八章试验设计

1、 八章八章 试验设计试验设计 一、一、 试验设计试验设计 二、二、 单因素实验法单因素实验法 三、三、 多因素实验法多因素实验法 四、四、 方差分析方差分析 五、五、 正交试验正交试验 六、六、 信噪比信噪比 优选法，是一种根据生产和科研中的不同问题，利用数学原理，合理的安优选法，是一种根据生产和科研中的不同问题，利用数学原理，合理的安排试验点，以求迅速找到各种因素的最佳点的科学的实验方法。排试验点，以求迅速找到各种因素的最佳点的科学的实验方法。 最优化方法最优化方法间接最优化方法（或间接最优化方法（或称解析最优化方法）称解析最优化方法）直接最优化方法（或直接最优化方法（或称试验最优化方法）称

2、试验最优化方法） 是把所研究问题用数学表是把所研究问题用数学表达式描述出来，即建立数学模达式描述出来，即建立数学模型，然后，用解析方法求解，型，然后，用解析方法求解，以达到最优化目的。这种情况以达到最优化目的。这种情况只有在对所研究问题的基本规只有在对所研究问题的基本规律或对其机理比较清楚的情况律或对其机理比较清楚的情况下才有可能下才有可能 一种是通过大量实一种是通过大量实验，构成一类函数关验，构成一类函数关系（如正态分布、泊系（如正态分布、泊松分布、二项分布等）松分布、二项分布等）来逼近这些试验数据，来逼近这些试验数据，再从该函数关系中求再从该函数关系中求出最优解。出最优解。 另一种办法是直

3、接另一种办法是直接通过少量试验，根据通过少量试验，根据试验结果的比较来求试验结果的比较来求得最优解，以达到解得最优解，以达到解决问题的目的。（这决问题的目的。（这就是试验设计中的优就是试验设计中的优选法。）选法。） 优选法的目的，就是通过合理的安排试验点，以较少的试验次数、较低的试优选法的目的，就是通过合理的安排试验点，以较少的试验次数、较低的试验成本，迅速得到满意的结果。这也就是验成本，迅速得到满意的结果。这也就是“试验设计试验设计”要解决的问题。要解决的问题。 优选法的一个特点就是不必事先知道所求目标的数学表达式。优选法的一个特点就是不必事先知道所求目标的数学表达式。 所有选择最佳点的问题

4、，都称之为优选问所有选择最佳点的问题，都称之为优选问题，也就是最优化问题。解决最优化问题题，也就是最优化问题。解决最优化问题的方法称为优化方法或优选方法。的方法称为优化方法或优选方法。 实验设计法是英国学者费舍尔实验设计法是英国学者费舍尔( (R RA AFisher)Fisher)在在2020世纪世纪2020年代为使农业试年代为使农业试验合理化而提出的一种用于安排实验和分析实验数据的数理统计方法。验合理化而提出的一种用于安排实验和分析实验数据的数理统计方法。 最初，欧美各国主要将此方法应用于生物学、医学等领域的科学研究。最初，欧美各国主要将此方法应用于生物学、医学等领域的科学研究。 第二次世

5、界大战之后，实验设计法在工业中得到推广和应用。第二次世界大战之后，实验设计法在工业中得到推广和应用。 日本学者田口玄一首先将实验设计法成功地应用于新产品的开发设计日本学者田口玄一首先将实验设计法成功地应用于新产品的开发设计. . 实验设计法主要解决的是多因素条件实验的问题。实验设计法主要解决的是多因素条件实验的问题。 三次设计是日本学者田口玄一独创的质量工程学三次设计是日本学者田口玄一独创的质量工程学( (国际上通常称为国际上通常称为“田口田口方法方法”)”)中的主要内容，是建立在实验设计技术基础之上的一种在新产品开发中的主要内容，是建立在实验设计技术基础之上的一种在新产品开发设计过程中进行三

6、段设计的设计方式。设计过程中进行三段设计的设计方式。 三次设计以实验设计法为基本工具，在产品设计上采取措施，系统地考虑三次设计以实验设计法为基本工具，在产品设计上采取措施，系统地考虑问题，通过对零部件或元器件的参数进行优选，以求减少各种内、外因素对问题，通过对零部件或元器件的参数进行优选，以求减少各种内、外因素对产品功能稳定性的影响，从而达到提高产品质量的目的。产品功能稳定性的影响，从而达到提高产品质量的目的。 （一）质量波动的原因（一）质量波动的原因 引起产品质量波动或引起产品功能偏离目标值的原因引起产品质量波动或引起产品功能偏离目标值的原因 ( (又称噪声、干扰又称噪声、干扰) )来自以下

7、三个方面：来自以下三个方面： 1 1外噪声。外噪声。 由于环境因素与使用条件变化，会使产品不能正常发挥其功能。例如一台由于环境因素与使用条件变化，会使产品不能正常发挥其功能。例如一台电动机的转速随外部环境条件，诸如温度、湿度、电源电压等的波动而有较大变电动机的转速随外部环境条件，诸如温度、湿度、电源电压等的波动而有较大变化时，则此电动机是抗外噪声影响性能低下的电动机。化时，则此电动机是抗外噪声影响性能低下的电动机。 产品在贮存或使用中，由于材料老化或零部件磨损，将逐渐使产品功能发产品在贮存或使用中，由于材料老化或零部件磨损，将逐渐使产品功能发生变化。例如由于绝缘材料老化，润滑油干燥，轴承磨损等

