其取值的数。(2)(2)概念型灰数概念型灰数 指由人们的某种观念、指由人们的某种观念、意愿形成的灰数。意愿形成的灰数。(3)(3)层次型灰数层次型灰数 由层次

30、改变形成的灰数由层次改变形成的灰数。 例例8:8: 预计某地区今年夏粮产量在预计某地区今年夏粮产量在100100万吨以上，；估计某储蓄所年底居民万吨以上，；估计某储蓄所年底居民储蓄存款余额将达储蓄存款余额将达70007000万到万到90009000万万元，；预计南京地区元，；预计南京地区1010月份最高气温月份最高气温不超过不超过36 . 36 . 例例9:9: 某高校承担一项国家重点科技攻某高校承担一项国家重点科技攻关课题，希望科研经费投入不低于关课题，希望科研经费投入不低于30003000万元，并且越多越好；某工厂废万元，并且越多越好；某工厂废品率为品率为1%1%，希望大幅度降低，当然，希

31、望大幅度降低，当然越小越好越小越好 . .例例10:10: 例如叫张三的人例如叫张三的人, ,某个学校只有某个学校只有1 1人，全市大学有人，全市大学有4 46 6人，已是灰数；人，已是灰数；若在全国范围内考虑，就更加说不清若在全国范围内考虑，就更加说不清了。了。28 本讲内容本讲内容灰色决策相关入门知识灰色决策相关入门知识 灰色决策的经典理论与方法灰色决策的经典理论与方法非经典灰色决策方法非经典灰色决策方法29 希腊字母大小写及读法希腊字母大小写及读法A阿尔法阿尔法B贝塔贝塔伽玛伽玛德尔塔德尔塔伊普西隆伊普西隆泽塔泽塔伊塔伊塔西塔西塔约塔约塔卡帕卡帕兰姆达兰姆达米欧米欧纽纽克西克西欧米克隆欧

32、米克隆派派柔柔西格玛西格玛陶陶玉普西隆玉普西隆弗爱弗爱凯凯普赛普赛奥米伽奥米伽30 6.1灰色决策相关入门知识灰色决策相关入门知识n 6.1.1 灰数及其白化灰数及其白化 n 1. 灰数灰数 灰色系统用灰数、灰色方程、灰色矩阵等来描述，灰色系统用灰数、灰色方程、灰色矩阵等来描述，其中灰数是灰色系统的基本其中灰数是灰色系统的基本“单元单元”或或“细胞细胞”。 灰数：我们把只知道大概范围而不知其确切值的数灰数：我们把只知道大概范围而不知其确切值的数称为灰色。在应用中，灰数实际上指在某一个区间或称为灰色。在应用中，灰数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数。通常用某个一般的数集内取值的

33、不确定数。通常用“ ”示示灰数。灰数。31 灰数有以下几类：灰数有以下几类： （1）仅有下界的灰数）仅有下界的灰数 （2）仅有上界的灰数）仅有上界的灰数 （3）区间灰数）区间灰数 （4）连续灰数与离散灰数）连续灰数与离散灰数 （5）本征灰数与非本征灰数）本征灰数与非本征灰数 （6）黑数与白数）黑数与白数(特殊的灰数特殊的灰数)6.1灰色决策相关入门知识灰色决策相关入门知识32 6.1灰色决策相关入门知识灰色决策相关入门知识n2. 区间灰数的运算区间灰数的运算 设有灰数设有灰数 用符号用符号 表示表示 与与 间的运算，若间的运算，若 ，则，则 应应为区间灰数，因此应有为区间灰数，因此应有 且对任

34、意且对任意 ， 。法则法则1 设设 则则的和记为的和记为 ，且，且 。法则法则2 设设 则则 。,;,21dcdcbaba121332,3fefe21,21fe,;,21dcdcbaba21 与,21dbca , ,;a b ab,ab 2133 法则法则3 设设 则则 法则法则4 设设 则则 法则法则5 设设 则则 法则法则6 设设 则则 即即 。6.1灰色决策相关入门知识灰色决策相关入门知识,;,21dcdcbaba,)(2121cbda , ,;0,0,0,a b ab abab111 , ba,;,21dcdcbaba,max,min21bdbcadacbdbcadac0, 0, 0,