8、原因，使电动机不能生变化。例如由于绝缘材料老化，润滑油干燥，轴承磨损等原因，使电动机不能正常运转。这种使产品功能波动的原因存在于产品内部，故称为内噪声。正常运转。这种使产品功能波动的原因存在于产品内部，故称为内噪声。 按同一规格和条件生产出来的一批产品，在同样的环境条件下使用，各产按同一规格和条件生产出来的一批产品，在同样的环境条件下使用，各产品的质量也会有差别。这种差别虽无法预测，但它们服从一定的统计规律，因此品的质量也会有差别。这种差别虽无法预测，但它们服从一定的统计规律，因此引起这种质量波动的原因称为随机噪声。例如，同类型钟表均能走时准确，则这引起这种质量波动的原因称为随机噪声。例如，同

9、类型钟表均能走时准确，则这些钟表的功能没有差别，是制造质量优良的产品。些钟表的功能没有差别，是制造质量优良的产品。 一般说来，抑制随机噪声是制造过程质管应解决的问题，而减少内、外噪声一般说来，抑制随机噪声是制造过程质管应解决的问题，而减少内、外噪声的影响，则主要是在设计阶段。三次设计正是解决后一问题的有效方法。的影响，则主要是在设计阶段。三次设计正是解决后一问题的有效方法。2 2内噪声。内噪声。3 3随机噪声。随机噪声。 ( (一一) )重复实验原则重复实验原则 重复实验主要是指，在相同的实验条件下，通常应重复实验两次以上。重复实验主要是指，在相同的实验条件下，通常应重复实验两次以上。 主要是

10、为了对实验结果进行分析时能定量地评价误差的大小，消除偶然误主要是为了对实验结果进行分析时能定量地评价误差的大小，消除偶然误差和试验误差。除此之外，重复正好使一个因子的某个水平与其他因子的各差和试验误差。除此之外，重复正好使一个因子的某个水平与其他因子的各水平都组合到，因而更能真实地反映该因子的水平效果，为选优提供可靠的水平都组合到，因而更能真实地反映该因子的水平效果，为选优提供可靠的依据。依据。 1 1、系统设计、系统设计是指产品的功能设计。系统设计阶段是应用专业技术进行产品是指产品的功能设计。系统设计阶段是应用专业技术进行产品的功能设计和结构设计的阶段。的功能设计和结构设计的阶段。在一定的意

11、义上，系统设计可以认为就是传统的产品设计。但是，它是三次设计在一定的意义上，系统设计可以认为就是传统的产品设计。但是，它是三次设计的基础。通过系统设计可以帮助我们选择需要考察的因子及其水平。的基础。通过系统设计可以帮助我们选择需要考察的因子及其水平。2 2、参数设计阶段、参数设计阶段 是确定系统中各参数的最佳组合的阶段。参数设计是三次设是确定系统中各参数的最佳组合的阶段。参数设计是三次设计的核心内容。计的核心内容。3 3、容差设计、容差设计 是参数设计的补充。容差也就是容许偏差或公差。确定这些是参数设计的补充。容差也就是容许偏差或公差。确定这些参数波动的容许范围，参数波动的容许范围，参数设计、

12、容差设计要用到实验设计法。参数设计、容差设计要用到实验设计法。（二）三次设计（二）三次设计 实验设计实验设计实验实施实验实施实验结果分析实验结果分析首先要明确实验目的，即追求的指标是什么，要考首先要明确实验目的，即追求的指标是什么，要考察的因素有哪些，以及它们的变动范围，并根据实察的因素有哪些，以及它们的变动范围，并根据实验目的合理地制定实验方案。验目的合理地制定实验方案。在进行实验时，往往会存在有可能给实验结果带来在进行实验时，往往会存在有可能给实验结果带来具有某种倾向性影响的因素具有某种倾向性影响的因素( (引起系统性误差的因引起系统性误差的因素素) )。为减少此影响，一般应随机地安排各实

13、验的。为减少此影响，一般应随机地安排各实验的实验顺序，即应遵循实验顺序随机化的原则。实验顺序，即应遵循实验顺序随机化的原则。完整的完整的实验实验确定所考察的因素哪些是主要的，哪些是次要的，确定所考察的因素哪些是主要的，哪些是次要的，进而确定最佳的条件组合。进而确定最佳的条件组合。(二二)实验顺序随机化原则实验顺序随机化原则 通过实验顺序随机化，将系统性误差转变为偶然性误差。通过实验顺序随机化，将系统性误差转变为偶然性误差。 (三三)分块实验原则分块实验原则 遵循分块实验原则进行实验，就是要消除系统误差对实验结果的影响。遵循分块实验原则进行实验，就是要消除系统误差对实验结果的影响。 单因素优选法

14、，已有一套比较成熟的方法，诸如对分法、单因素优选法，已有一套比较成熟的方法，诸如对分法、0.6180.618法、分法、分数法、均分法、分批试验法、爬山法、抛物线法等等。数法、均分法、分批试验法、爬山法、抛物线法等等。 将试验结果（将试验结果（y y）和因素取值（和因素取值（x x）写成数学表达式，就叫做目标函数。写成数学表达式，就叫做目标函数。即：目标函数为：即：目标函数为：y=fy=f（x x） 根据具体的要求，在因素的最优点，就是目标函数取最大值、最小值，根据具体的要求，在因素的最优点，就是目标函数取最大值、最小值，或满足某种规定的要求。或满足某种规定的要求。 对于不能写出目标函数，甚至试

15、验结果不能定量表示的情况，如产品外对于不能写出目标函数，甚至试验结果不能定量表示的情况，如产品外观的颜色、化工产品的气味等，就用结果好坏来评定试验结果。为了方便起观的颜色、化工产品的气味等，就用结果好坏来评定试验结果。为了方便起见，都用目标函数见，都用目标函数y=fy=f（x x）的形式进行讨论。的形式进行讨论。优选法可以分为单因素优选法和多因素优选法两类。优选法可以分为单因素优选法和多因素优选法两类。 当优选的目标主要只考虑一个因素时，就是单因素的优选问题；当优当优选的目标主要只考虑一个因素时，就是单因素的优选问题；当优选的目标是要考虑两个或两个以上因素时，就是多因素的优选问题。选的目标是要

16、考虑两个或两个以上因素时，就是多因素的优选问题。 在讨论目标函数时，应注意确定其影响因素的取值范围，即包含最优点在讨论目标函数时，应注意确定其影响因素的取值范围，即包含最优点的试验范围。以的试验范围。以a a、b b表示试验范围的上、下限，则试验范围为从表示试验范围的上、下限，则试验范围为从a a到到b b，用用 a a，bb表示。这时，试验点在表示。这时，试验点在 a a，bb内，即内，即axbaxb。 在试验设计中，对单因素试验问题的目标函数常有以下两种：在试验设计中，对单因素试验问题的目标函数常有以下两种： 1 1、单调函数、单调函数 所研究的目标函数在区间所研究的目标函数在区间 a a

17、，bb上单调增加或减少。上单调增加或减少。即试验的即试验的结果与因素改变方向相同时，称为单调函数。结果与因素改变方向相同时，称为单调函数。 2 2、单峰函数、单峰函数 所研究的目标函数在区间所研究的目标函数在区间 a a，bb上为单峰。上为单峰。 即试验的结果只有一个最优点即试验的结果只有一个最优点x x* *，而在最优点而在最优点x x* *的左侧，的左侧， 函数严格增加，在最优点的右侧函数严格减少时，称为函数严格增加，在最优点的右侧函数严格减少时，称为 单峰函数。单峰函数。 对分法也叫平分法、取中法，适用于试验范围对分法也叫平分法、取中法，适用于试验范围 a a，bb内，目标函数为单调内，

18、目标函数为单调( (连续或间断连续或间断) )的情况下，求最优点的方法。的情况下，求最优点的方法。 即如果每作一次试验，根据结果可以决定下次试验的方向时，就可以应用即如果每作一次试验，根据结果可以决定下次试验的方向时，就可以应用对分法。对分法。 对分法的作法是：对分法的作法是：每次取优选因素所在试验范围每次取优选因素所在试验范围a a，b b的中点处的中点处c c做试做试验。其计算公式是：验。其计算公式是： c c(a+b)/2(a+b)/2 每做一次试验后，根据试验结果确定下次试验的方向。如下次试验在高处，每做一次试验后，根据试验结果确定下次试验的方向。如下次试验在高处，就把此次试验点就把此

19、次试验点c c以下的一半范围以下的一半范围 a a，cc划占；反之，就把另一半范围划占；反之，就把另一半范围c c，b b划去。这样，每试验一次，试验范围就缩小一半，重复地做下去，直到找出划去。这样，每试验一次，试验范围就缩小一半，重复地做下去，直到找出满意的试验点为止。满意的试验点为止。 例：某毛纺厂为解决色染不匀问题，优选起染温度、采用对分法。具体如例：某毛纺厂为解决色染不匀问题，优选起染温度、采用对分法。具体如下。原工艺中的起染温度为下。原工艺中的起染温度为4040，升温后的最高温度达，升温后的最高温度达100100，故试验范围先，故试验范围先确定在确定在4040100100。 第一次试

20、验点第一次试验点c c(40+100)/2(40+100)/27070，选在选在7070，试验结果过去常有的外红，试验结果过去常有的外红里浅现象大有好转，起温还可以增高。即将里浅现象大有好转，起温还可以增高。即将40407070这一段划掉。这一段划掉。 第二次试验点选在第二次试验点选在7070100100的中点的中点 c c(70+100)/2(70+100)/285858585，试验试验结果出现红里透黑，染色太深，起温过高，应降低，将结果出现红里透黑，染色太深，起温过高，应降低，将8585100100划掉。划掉。 第三次试验点选在第三次试验点选在70708585的中点的中点77775 (70

21、+85)/2=775 (70+85)/2=7755，试，试验结果色染深浅适度，里外匀一，反复验证后均感满意。为操作方便，最后验结果色染深浅适度，里外匀一，反复验证后均感满意。为操作方便，最后选为选为8080为起染温度。为起染温度。 对分法的优点是简单易行，但其应用要具备两个条件：对分法的优点是简单易行，但其应用要具备两个条件： 要有一个现成的标准要有一个现成的标准( (或指标或指标) )来衡量试验的结果。来衡量试验的结果。 能预知该因素对指标的影响规律，即能从一个试验结果直接分析该因素取能预知该因素对指标的影响规律，即能从一个试验结果直接分析该因素取值偏大还是偏小。值偏大还是偏小。 0.618