35、;,21cddcdcdcbaba,/1212112/min , , , ,max , , , aabbaabbcdcdcdcd 34 法则法则7 设设定理定理6.1.1 区间灰数不能相消，相约。区间灰数不能相消，相约。定义定义6.1.1 设设 为一灰数集，若对任意的为一灰数集，若对任意的 有有 , , 均属于均属于 （商（商运运算时要满足法则算时要满足法则6的条件），则称的条件），则称 为一灰数域。为一灰数域。定理定理6.1.2 区间灰数全体构成灰数域。区间灰数全体构成灰数域。定理定理6.1.3 区间灰数全体构成灰色线性空间。区间灰数全体构成灰色线性空间。6.1灰色决策相关入门知识灰色决策相关

36、入门知识为正实数，则kbaba,kbkak)(R),(,Rjijiji,ij ji /)(R)(R35 n 3.灰数的白化灰数的白化定义定义6.1.3 形如形如 的白化值的白化值称为等权白化。称为等权白化。定义定义6.1.4 在等权白化中，取在等权白化中，取 而得到的白化值而得到的白化值称为等权均值白化。当区间灰数取值的分布信息缺称为等权均值白化。当区间灰数取值的分布信息缺乏时，乏时， 常采用等权均值白化。常采用等权均值白化。定义定义6.1.5 设区间灰数设区间灰数 ， ， ,当当 时，时，6.1灰色决策相关入门知识灰色决策相关入门知识0,11212 , , , abab 0,10,1,)1

37、(baa,)1 (baa,)1 (ba36 我们称我们称 取数一致；当取数一致；当 时，称时，称 取数非一致。取数非一致。定义定义6.1.6 起点、终点确定的左升、右降连续函数称起点、终点确定的左升、右降连续函数称为典型白化权函数。为典型白化权函数。6.1灰色决策相关入门知识灰色决策相关入门知识12与12与37 6.1灰色决策相关入门知识灰色决策相关入门知识n6.1.2 灰色关联度灰色关联度 灰色关联分析的基本思想是灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近，曲线越接近，相应序列之间关联度就越大，反

38、之就越小。相应序列之间关联度就越大，反之就越小。 灰色关联分析方法对样本量的多少和样本有无规灰色关联分析方法对样本量的多少和样本有无规律都同样适用，而且计算量小，十分方便，更不会出律都同样适用，而且计算量小，十分方便，更不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。现量化结果与定性分析结果不符的情况。 38 6.1灰色决策相关入门知识灰色决策相关入门知识n 1. 灰色关联因素和关联算子灰色关联因素和关联算子 对系统进行灰色关联分析，则需要对系统行为特对系统进行灰色关联分析，则需要对系统行为特征映射量和各有效因素进行适当处理，通过算子作征映射量和各有效因素进行适当处理，通过算子作用，使之化为数量级大

39、体相近的无量纲数据，并将用，使之化为数量级大体相近的无量纲数据，并将负相关因素转化为正相关因素。负相关因素转化为正相关因素。定义定义6.1.7 设设 为系统因素，其在序号为系统因素，其在序号 上的观测数上的观测数据为据为 则称则称为因素为因素 的行为序列的行为序列;当序号当序号 分别为时间、指标、分别为时间、指标、iXk, 2 , 1),(nkkxi)(,),2(),1 (nxxxXiiiiiXk39 决策矩阵决策矩阵(多属性决策多属性决策)40 6.1灰色决策相关入门知识灰色决策相关入门知识对象时，则依次称为因素的行为时间序列、行为指对象时，则依次称为因素的行为时间序列、行为指标序列、行为横