22、0.618法又叫黄金分割法。这种方法是在试验范围内法又叫黄金分割法。这种方法是在试验范围内 a a，bb首先安排两个首先安排两个试验点，再根据两点试验结果，留下好点，去掉不好点所在的一段范围，再试验点，再根据两点试验结果，留下好点，去掉不好点所在的一段范围，再在余下的范围内继续寻找好点，去掉不好的点。如此继续地作下去，直到找在余下的范围内继续寻找好点，去掉不好的点。如此继续地作下去，直到找到最优点为止。到最优点为止。 0.6180.618的作法是：的作法是：第一个试验点第一个试验点x x1 1安排在试验范围安排在试验范围 a a，bb的的0.6180.618处，第二处，第二个试验点个试验点x

23、x2 2安排在试验范围安排在试验范围( (a a，b)b)的的0.3820.382处，即处，即0.6180.618处的对称点，这时处的对称点，这时x x1 1与与x x2 2在试验范围在试验范围 a a，bb内互为对称点，这两点的位置可用对称公式表示如下内互为对称点，这两点的位置可用对称公式表示如下: : x x1 1a + 0.618(b-a)a + 0.618(b-a) x x2 2a + b- xa + b- x1 1 式中式中a a为试验范围的小头，为试验范围的小头，b b试验范围的大头，上面对称公式也可以写成试验范围的大头，上面对称公式也可以写成 第一点小第一点小 + 0.618(

24、+ 0.618(大大- - 小小) ) 第二点第二点= = 小小 + + 大大 - - 第一点第一点( (前一点前一点) )（前一点是经过试验后留下的好点。）（前一点是经过试验后留下的好点。） 使用这种方法，一是要记住一个常数即使用这种方法，一是要记住一个常数即0.6180.618，二是记住二个公式即前面，二是记住二个公式即前面的两个公式的两个公式, ,用对称原理找新试验点直到满意为止。用对称原理找新试验点直到满意为止。a abx1x2小小大大大大小小x3 x1x4 例：铝铸件最佳浇铸温度的优选试验。某厂铝铸件壳体废品率高达例：铝铸件最佳浇铸温度的优选试验。某厂铝铸件壳体废品率高达5555，经

25、分析认为铝水温度对此影响很大，现用经分析认为铝水温度对此影响很大，现用0 0618618法优选。优选范围在法优选。优选范围在690690740740之间。优选过程如下之间。优选过程如下: : 第一点第一点690+ (740- 690)690+ (740- 690)0 061861872072097219721 第二点第二点690+ 740- 721690+ 740- 721709709 两点相比，第一点合格率低，故去掉两点相比，第一点合格率低，故去掉721721740740，下一段在，下一段在690690721721中优中优选。选。 第三点第三点690+ 721- 709690+ 721- 7

26、09702702 比较第二、三点，第三点合格率较高，故去掉比较第二、三点，第三点合格率较高，故去掉709709721721一段，在一段，在690690709709中优选。中优选。 第四点第四点= 690+ 709- 702= 690+ 709- 702697697 比较第三、四点，第四点较好，合格率达到比较第三、四点，第四点较好，合格率达到9595。 第五点第五点690+ 702- 697690+ 702- 697695695 比较第四、五点，结果四、五点差别不大故停止优选。最后确定铝水温度在比较第四、五点，结果四、五点差别不大故停止优选。最后确定铝水温度在690690700700之间，合格率

27、由之间，合格率由4545提高到提高到9595。 0.6180.618法要求试验结果目标函数法要求试验结果目标函数f(x)f(x)是单峰函数，即在试验范围是单峰函数，即在试验范围 a a，bb内只内只有一个最优点有一个最优点d d，其效果其效果f(d)f(d)最好，比最好，比d d大或小的点都差，且距最优点大或小的点都差，且距最优点d d越远的越远的试验效果越差。这个要求在大多数实际问题中都能满足。但也有不能满足的试验效果越差。这个要求在大多数实际问题中都能满足。但也有不能满足的情况，此时不能用情况，此时不能用0.6180.618法。法。 分数法的基本原理与分数法的基本原理与0.6180.618

28、相同，适用于试验范围相同，适用于试验范围 a a，bb内目标函数为单内目标函数为单峰的情况。但与峰的情况。但与0.6180.618法不同之处在于要求预先给出试验总数，或者可由已确法不同之处在于要求预先给出试验总数，或者可由已确定的试验范围和精确度计算出试验总数的情况。定的试验范围和精确度计算出试验总数的情况。 如当试验点只能安排在一些离散点如当试验点只能安排在一些离散点( (非连续点非连续点) )上时，如机床的转速有若干上时，如机床的转速有若干档次，采用分数法比档次，采用分数法比0.6180.618法更为方便。法更为方便。 分数法中的分子是费波那分数法中的分子是费波那( (Fibonacci)

29、Fibonacci)奇数序列奇数序列, ,如用如用F F0 0，F F1 1，F F2 2，FFn n代表这个数列，则费波那奇数满足下列递推关系代表这个数列，则费波那奇数满足下列递推关系 F Fn n = F= Fn-1n-1 + F + Fn-2n-2 (N2) (N2) 当当F F0 0F F1 11 1确定之后，费波那奇数序列就完全确定了，即确定之后，费波那奇数序列就完全确定了，即1 1，1 1，2 2，3 3，5 5，8 8，1313，2121，3434，5555，8989，144144序列序列( (F Fn n) )就称为费波那奇数序列，我们再就称为费波那奇数序列，我们再令令G Gn