40、向序列。标序列、行为横向序列。 无论是时间序列数据、指标序列数据还是横向无论是时间序列数据、指标序列数据还是横向序列数据，都可以用来作关联分析。序列数据，都可以用来作关联分析。定义定义6.1.8 设设 为因素为因素 的行的行 为序列，为序列， 为序列算子，且为序列算子，且其中其中1, 若若 iX)(,),2(),1 (nxxxXiiiijD( (1) , (2) , ( ) )ijijijijX Dxd xdx n dnkxxkxkxiiii, 2 , 1; 0) 1 ();1 ()()(41 6.1灰色决策相关入门知识灰色决策相关入门知识则称则称 为初始化算子，为初始化算子， 为为 在初始化

41、算子在初始化算子 下下的像，简称初值像的像，简称初值像;2,若若 ,则称则称为均值化算子，为均值化算子， 为为 在均值化算子在均值化算子 下的像，下的像，简称均值像简称均值像;3,若若则称则称 为均值化算子，为均值化算子， 为为 在均值化算子在均值化算子 下下的像，简称区间值像的像，简称区间值像.1D1DXiiX1DnkiiiiinkkxnXXkxdkx12, 2 , 1; )(1,)()(2D2DXiiX2Dnkkxkxkxkxdkxikikikii, 2 , 1;)(min)(max)(min)()(33D3DXiiX3D42 6.1灰色决策相关入门知识灰色决策相关入门知识4,若若 ，则称

42、，则称 为逆为逆化算子，化算子， 为行为序列为行为序列 在逆化算子在逆化算子 下的像，下的像，简称逆化像。简称逆化像。5,若若 ，则称，则称 为倒数化算子，为倒数化算子， 为行为序列为行为序列 在逆化算子在逆化算子 下的像，简称逆化像。下的像，简称逆化像。称称 为灰色关联算子集，称为灰色关联算子集，称(X,D)为灰色关联因子为灰色关联因子nkkxdkxii, 2 , 1);(1)(44D4DXiiX4Dnkkxkxdkxiii, 2 , 1; 0)(; )(1)(55D5DXiiX5D5 , 4 , 3 , 2 , 1|iDDi43 思考题思考题P167定理定理6.1.444 6.1灰色决策相

43、关入门知识灰色决策相关入门知识n 2. 灰色关联公理和灰色关联度灰色关联公理和灰色关联度定义定义6.1.17 设设 为系统特征为系统特征序列，且序列，且 为相关因素序列。给定实数为相关因素序列。给定实数 ，若实数，若实数0000(1),(2),( )Xxxx n1111(1),(2),( )( (1),(2),( )(1),(2),( )iiiimmmmXxxx nXxxx nXxxxn)(),(0kxkxi)(),(1),(100kxkxnXXinki45 满足规范性满足规范性,整体性整体性,偶对对称性偶对对称性,接近性接近性,则称则称 为为 与与 的灰色关联度，的灰色关联度， 为为 与与

44、在在 点的关联系数，并称四个条件为灰色关点的关联系数，并称四个条件为灰色关联四公理。联四公理。定理定理6.1.5 设系统行为序列设系统行为序列 ， ，对于，对于 ,令令 6.1灰色决策相关入门知识灰色决策相关入门知识),(0iXXiX0X)(),(0kxkxiiX0Xk)(,),2(),1 (0000nxxxX(1),(2),( )mmmmXxxxn) 1 , 0()()(maxmax)()()()(maxmax)()(minmin)(),(00000kxkxkxkxkxkxkxkxkxkxikiiikiikii46 则则 满足灰色关联四公理，其中满足灰色关联四公理，其中 称为分辨系称为分辨系

45、数。数。 称为称为 与与 的灰色关联度。的灰色关联度。 灰色关联度的计算步骤如下：灰色关联度的计算步骤如下： 步骤步骤1 求各序列的初值像（或均值像）。令求各序列的初值像（或均值像）。令 步骤步骤2 求差序列。记求差序列。记 6.1灰色决策相关入门知识灰色决策相关入门知识),(0iXX0X)(),(1),(100kxkxnXXinki),(0iXXiX(1)( (1),(2),( )iiiiiiXXxxxx n0,1,2,im0( )( )( ) ,(1),(2),( )iiiiiikx kx kn 1,2,im47 6.1灰色决策相关入门知识灰色决策相关入门知识 步骤步骤3 求两极最大差与最