30、 n为为 1/2 1/2，2/32/3，3/53/5，5/85/8，8/138/13，13/2113/21，21/3421/34，34/5534/55，55/8955/89对应序号对应序号n ni i为为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 当当n n无限增大时，可以证明无限增大时，可以证明G Gn n趋向趋向0.6180.618，因此序列，因此序列( (Gn)Gn)中任一个分数都可中任一个分数都可以作为以作为0.6180.618的近似值。的近似值。 分数法的作法是：分数法的作法是：首先确定试验次数首先确定试验次数n n，它等于分

31、数列它等于分数列( (G Gn n) )中某个分数中某个分数GnGn的序号的序号n ni i，第一个试验点用分数第一个试验点用分数GnGn代替代替0.6180.618，其余计算公式和步骤与，其余计算公式和步骤与0.6180.618法完全一样。法完全一样。例：机加中对转速分成若干档的机床进行优选，如车床例：机加中对转速分成若干档的机床进行优选，如车床C C61406140共分共分1212档，见表档，见表8-18-1 表表81 81 使用分数法寻找最佳转速作法如下：使用分数法寻找最佳转速作法如下： 第一步找序列第一步找序列( (Gn)Gn)中分母大于中分母大于1212的最小分母相应的的最小分母相应

32、的GnGn，本例为本例为G G5 58/138/13，因此因此8/138/13是第一个试验点，即先在第八档转速是第一个试验点，即先在第八档转速240240转分上做试验。而整个试转分上做试验。而整个试验次数为验次数为G G5 5的序号，即的序号，即n n5 5，第二个试验点可利用第二个试验点可利用0 0618618法公式算出：法公式算出： 第二点第二点=1+12-8=1+12-85 5 即在第五档即在第五档9595转分做试验，然后比较这两转速的好坏，若第八档好，再转分做试验，然后比较这两转速的好坏，若第八档好，再使用对称原理，第三次做试验第三次试验为使用对称原理，第三次做试验第三次试验为 第三点

33、第三点5+12-85+12-89 9 下一步就在第九档下一步就在第九档350350转分做试验，如此等等，最多做转分做试验，如此等等，最多做5 5次就能找到最好的次就能找到最好的转速。转速。 从上例可得出分数法的一般步骤：从上例可得出分数法的一般步骤： 根据试验范围确定试验次数。如果试验范围有根据试验范围确定试验次数。如果试验范围有K K个等级，则从序列个等级，则从序列( (Gn)Gn)中中找出不小于找出不小于K K的最小分母相应的的最小分母相应的GnGn，则试验次数等于则试验次数等于n.n. 第一个试验点取在第一个试验点取在GnGn的分子上。的分子上。 以下的点按照以下的点按照0 061861

34、8法找对称点继续做试验。法找对称点继续做试验。 档位档位1 12 23 34 45 56 67 78 89 9101011111212转速转速( (分分/ /转转) ) 2323323248486767959513513519019024024035035048548569069010001000 均分法是在试验范围均分法是在试验范围 a a，bb内，根据精度要求和实际情况、均匀地排开试内，根据精度要求和实际情况、均匀地排开试验点，在每一个试验点上进行试验，并相互比较，以求得最优点的方法。验点，在每一个试验点上进行试验，并相互比较，以求得最优点的方法。 均分法的作法是：均分法的作法是：如试验范

35、围如试验范围L Lb-ab-a，试验点间隔为试验点间隔为l l，则试验点则试验点n n为：为： n n 例如对采用新钢种的某零件进行磨削加工，砂轮转速范围为例如对采用新钢种的某零件进行磨削加工，砂轮转速范围为420420转分转分720720转分，拟经过试验找出能使光洁度最佳的砂轮转速值。为此，根据规定转分，拟经过试验找出能使光洁度最佳的砂轮转速值。为此，根据规定的转速范围和以往实践经验，可取试验间隔的转速范围和以往实践经验，可取试验间隔N N3030转分，则这时转分，则这时 n n 即分为即分为1111个试验点，每个试验点相隔个试验点，每个试验点相隔3030转分，这样转速分别为转分，这样转速分

36、别为420420，450450，480480，510510，540540，570570，600600，630630，660660，690690，720 720 转分时进行试验，并测转分时进行试验，并测得光洁度结果以进行比较，比较结果，最后确定砂轮转速为得光洁度结果以进行比较，比较结果，最后确定砂轮转速为600600转分时，该转分时，该零件光结度最好，选用之。零件光结度最好，选用之。 这种方法的特点是对所试验的范围进行这种方法的特点是对所试验的范围进行“普查普查”， 均分法的各点试验可以同时进行，以节约时间；并且对目标函数没要求。均分法的各点试验可以同时进行，以节约时间；并且对目标函数没要求。

37、可假设目标函数是任意的情况，其试验精度取决于试验点数目的多少。可假设目标函数是任意的情况，其试验精度取决于试验点数目的多少。11lablL111304207201lab是将所有可能的试验同时安排，是将所有可能的试验同时安排，并根据试验结果找出最好点的并根据试验结果找出最好点的方法。如均分法方法。如均分法是在前面试验结果的基础上确定是在前面试验结果的基础上确定下面的试验点，即不能同时进行。下面的试验点，即不能同时进行。如平分法、如平分法、0.6180.618法、分数法法、分数法 为了取二者之长，可采用分批试验法。为了取二者之长，可采用分批试验法。 分批试验法是将全部试验分几批作，一批同时安排几个