46、小差。记求两极最大差与最小差。记 步骤步骤4 求关联系数求关联系数 步骤步骤5 计算关联度计算关联度)(minmin),(maxmaxkmkMikiiki0( ),(0,1)( )iimMkkM1,2, ;1,2,knim0011( );1,2,niikkimn48 应用研究应用研究一级男子百米运动员身体素质与一级男子百米运动员身体素质与运动成绩的灰色关联度分析运动成绩的灰色关联度分析选择选择100米作为研究项目米作为研究项目,依据灰色关依据灰色关联度分析原理联度分析原理,揭示一级水平男子百揭示一级水平男子百米运动员的各项身体素质、各类型米运动员的各项身体素质、各类型素质与运动成绩之间的关联度

47、素质与运动成绩之间的关联度;针对针对训练实践中对身体素质认识上的模训练实践中对身体素质认识上的模糊糊,提出相应的训练策略提出相应的训练策略,旨在对提高旨在对提高运动成绩有所裨益。运动成绩有所裨益。相关因素：行进间相关因素：行进间30米米 ，230米，米，460米，米，5150米，立定跳远，立定三米，立定跳远，立定三级跳，二级蛙跳，后抛铅球，仰卧级跳，二级蛙跳，后抛铅球，仰卧起坐，坐蹲起，深蹲，前后劈叉，起坐，坐蹲起，深蹲，前后劈叉，左右劈叉，站立体前屈，折回跑，左右劈叉，站立体前屈，折回跑，象限跳，侧跨步。象限跳，侧跨步。 49 应用研究应用研究 我国铁路货物运输发展的灰色关联分析我国铁路货物

48、运输发展的灰色关联分析本文用灰色关联分析方法对本文用灰色关联分析方法对19892002年我国铁路运输货运量的发年我国铁路运输货运量的发展进行系统分析展进行系统分析,探讨影响我国铁路运输货运量发展的主要因素以及探讨影响我国铁路运输货运量发展的主要因素以及各因素相对于铁路运输货运量发展的关联程度各因素相对于铁路运输货运量发展的关联程度,以便为有关部门的决以便为有关部门的决策者提供数据资料策者提供数据资料.影响我国铁路运输货运量发展的主要因素有影响我国铁路运输货运量发展的主要因素有:GDP、人口数量、居、人口数量、居民消费水平、固定资产总投资及国家财政总收入等民消费水平、固定资产总投资及国家财政总收

49、入等.把铁路运输货运把铁路运输货运量作为母序列量作为母序列X0,其影响因素作为子序列其影响因素作为子序列 50 6.1灰色决策相关入门知识灰色决策相关入门知识n 3. 广义灰色关联度广义灰色关联度 （1）灰色绝对关联度）灰色绝对关联度命题命题6.1.5 设系统行为序列设系统行为序列 ，记折线记折线 为为 ，令令则则 当当 为增长序列时，为增长序列时， ；当；当 为衰减序列时，为衰减序列时， ；当；当 为振荡序列时，为振荡序列时， 符号不定。符号不定。) 1 (iixX )(,),2(),1 (nxxxXiiii) 1 ()(,),1 () 2(),1 () 1 (iiiiiixnxxxxxdt

50、xXsinii)1 (1iX0isiX0isiXis51 6.1灰色决策相关入门知识灰色决策相关入门知识定义定义 6.1.18 设系统行为序列设系统行为序列 ， 为序列算子为序列算子,且且 ,其中其中, , 则称则称 为始点为始点零化算子，零化算子， 为为 的始点零化像，记为的始点零化像，记为命题命题6.1.6 设系统行为序列设系统行为序列 , 的始点零化像分别为的始点零化像分别为 )(,),2(),1 (nxxxXiiiiD)(,)2(,) 1 (dnxdxdxDXiiiinkxkxkXiii, 2 , 1),1 ()()(DDXiiX)(,),2(),1 (0000nxxxXDXiiiii