38、试验，这样可以分批试验法是将全部试验分几批作，一批同时安排几个试验，这样可以兼顾试验设备，代价和时间上的要求。分批试验法适用于：兼顾试验设备，代价和时间上的要求。分批试验法适用于： 1 1、预先能够确定总的可能试验个数，即已知试验的范围和要求的精确度。、预先能够确定总的可能试验个数，即已知试验的范围和要求的精确度。 2 2、事先限定试验的批数和每批的个数。如果各批试验数目相同，则可根、事先限定试验的批数和每批的个数。如果各批试验数目相同，则可根据预给的要求进行试验。据预给的要求进行试验。同时试验法同时试验法序贯试验法序贯试验法特点是试验总时间短，但试验次数比特点是试验总时间短，但试验次数比较多

39、，如果每个试验代价不大，又有较多，如果每个试验代价不大，又有足够的设备，是可以采用的。足够的设备，是可以采用的。特点是总的试验次数少，而特点是总的试验次数少，而试验周期为每次试验时间的试验周期为每次试验时间的叠加，因此要用较多的时间。叠加，因此要用较多的时间。分批试验法分批试验法以每批作两个试验为例，来说明其方法如下。以每批作两个试验为例，来说明其方法如下。 若只作一批试验，可把试验平分为三等分，在两个分点上作试验，若只作一批试验，可把试验平分为三等分，在两个分点上作试验，如下图如下图8-28-2（a a）所示。若作两批试验，可把试验范围平分为所示。若作两批试验，可把试验范围平分为7 7等分，

40、在第等分，在第3 3、4 4两点上作第一批试验，如两点上作第一批试验，如4 4点好，则作点好，则作5 5、6 6两点，如两点，如3 3点好，则作点好，则作1 1、2 2两点，如图两点，如图8-28-2（b b）所示。如作三批试验，可把试验范围平分为所示。如作三批试验，可把试验范围平分为1515等分，等分，第一次在第一次在7 7、8 8两点作试验，如两点作试验，如7 7点好，则把点好，则把8 8点以上范围划去；如果点以上范围划去；如果8 8点好，点好，则把则把7 7点以下范围划去，在余下的部分作第二次试验，见图点以下范围划去，在余下的部分作第二次试验，见图8-28-2（c c）所示。所示。仿此，

41、可以推出更多的批试验来。仿此，可以推出更多的批试验来。a a0 1 2 40 1 2 4b b0 1 2 3 4 5 6 70 1 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1515c c图图8-28-2根据每批试验数，其试验范围等分份数见等分份数根据每批试验数，其试验范围等分份数见等分份数表。表。 例如，为了对某坦克零件在保持冲击韧性的情况下，考虑回火温度对例如，为了对某坦克零件在保持冲击韧性的情况下，考虑回火温度对强度的影响，并进行优选，试验范围是强度的影响，并进行优选，试验范围

42、是200340200340，每批作两个试验，每批作两个试验，分三批进行。则由等分份数表可得试验范围等分份数为分三批进行。则由等分份数表可得试验范围等分份数为 如下图如下图8-38-3所示。所示。 图图8-3 8-3 回火温度等分份数图回火温度等分份数图 试验时先作试验时先作7 7、8 8两点，得出两点，得出8 8点好，舍去点好，舍去7 7点以下范围，作点以下范围，作1111、1212点，点，得出得出1111点好，舍去点好，舍去1212点以上范围，作点以上范围，作1010点与点与1111点比较，得出点比较，得出1010点好。这时点好。这时就找到了最佳回火温度为就找到了最佳回火温度为290290。

43、 151212131)2(nnL200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 340 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1515 试验精确度是指上述各种试验方法得到的最优点与真正最优点的差异，即试验精确度是指上述各种试验方法得到的最优点与真正最优点的差异，即最大可能距离。最大可能距离。如试验范围如试验范围 a a，

44、bb，长为长为l=b-al=b-a。如果相邻两试验点间距离相如果相邻两试验点间距离相等，则等，则n n次试验后各种实验方法的精确度如下：次试验后各种实验方法的精确度如下： 平分法：平分法：c=l/2c=l/2n n 均分法：均分法：c=l/c=l/（n+1n+1） 0.618 0.618： c=l/ c=l/（1.6181.618）n n 分数法：分数法：c=l/Fc=l/Fn+1n+1 如果使精确度如果使精确度c=1c=1时，作时，作n n次试验对应的试验范围长度可用次试验对应的试验范围长度可用L Ln n表示，称为表示，称为n n次次试验的试验的“搜索范围搜索范围”。各种试验方法的搜索范围

45、如下：各种试验方法的搜索范围如下： 平分法：平分法：L Ln n=2=2n n 均分法：均分法：Ln= n+1Ln= n+1 0.618 0.618：L Ln n= =（1.6181.618）n n 分数法：分数法：Ln= FLn= Fn+1n+1 当试验次数增加时，搜索范围增加的速度称为这些方法的当试验次数增加时，搜索范围增加的速度称为这些方法的“搜索效率搜索效率”。均分法的搜索效率最低，均分法的搜索效率最低，搜索范围每增加一单位，都要以增加一个试验为代搜索范围每增加一单位，都要以增加一个试验为代价。价。平分法的搜索效率最高，平分法的搜索效率最高，由由2 23 3=8=8，2 24 4=16

46、=16，2 21010=1024=1024。可见，约增加。可见，约增加3.333.33个试验就可以把试验范围扩大一个数量级。个试验就可以把试验范围扩大一个数量级。0.6180.618法由（法由（1.6181.618）5 5=11.089=11.089可可见，每增加见，每增加5 5个试验，搜索范围可扩大一个数量级。分数法也是每增加个试验，搜索范围可扩大一个数量级。分数法也是每增加5 5个试个试验，搜索范围可扩大一个数量级。验，搜索范围可扩大一个数量级。由公式知，当已知试验次数由公式知，当已知试验次数n后，可以得出搜索范围后，可以得出搜索范围Ln。这时，如果试验范围这时，如果试验范围l确定，确定，

47、则试验精确度则试验精确度c=l/Ln随之确随之确定。定。 因素轮换法又称为因素轮换法又称为“坐标轮换法坐标轮换法”或或“从好点出发法从好点出发法”，是处理多因素问，是处理多因素问题的一种方法。题的一种方法。 因素轮换法的原理是利用单因素方法来解决多因素的问题。因素轮换法的原理是利用单因素方法来解决多因素的问题。简言之，如有简言之，如有n n个因素，就先将后个因素，就先将后n-1n-1个因素分别固定在一个水平上，只对第一个因素个因素分别固定在一个水平上，只对第一个因素x1x1进行进行单因素优选，得最优值单因素优选，得最优值x1x1（1 1），然后将然后将x1x1固定在试验最优值固定在试验最优值x

48、1x1（1 1）水平上，并水平上，并保持后保持后n-2n-2个因素的水平不变，再用单因素方法对个因素的水平不变，再用单因素方法对x2x2进行优选。总之，每优选进行优选。总之，每优选一个因素时，将其它因素固定之。当一个因素时，将其它因素固定之。当n n个因素个因素x1x1，x2x2，xnxn依次优选一轮后，依次优选一轮后，再从再从x1x1开始进行第二轮优选。一般，对进行优选的因素常采用开始进行第二轮优选。一般，对进行优选的因素常采用0.6180.618法进行。法进行。 例如对某产品液压装置中的单向阀的直径、长度、复位弹簧力进行优选，例如对某产品液压装置中的单向阀的直径、长度、复位弹簧力进行优选，

49、要求在达到保证正确开闭的要求下有较大的开启距离。根据结构要求和实际要求在达到保证正确开闭的要求下有较大的开启距离。根据结构要求和实际经验分别确定：经验分别确定： 单向阀直径：单向阀直径：25402540mmmm； 单向阀长度：单向阀长度：30603060mmmm； 复位弹簧力：复位弹簧力：0.550.55kgkg。利用因素轮换法进行优选，按下列步骤进行：利用因素轮换法进行优选，按下列步骤进行：x(2) x(1) xx(2) x(1) x y yy(1)y(1)y(2)y(2) 0 01 1、固定弹簧力为、固定弹簧力为1 1kgkg，单向阀长度为单向阀长度为4040mmmm，优选单向阀直径，得最

50、优尺寸为优选单向阀直径，得最优尺寸为3636mmmm；2 2、固定单向阀直径为固定单向阀直径为3636mmmm，复位弹簧力为复位弹簧力为1 1kgkg，优选单向阀长度，得最优尺寸为优选单向阀长度，得最优尺寸为4545mmmm；3 3、固定单向阀直径为固定单向阀直径为3636mmmm，单向阀长度为单向阀长度为4545mmmm，优选复位弹簧力，得最优值为优选复位弹簧力，得最优值为1.51.5kgkg。 这时，已满足设计要求，不需要在进行试验。这时，已满足设计要求，不需要在进行试验。 这种方法是利用概率统计中随机选点的概念来进行试验设计，这种方法是利用概率统计中随机选点的概念来进行试验设计，由于是从

51、随由于是从随机选点的概念出发，它有以下特点：机选点的概念出发，它有以下特点： 1 1、对目标函数没有更多要求，可以是单调的，单峰的或者多峰的，因此，适、对目标函数没有更多要求，可以是单调的，单峰的或者多峰的，因此，适用范围不必受到限制。用范围不必受到限制。 2 2、不论单因素问题或多因素问题均可使用，特别是因素较多时更能显示其优、不论单因素问题或多因素问题均可使用，特别是因素较多时更能显示其优越性。越性。 3 3、此方法如果试验设备允许，可以一次同时进行。因此，具有同时试验法的、此方法如果试验设备允许，可以一次同时进行。因此，具有同时试验法的优点。当然，如果条件不允许，也可以分批或逐个安排试验

52、。优点。当然，如果条件不允许，也可以分批或逐个安排试验。 下面我们以双因素优选为例来说明随机试验法。下面我们以双因素优选为例来说明随机试验法。 设有两个因素设有两个因素x x和和y y，试验范围是：试验范围是： 0 0 x10 x10 0y5 0y5 我们可以用一个长方形表示其范围，在长方形中，按等分划为我们可以用一个长方形表示其范围，在长方形中，按等分划为5050个小长方个小长方形，以每一个小长方形的中心点为代表，则成为形，以每一个小长方形的中心点为代表，则成为5050个点，划分长方形多少取个点，划分长方形多少取决于要求精度和试验可能性。如下图决于要求精度和试验可能性。如下图8-48-4。

53、假设长方形范围内假设长方形范围内5050个点中有个点中有1010个好点，个好点，4040个坏点，从个坏点，从1010个好点中取其一。个好点中取其一。而而1010个好点占总点数的个好点占总点数的10/50=20%10/50=20%，那么，随机抽取出这个点正好是，那么，随机抽取出这个点正好是1010个个好点好点之一的概率为之一的概率为0.20.2，而是而是坏点的概率为：坏点的概率为：1-0.2=0.81-0.2=0.8。如连续随机抽取两点作如连续随机抽取两点作试验都是坏点的概率为：试验都是坏点的概率为： （0.80.8）2 2 =0.64 =0.64 如连续随机抽取五点作试验如连续随机抽取五点作试