51、)(,),2(),1 (nxxxXiiii)(,),2(),1 (nxxxXjjjj52 , ,令令则：当则：当 恒在恒在 上方，上方， ； 当当 恒在恒在 下方，下方， ； 当当 与与 相交，相交， 的符号不定。的符号不定。定义定义6.1.19 称序列称序列 各个观测数据间时距之和为各个观测数据间时距之和为 长度。长度。0000(1),(2),( )iiiiXxxxn0000(1),(2),( )jjjjXxxx ndtXXssjniji)(0100iX0jX0ijss0iX0jX0ijss0iX0jXjiss iXiX6.1灰色决策相关入门知识灰色决策相关入门知识53 6.1灰色决策相关入

52、门知识灰色决策相关入门知识定义定义6.1.20 设序列设序列 与与 长度相同，长度相同， 如命题如命题6.1.5中所示，中所示， 如命题如命题6.1.6中所示，则称中所示，则称为为 与与 的灰色绝对关联度，简称绝对关联度。的灰色绝对关联度，简称绝对关联度。定理定理6.1.6 定义定义6.1.20给出的灰色绝对关联度给出的灰色绝对关联度 满足满足灰色关联公理中规范性、偶对对称性与接近性，但灰色关联公理中规范性、偶对对称性与接近性，但不满足整体性。不满足整体性。0XiXiss ,00ssi000011ssssssiiii0XiX0i54 6.1灰色决策相关入门知识灰色决策相关入门知识命题命题6.1

53、.7 设序列设序列 与与 的长度相同，令的长度相同，令 ， 。其中，。其中， 为常数，若为常数，若 与与 的灰色绝对关联度为的灰色绝对关联度为 ，则，则 。 定义定义6.1.21 若序列若序列 各对相邻观测数据间时距相同各对相邻观测数据间时距相同,则称则称 为等时距序列。为等时距序列。0XiX00XXaiiXXbba,0XiX0i00iiXX55 6.1灰色决策相关入门知识灰色决策相关入门知识引理引理6.1.1 设设 为等时距序列，若其时距为等时距序列，若其时距 ，则，则时间轴时间轴 ,可将可将 化为化为1-时距序列。时距序列。引理引理6.1.2 设设 与与 的长度相同，且皆为的长度相同，且皆

54、为1-时距序时距序列，而列，而 ， 分别为分别为 与与 的始点零化像，则的始点零化像，则 ，lttTTt:XX1l0XiX)(,),2(),1 (00000000nxxxX)(,),2(),1 (0000nxxxXiiii0XiX10000021( )( )2nksxkxn10021( )( )2niiiksxkxn1000000021( )( )( )( )2niiikssxkxkxnxn56 6.1灰色决策相关入门知识灰色决策相关入门知识定理定理6.1.8 设序列设序列 和和 长度相同，当它们时距不长度相同，当它们时距不同或至少有一个为非等时距序列时，若通过均值生同或至少有一个为非等时距序

55、列时，若通过均值生成填补相映空穴使之化成时距相同的等时距序列，成填补相映空穴使之化成时距相同的等时距序列，则此时灰色绝对关联度则此时灰色绝对关联度 不变。不变。定理定理6.1.9 灰色绝对关联度灰色绝对关联度 具有下列性质：具有下列性质： ； 只与只与 和和 的几何形状有关，而与其空间相的几何形状有关，而与其空间相对位置无关，平移不改变绝对关联度的值；对位置无关，平移不改变绝对关联度的值；0XiXi0i0100ii00XiX57 6.1灰色决策相关入门知识灰色决策相关入门知识 任何两个序列都不是绝对无关的任何两个序列都不是绝对无关的,即即 恒不为零；恒不为零； 与与 几何上相似程度越大，几何上