54、验, ,都是坏点的概率为都是坏点的概率为: : （0.80.8）5 5 =0.328 =0.328 如连续随机抽取十点作试验都是坏点的概率为如连续随机抽取十点作试验都是坏点的概率为: : （0.80.8）1010 =0.107 =0.107 y y5 54 43 32 21 10 01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x x图图8-48-4 这时这时, ,十次试验中至少有一次遇到好点的概率为十次试验中至少有一次遇到好点的概率为: : 1-0.107=0.893 1-0.107=0.893 一般地一般地, ,我们已知从总试验点数我们已知从总试验点数

55、N N中选出好点的概率为中选出好点的概率为q,q,则则1-1-q q为从总试验点为从总试验点数数N N中选出坏点的概率中选出坏点的概率, ,那么那么, ,在连续作在连续作n n此试验中，至少有一次遇到好点的概此试验中，至少有一次遇到好点的概率设为率设为P P，则则 P=1-P=1-（1-q1-q）n n 由上式可见，当由上式可见，当q q一定时，要求一定时，要求P P越高，试验次数就越多。同样，当越高，试验次数就越多。同样，当P P一定时，一定时，要求要求q q越小，试验次数也越多。越小，试验次数也越多。 例如规定例如规定q=0.3q=0.3，而而n=10n=10时，则有：时，则有： P=1-

56、P=1-（1-q1-q）n n =1-=1-（1-0.31-0.3）1010 =0.972 =0.972 对于选取试验点，必须避免主观因素，真正做到随机选取，可用查随机数对于选取试验点，必须避免主观因素，真正做到随机选取，可用查随机数表法，掷骰子法等，这样才能得到统计上保证的概率，才能找到好点。表法，掷骰子法等，这样才能得到统计上保证的概率，才能找到好点。 在生产、科研试验中，当所控制的条件不同时，结果往往有变化。我们想在生产、科研试验中，当所控制的条件不同时，结果往往有变化。我们想弄清楚这不同的结果是由于条件不同造成的，还是有一些随机因素干扰所致。弄清楚这不同的结果是由于条件不同造成的，还是

57、有一些随机因素干扰所致。同时，影响结果的条件常常不止一个。同时，影响结果的条件常常不止一个。如对金属零件进行热处理，采用不同如对金属零件进行热处理，采用不同的加热温度、保温时间、冷却方式的加热温度、保温时间、冷却方式、所得到的硬度、强度等性能不同。、所得到的硬度、强度等性能不同。那么加热温度、保温时间、冷却方式等数条件中，哪个对其硬度、强度影响那么加热温度、保温时间、冷却方式等数条件中，哪个对其硬度、强度影响显著，哪个影响不显著呢？显著，哪个影响不显著呢？方差分析正是分析试验数据，找出影响显著的因方差分析正是分析试验数据，找出影响显著的因素的一种有效工具。素的一种有效工具。 一般将衡量生产或科

58、研结果好坏的标准称为一般将衡量生产或科研结果好坏的标准称为“指标指标”，用符号，用符号x x、y y、表示；把影响指标的所控制的具体条件称为表示；把影响指标的所控制的具体条件称为“因素因素”，用，用A A、B B、C C、等表等表示；把各因素在其变化范围内所处具体状态称为示；把各因素在其变化范围内所处具体状态称为“水平水平”，用下标，用下标1 1、22等表示。如因素等表示。如因素A A在试验时取了三个具体状态，则分别用在试验时取了三个具体状态，则分别用A A1 1、A A2 2、A A3 3表示。表示。 方差分析就是分别将各因素水平不同所引起的试验指标波动和误差引起的方差分析就是分别将各因素水

59、平不同所引起的试验指标波动和误差引起的试验指标波动区别开来，并比较两类影响，从而判断各因素对试验指标的影试验指标波动区别开来，并比较两类影响，从而判断各因素对试验指标的影响是否显著及显著到何种程度。在此基础上可得出最优工艺条件。响是否显著及显著到何种程度。在此基础上可得出最优工艺条件。也就是在也就是在数据总波动中，分清各因素变动及误差（原因不明的变动）对数据的影响数据总波动中，分清各因素变动及误差（原因不明的变动）对数据的影响（图（图8-58-5） 因素因素A A的的变动变动因素因素B B的的变动变动因素因素C C的的变动变动误误差差图图8-58-5数据总波动数据总波动各因素波动各因素波动必然

60、因素（条件变差）必然因素（条件变差）误差的波动误差的波动偶然因素（随机变差）偶然因素（随机变差）比较并找出比较并找出影响大的因素影响大的因素指导行动指导行动 方差分析广泛应用于许多领域中，不仅对一般因素试验、正交试验数据分方差分析广泛应用于许多领域中，不仅对一般因素试验、正交试验数据分析十分有用，而且其思想也适用于数理统计的许多方法。析十分有用，而且其思想也适用于数理统计的许多方法。 例：为了探求合适的回火温度以提高某种钢材的硬度，在其它因素都加以例：为了探求合适的回火温度以提高某种钢材的硬度，在其它因素都加以控制的情况下，对不同的回火时间做几次试验，结果为下表控制的情况下，对不同的回火时间做