56、相似程度越大， 越大；越大； 与与 平行，或平行，或 围绕围绕 摆动，且摆动，且 位于位于 之之上部分的面积与上部分的面积与 位于位于 之下部分的面积相等时，之下部分的面积相等时， =1； 当当 或或 中任一观测数据变化时，将中任一观测数据变化时，将 随之变随之变化；化；i00XiXi00XiX0iX00X00X0iX00X0iXi00XiXi058 6.1灰色决策相关入门知识灰色决策相关入门知识 与与 长度变化，长度变化， 亦变；亦变； ; 。（2）灰色相对关联度）灰色相对关联度定义定义6.1.22 设序列设序列 ， 长度相同，且初值皆不等长度相同，且初值皆不等于零，于零， ， 分别为分别为

57、 ， 的初值像，则称的初值像，则称 与与 的灰色绝对关联度为的灰色绝对关联度为 与与 的灰色相对关联度的灰色相对关联度,简称为相对关联度，记为简称为相对关联度，记为 。0XiXi0001ii00ii0XiX0XiXiX0X0XiXiX0Xir059 6.1灰色决策相关入门知识灰色决策相关入门知识 相对关联度表征了序列相对关联度表征了序列 与与 相对于始点的变相对于始点的变化速率之间的关系化速率之间的关系， 与与 的变化速率越接近，的变化速率越接近， 越大，反之就越小。越大，反之就越小。定理定理6.1.10 灰色相对关联度灰色相对关联度 具有下列性质：具有下列性质：，与灰色绝对关联度对应性质类，

58、与灰色绝对关联度对应性质类似。似。 只与序列只与序列 和和 的相对于始点的变化率有关的相对于始点的变化率有关,而与各观测值的大小无关，或者说，数乘不改变相而与各观测值的大小无关，或者说，数乘不改变相0X0XiXiXir0ir0ir00XiX60 6.1灰色决策相关入门知识灰色决策相关入门知识对关联度的值；对关联度的值； 任何两个序列的变化速率都不是毫无联系的，即任何两个序列的变化速率都不是毫无联系的，即 恒不为零；恒不为零； 与与 相对于始点的变化速率越趋于一致，相对于始点的变化速率越趋于一致， 越越大；大； 与与 相对于始点的变化速率相同相对于始点的变化速率相同,即即 ；或或 与与 的初值像

59、的始点零化像的初值像的始点零化像 ， 满足：满足： 围围绕绕 摆动，且摆动，且 位于位于 之上的面积与之上的面积与 位于位于 ir00X0XiXiXir00iXaX0XiX0 iX0 iX0 iX0 iX0 0X0 0X0 0X0 0X61 6.1灰色决策相关入门知识灰色决策相关入门知识之下部分的面积相等时，之下部分的面积相等时， =1；（3）灰色综合关联度）灰色综合关联度定义定义6.1.23 设序列设序列 ， 长度相同长度相同,且初值不等于零且初值不等于零, 和和 分别为分别为 与与 的灰色绝对关联度和灰色相的灰色绝对关联度和灰色相对关联度，对关联度， ，则称，则称 为为 与与 的灰色综合关

60、联度，简称综合关联度。的灰色综合关联度，简称综合关联度。ir00X0XiXiXiXi01 , 0iiir000)1 (0X0ir62 6.1灰色决策相关入门知识灰色决策相关入门知识n 6.1.3 灰色聚类灰色聚类 灰色聚类是根据灰色关联矩阵或灰数的白化权灰色聚类是根据灰色关联矩阵或灰数的白化权函数将一些观测指标或观测对象划分成可定义类别函数将一些观测指标或观测对象划分成可定义类别的方法。按聚类对象划分，灰色聚类可分为灰色关的方法。按聚类对象划分，灰色聚类可分为灰色关联聚类和灰色白化权函数聚类。联聚类和灰色白化权函数聚类。n 1. 灰色关联聚类灰色关联聚类 设有设有 个观测对象，每个对象观测个观测对象，每个对象观测 个特征数个特征